8动态平衡与临界极值问题.docx

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8动态平衡与临界极值问题

动态平衡、临界极值问题、易错问题

一、复习目标

1、知道什么是动态平衡问题并掌握常见的求解方法。

2、知道什么是临界极值问题，掌握此类问题的分析思路。

3、知道受力分析中常见的易错模型有哪些。

二、要点讲练

（一）动态平衡问题的分析

问题1：

什么是动态平衡问题？

在有关物体平衡问题中，存在着大量的动态平衡问题，所谓动态平衡问题是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢的变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态．解动态问题的关键是抓住不变量，依据不变的量来确定其他量的变化规律，常用的分析方法有解析法和图解法。

问题2：

什么是图解法？

什么是解析法？

解析法：

对研究对象的任一状态进行受力分析，建立平衡方程，求出应变物理量与自变物理量的一般函数关系式，然后根据自变量的变化情况及变化区间确定应变物理量的变化情况

图解法：

对研究对象在状态变化过程中的若干状态进行受力分析，依据某一参量的变化（一般为某一角度），在同一图中作出物体在若干状态下的平衡力图（力的平行四边形或力的三角形），再由动态的力的平行四边形或三角形的边的长度变化及角度变化确定某些力的大小及方向的变化情况。

1.（多选）如图所示，质量分布均匀的光滑小球O，放在倾角均为θ的斜面体上，斜面体位于同一水平面上，且小球处于平衡，则下列说法中正确的是（　　）

A．甲图中斜面对球O弹力最大B．丙图中斜面对球O弹力最小

C．乙图中挡板MN对球O弹力最小D．丙图中挡板MN对球O弹力最小

2.质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上．用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图所示．用T表示绳OA段拉力的大小，在O点向左移动的过程中（　　）

A．F逐渐变大，T逐渐变大B．F逐渐变大，T逐渐变小

C．F逐渐变小，T逐渐变大D．F逐渐变小，T逐渐变小

3.（多选）如图，用OA、OB两根轻绳将花盆悬于两竖直墙之间，开始时OB绳水平．现保持O点位置不变，改变OB绳长使绳右端由B点缓慢上移至B′点，此时OB′与OA之间的夹角θ<90°.设此过程OA、OB绳的拉力分别为FOA、FOB，则下列说法正确的是（　　）

A．FOA一直减小B．FOA一直增大

C．FOB一直减小D．FOB先减小后增大

4.（多选）如图所示，在固定好的水平和竖直的框架上，A、B两点连接着一根绕过光滑的轻小滑轮的不可伸长的细绳，重物悬挂于滑轮下，处于静止状态．若按照以下的方式缓慢移动细绳的端点，则下列判断正确的是（　　）

A．只将绳的左端移向A′点，拉力变小B．只将绳的左端移向A′点，拉力不变

C．只将绳的右端移向B′点，拉力变小D．只将绳的右端移向B′点，拉力变大

5.如图所示，用与水平成θ角的推力F作用在物块上，随着θ逐渐减小直到水平的过程中，物块始终沿水平面做匀速直线运动。

关于物块受到的外力，下列判断正确的是

（　　）

A．推力F先增大后减小B．推力F一直减小

C．物块受到的摩擦力先减小后增大D．物块受到的摩擦力一直不变

6.一轻杆BO，其O端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图所示。

现将细绳缓慢往左拉，使杆BO与杆AO间的夹角θ逐渐减小，则在此过程中，拉力F及杆BO所受压力FN的大小变化情况是（）

A．FN先减小，后增大B.FN始终不变

C．F先减小，后增大D.F始终不变

7.如图所示是固定在水平面上的光滑半球，球心O′的正上方固定一小定滑轮，细线一端拴一小球A，另一端绕过定滑轮。

今将小球从如图所示的初位置缓慢地拉至B点。

在小球到达B点前的过程中，半球对小球的支持力FN及细线的拉力F1的大小变化情况是

（　　）

A．FN变大，F1变小　　

B．FN变小，F1变大

C．FN不变，F1变小

D．FN变大，F1变大

规律发现：

_________

（二）平衡问题中的临界极值问题

问题：

物体什么时候处于临界状态？

什么是临界问题？

某种物理现象变化为另一种物理现象或物体从某种特性变化为另一种特性时，发生的转折状态为临界状态。

临界状态也可理解为“恰好出现”或“恰好不出现”某种现象的状态，平衡物体的临界状态是指物体所处平衡状态将要变化的状态，涉及临界状态的问题叫临界问题，解决这类问题一定要注意“恰好出现”或“恰好不出现”的条件。

物体处于临界状态时常常伴随着极值的出现。

问题：

什么是极值？

什么是极值问题？

是指研究平衡问题中某物理量变化情况时出现的最大值或最小值。

中学物理的极值问题可分为简单极值问题和条件极值问题，区分的依据就是是否受附加条件限制。

若受附加条件限制，则为条件极值。

在研究平衡问题中某些物理量变化时出现最大值或最小值的现象称为极值问题。

求解极值问题有两种方法：

问题：

求解临界极值问题有哪些方法？

方法1：

解析法。

根据物体的平衡条件列方程，在解方程时采用数学知识求极值。

通常用到数学知识有二次函数极值、讨论分式极值、三角函数极值以及几何法求极值等。

方法2：

图解法。

根据物体平衡条件作出力的矢量图，如只受三个力，则这三个力构成封闭矢量三角形，然后根据图进行动态分析，确定最大值和最小值

8.一盏电灯重力为G，悬于天花板上A点，在电线O处系一细线OB，使电线OA与竖直方向的夹角为β＝30°，如图所示．现保持β角不变，缓慢调整OB方向至OB线上拉力最小为止，此时OB与水平方向的夹角α等于多少？

最小拉力是多少？

9.重为G的木块与水平地面间的动摩擦因数为μ，一人欲用最小的作用力F使木板做匀速运动，则此最小作用力的大小和方向应如何？

10.如图所示，物体放在水平面上，与水平面间的动摩擦因数为μ,现施一与水平面成α角且斜向下的力F推物体，问：

α角至少为多大时，无论F为多大均不能推动物体（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）？

11.如图所示，质量为m的物体放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑．对物体施加一大小为F水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，试求：

（1）物体与斜面间的动摩擦因数；

（2）这一临界角θ0的大小．

规律发现：

_________

（三）警示易错问题

问题：

受力分析中有哪些易错模型呢？

警示1：

:

注意“死节”和“活节”问题。

12.如图所示，AO、BO和CO三根绳子能承受的最大拉力相等，O为结点，OB与竖直方向夹角为θ，悬挂物质量为m。

求：

（1）OA、OB、OC三根绳子拉力的大小。

（2）A点向上移动少许，重新平衡后，绳中张力如何变化？

13.如图所示，长为5m的细绳的两端分别系于竖立在地面上相距为4m的两杆的顶端A、B，绳上挂一个光滑的轻质挂钩，其下连着一个重为12N的物体，平衡时，问：

（1）绳中的张力T为多少?

（2）A点向上移动少许，重新平衡后，绳与水平面夹角，绳中张力如何变化?

警示2：

注意“死杆”和“活杆”问题。

14.如图所示，质量为m的物体用细绳OC悬挂在支架上的O点，轻杆OB可绕B点转动，求细绳OA中张力T大小和轻杆OB受力N大小。

15.如图所示，水平横梁一端A插在墙壁内，另一端装有小滑轮B，一轻绳一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为m=10kg的重物，∠CBA＝30°，则滑轮受到绳子作用力为：

A.50N

B.

C.100N

D.

规律发现：

_________

讲义参考答案

1.答案　AD

解析　将甲、乙、丙、丁四种情况小球的受力图作于一幅图上，如图，根据平衡条件得知，丁图中斜面对小球的弹力为零，挡板对小球的弹力等于其重力G.斜面对小球的弹力和挡板对小球的弹力的合力与重力大小相等、方向相反，可知三种情况下此合力相等，根据平行四边定则得知，丙图中挡板MN对球O弹力最小，甲图中斜面对球O弹力最大．故B、C错误，A、D正确．

2.答案　A

解析　对O点受力分析如图所示，F与T的变化情况如图，由图可知在O点向左移动的过程中，F逐渐变大，T逐渐变大，故选项A正确．

物体受到三个或三个以上力的作用处于平衡状态时，常用正交分解法列平衡方程求解：

Fx合＝0，Fy合＝0。

为方便计算，建立坐标系时以使尽可能多的力落在坐标轴上为原则。

3.答案　AD

解析　以结点O为研究对象，分析受力：

重力G、绳OA的拉力FOA和绳OB的拉力FOB，如图所示，根据平衡条件知，两根绳子的拉力的合力与重力大小相等、方向相反，作出轻绳OB在两个位置时力的合成图如图，由图看出，FOA逐渐减小，FOB先减小后增大，当θ＝90°时，FOB最小．

4.答案　BD

解析　设滑轮两侧绳子与竖直方向的夹角为α，绳子的长度为L，B点到墙壁的距离为s，根据几何知识和对称性，得：

sinα＝①

以滑轮为研究对象，设绳子拉力大小为F，根据平衡条件得：

2Fcosα＝mg，

得F＝②

当只将绳的左端移向A′点，s和L均不变，则由②式得知，F不变，故A错误，B正确．当只将绳的右端移向B′点，s增加，而L不变，则由①式得知，α增大，cosα减小，则由②式得知，F增大．故C错误，D正确．故选B、D.

5.[解析]　对物体受力分析，建立如图所示的坐标系。

由平衡条件得

Fcosθ－Ff＝0

FN－（mg＋Fsinθ）＝0

又Ff＝μFN

联立可得F＝

可见，当θ减小时，F一直减小，故选项B正确。

[答案]　B

6.B物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态，画出其中任意两个力的合力与第三个力等值反向的平行四边形中，可能有力三角形与题设图中的几何三角形相似，进而得到力的三角形与几何三角形对应边成比例，根据比值便可计算出未知力的大小与方向。

7.[解析]　由于三力F1、FN与G首尾相接构成的矢量三角形与几何三角形AOO′相似，如图13所示，

所以有＝，＝，

所以F1＝G，

FN＝G，

由题意知当小球缓慢上移时，OA减小，OO′不变，R不变，故F1减小，FN不变，故C对。

[答案]　C

8.解析：

对电灯受力分析如图所示，据三力平衡特点可知：

OA、OB对O点的作用力TA、TB的合力T与G等大反向，即

T＝G①

在△OTBT中，

∠TOTB＝90°－α

又∠OTTB＝∠TOA＝β，

故∠OTBT＝180°－（90°－α）－β

＝90°＋α－β

由正弦定理得

＝②

联立①②解得TB＝

因β不变，故当α＝β＝30°时，TB最小，且

TB＝Gsinβ＝.

答案：

30°　

9.分析与解：

木块在运动过程中受摩擦力作用，要减小摩擦力，应使作用力F斜向上，设当F斜向上与水平方向的夹角为α时，F的值最小。

木块受力分析如图所示，由平衡条件知：

Fcosα-μFN=0,Fsinα+FN-G=0

解上述二式得：

。

令tanφ=μ,则,

可得：

可见当时，F有最小值，即。

用图解法分析：

由于Ff=μFN,故不论FN如何改变，Ff与FN的合力F1的方向都不会发生改变，如图所示，合力F1与竖直方向的夹角一定为，可见F1、F和G三力平衡，应构成一个封闭三角形，当改变F与水平方向夹角时，F和F1的大小都会发生改变，且F与F1方向垂直时F的值最小。

由几何关系知：

。

10.解析：

设物体的质量为m，静摩擦力为f，现取刚好达到最大静摩擦力时分析，如图由平衡条件有Fcosα=μ（mg＋Fsinα），F=

该式中出现三个未知量，条件缺少，但注意到题中“无论F多大………”，可设想：

当F→∞时，必有右边分式的分母→0，即cosα－μsinα=0，得α=arctan（），因此α≥arctan（）即为所求