四川高职单招数学试题附答案.docx
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四川高职单招数学试题附答案
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给处的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
二.数学单项选择(共10小题,计30分)
1.设集合,则()
A.B.C.D.
2.不等式的解集是()
A.x<3B.x>-1C.x<-1或x>3D.-1 3.已知函数,则的值为() A.B.C.D. 4.函数在定义域R内是() A.减函数B.增函数C.非增非减函数D.既增又减函数 5.设,则的大小顺序为() 、、、、 6.已知,,当与共线时,值为() A.1B.2C.D. 7.已知{an}为等差数列,a2+a8=12,则a5等于() A.4B.5C.6D.7 8.已知向量a,b,且a⊥b,则() A.B.C.D. 9 点到直线的距离为() A.B.C.D. 10.将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有( ) A.12种B.10种 C.9种D.8种 二、填空题: 本大题共5小题,每小题5分,共25分 11.(5分)(2014•四川)复数= _________ . 12.(5分)(2014•四川)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[﹣1,1)时,f(x)=,则f()= _________ . 13.(5分)(2014•四川)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46m,则河流的宽度BC约等于 _________ m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据: sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,≈1.73) 14.(5分)(2014•四川)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P(x,y).则|PA|•|PB|的最大值是 _________ . 15.(5分)(2014•四川)以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合: 对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[﹣M,M].例如,当φ1(x)=x3,φ2(x)=sinx时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题: ①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R,∃a∈D,f(a)=b”; ②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值; ③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)∉B. ④若函数f(x)=aln(x+2)+(x>﹣2,a∈R)有最大值,则f(x)∈B. 其中的真命题有 _________ .(写出所有真命题的序号) 三、解答题: 本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题12分)设数列的前项和,且成等差数列。 (1)求数列的通项公式; (2)记数列的前项和,求得使成立的的最小值。 17.(12分)(2014•四川)一款击鼓小游戏的规则如下: 每盘游戏都需要击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐: 每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得﹣200分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立. (1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列; (2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少? (3)玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后,与最初分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因. 18.(本小题满分分) 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示,在正方体中,设的中点为,的中点为。 ()请将字母标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由) ()证明: 直线平面 ()求二面角余弦值 19.(12分)(2014•四川)设等差数列{an}的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上(n∈N*). (1)若a1=﹣2,点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上,求数列{an}的前n项和Sn; (2)若a1=1,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2﹣,求数列{}的前n项和Tn. 20.(本小题13分)如图,椭圆的离心率是,过点的动直线与椭圆相交于两点。 当直线平行于轴时,直线被椭圆截得的线段长为。 (1)球椭圆的方程; (2)在平面直角坐标系中,是否存在与点不同的定点,使得恒成立? 若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由。 21.(14分)(2014•四川)已知函数f(x)=ex﹣ax2﹣bx﹣1,其中a,b∈R,e=2.71828…为自然对数的底数. (1)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值; (2)若f (1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,求a的取值范围. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C A B D C A B A 二、填空题: 11. 解答: 解: 复数===﹣2i, 故答案为: ﹣2i. 12. 解答: 解: ∵f(x)是定义在R上的周期为2的函数, ∴=1. 故答案为: 1. 13. 解答: 解: 过A点作AD垂直于CB的延长线,垂足为D, 则Rt△ACD中,∠C=30°,AD=46m ∴CD==46≈79.58m. 又∵Rt△ABD中,∠ABD=67°,可得BD==≈19.5m ∴BC=CD﹣BD=79.58﹣19.5=60.08≈60m 故答案为: 60m 14. 解答: 解: 有题意可知,动直线x+my=0经过定点A(0,0), 动直线mx﹣y﹣m+3=0即m(x﹣1)﹣y+3=0,经过点定点B(1,3), 注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直,P又是两条直线的交点, 则有PA⊥PB,∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10. 故|PA|•|PB|≤=5(当且仅当时取“=”) 故答案为: 5 15. 解答: 解: (1)对于命题① “f(x)∈A”即函数f(x)值域为R, “∀b∈R,∃a∈D,f(a)=b”表示的是函数可以在R中任意取值, 故有: 设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R,∃a∈D,f(a)=b” ∴命题①是真命题; (2)对于命题② 若函数f(x)∈B,即存在一个正数M,使得函数f(x)的值域包含于区间[﹣M,M]. ∴﹣M≤f(x)≤M.例如: 函数f(x)满足﹣2<f(x)<5,则有﹣5≤f(x)≤5,此时,f(x)无最大值,无最小值. ∴命题②“函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值.”是假命题; (3)对于命题③ 若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B, 则f(x)值域为R,f(x)∈(﹣∞,+∞), 并且存在一个正数M,使得﹣M≤g(x)≤M. ∴f(x)+g(x)∈R. 则f(x)+g(x)∉B. ∴命题③是真命题. (4)对于命题④ ∵函数f(x)=aln(x+2)+(x>﹣2,a∈R)有最大值, ∴假设a>0,当x→+∞时,→0,ln(x+2)→+∞,∴aln(x+2)→+∞,则f(x)→+∞.与题意不符; 假设a<0,当x→﹣2时,→,ln(x+2)→﹣∞,∴aln(x+2)→+∞,则f(x)→+∞.与题意不符. ∴a=0. 即函数f(x)=(x>﹣2) 当x>0时,,∴,即; 当x=0时,f(x)=0; 当x<0时,,∴,即. ∴.即f(x)∈B. 故命题④是真命题. 故答案为①③④. 三、解答题 16.解: (1)当时有, 则() 则是以为首项,2为公比的等比数列。 又由题意得则 (2)由题意得由等比数列求和公式得 则又当时, 成立时,的最小值的。 点评: 此题放在简答题的第一题,考察前项和与通项的关系和等比数列的求和公式,难度较易,考察常规。 可以说是知识点的直接运用。 所以也提醒我们在复习时要紧抓课本,着重基础。 17. 解答: 解: (1)X可能取值有﹣200,10,20,100. 则P(X=﹣200)=, P(X=10)== P(X=20)==, P(X=100)==, 故分布列为: X ﹣200 10 20 100 P 由 (1)知,每盘游戏出现音乐的概率是p=+=, 则至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣. 由 (1)知,每盘游戏或得的分数为X的数学期望是E(X)=(﹣200)×+10×+20××100=﹣=. 这说明每盘游戏平均得分是负分,由概率统计的相关知识可知: 许多人经过若干盘游戏后,入最初的分数相比,分数没有增加反而会减少. 18. 【答案】 ()直接将平面图形折叠同时注意顶点的对应方式即可 如图 () 连接,取的中点,连接 因为、为线段、中点,所以且 又因为中点,所以 得到且 所以四边形为 得到 又因为平面 所以平面(得证) () 连接,,过点作,垂足在上,过点作平面垂线,交于点,连接,则二面角 因为平面,且,所以 又,平面,所以平面 且,所以,所以三角形为 设正方体棱长为,则, 所以, 因为,三角形为,所以 所以,所以 所以 12、淡水在自来水厂中除了沉淀和过滤之外,还要加入药物进行灭菌处理,这样才能符合我们使用的标准。 19. 一、填空: 解答: 解: (1)∵点(a8,4b7)在函数f(x)=2x的图象上, ∴, 又等差数列{an}的公差为d, 10、日食: 当月球运动到太阳和地球中间,如果三者正好处在一条直线上时,月球就会挡住太阳射向地球的光,在地球上处于影子中的人,只能看到太阳的一部分或全部看不到,于是就发生了日食。 日食时,太阳被遮住的部分总是从西边开始的。 ∴==2d, 20、在观星过程中,我们看到的天空中有一条闪亮的“银河”光带,实际是由许许多多的恒星组成的一个恒星集团,被人们称为银河系。 我们生活的地球在银河系。 ∵点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上, 答: ①尽可能地不使用一次性用品;②延长物品的使用寿命;③包装盒纸在垃圾中比例很大,购物时减少对它们的使用。 ∴=b8, ∴=4=2d,解得d=2. 12、太阳是太阳系里唯一发光的恒星,直径是1400000千米。 又a1=﹣2,∴Sn==﹣2n+=n2﹣3n. (2)由f(x)=2x,∴f′(x)=2xln2, 8、对生活垃圾进行分类和分装,这是我们每个公民应尽的义务。 ∴函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线方程为, 17、细胞学说的建立被誉为19世纪自然科学的三大发现之一。 又,令y=0可得x=, ∴,解得a2=2. 一、填空: ∴d=a2﹣a1=2﹣1=1. 答: ①利用微生物的作用,我们可以生产酒、醋、酸奶、馒头和面包等食品。 ②土壤中的微生物可以分解动植物的尸体,使它们变成植物需要的营养素。 ③在工业生产和医药卫生中也都离不开微生物。 ∴an=a1+(n﹣1)d=1+(n﹣1)×1=n, ∴bn=2n. ∴. ∴Tn=+…++, ∴2Tn=
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