北京市海淀区学年高二上学期期中考试数学文试题.docx
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北京市海淀区学年高二上学期期中考试数学文试题
绝密★启用前
【全国百强校】北京市海淀区2017学年高二上学期期中考试数学(文)试题
试卷副标题
考试范围:
xxx;考试时间:
100分钟;命题人:
xxx
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷(选择题)
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、单选题
1.抛物线
的焦点到准线的距离为()
(A)
(B)1(C)
(D)
2.过点
且平行于直线
的直线方程为().
A.
B.
C.
D.
3.
的
,
,
的对边分别为
,
,
,若
,则
的大小为().
A.
B.
C.
D.
4.圆
的方程为
,则其圆心坐标及半径分别为().
A.
,
B.
,
C.
,
D.
,
5.已知两直线
,
及两个平面
,
,给出下列四个命题,正确的命题是().
A.若
,
则
B.若
,
,
则
C.若
,
则
D.若
,
则
6.已知双曲线
的一条渐近线方程为
,它的焦距为
,则此双曲线的方程为().
A.
B.
C.
D.
7.
是椭圆
的两个焦点,A为椭圆上一点,且∠
,则
Δ
的面积为()
A.7B.
C.
D.
8.若抛物线
上总存在两点关于直线
对称,则实数
的取值范围是().
A.
B.
C.
D.
第II卷(非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
9.如图所示,一个三棱锥的三视图是三个直角三角形,则该三棱锥的体积为
10.等差数列
满足
,公差
,则其通项公式
____________,前
项和公式
___________.
11.抛物线的焦点在直线
上,则抛物线的标准方程为____________.
12.圆锥的底面半径等于
,其轴截面的面积等于
,则此圆锥侧面展开图的圆心角等于__________.
13.已知
,
是椭圆
在左,右焦点,
是椭圆上一点,若
是等腰直角三角形,则椭圆的离心率等于__________.
14.以下关于圆锥曲线的
个命题中:
(
)方程
的两实根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;
(
)设
,
为平面内两个定点,若
,则动点
的轨迹为双曲线的一支;
(
)方程
表示椭圆,则
的取值范围是
;
(
)双曲线
与椭圆
有相同的焦点.
其中真命题的序号为___________(写出所有真命题的序号).
评卷人
得分
三、解答题
15.求解下列各题
(
)正四棱柱
的体对角线
的长等于
,则棱
的长等于
,求此四棱柱底面边长和表面积.
(
)一个球被一个平面所截,截面的面积等于
,且球心到截面的距离等于球半径的一半,求这个球的表面积和体积.
16.在
中,角
,
,
的对边分别为
,
,
.
.
(
)求角
的大小.
(
)若
,求边
的最小值.
17.如图,在直三棱柱
中,
,
,点
是
的中.
求证:
(
)
平面
.
(
)
.
(
)
平面
.
18.已知两点
,
在椭圆
上.
(
)求椭圆
的标准方程和焦点坐标.
(
)若
是椭圆上的动点,
是
轴正半轴上的一个定点,求线段
的长度
关于
的函数表达式,并求
的最小值.
19.设数列
满足
,且
.
(
)求
,
,
的值.
(
)证明:
数列
为等比数列,并求出数列
的前
项和
.
(
)若数列
,求数列
的前
项和
.
20.已知椭圆
过点
,
为椭圆的半焦距,且
.
(
)求椭圆
的方程.
(
)过点
作两条互相垂直的直线
,
,与椭圆
分别交于另两点
,
.
①若直线
的斜率为
,求
的面积.
②若线段
的中点在
轴上,求直线
的方程.
参考答案
1.C
【解析】
试题分析:
由已知
,故抛物线
的焦点到准线的距离为
考点:
抛物线的性质
2.B
【解析】由条件知直线的斜率为
,又过
,即
,化简得到
即
.
故选
.
3.A
【解析】由余弦定理得到
,根据条件又
,代入上式得到
,又为三角形内角故
,∴
.
故选
.
4.D
【解析】圆
,化为标准式得到
.由标准方程的定义得到,圆心为
,半径为
.
故选
.
5.B
【解析】
中,
与
可能相交,不一定是平行的故
错误.
中,两条线垂直于两个垂直的平面,则两条线应是垂直关系,故
正确.
中,
与
可能平行,故
错误.
中,
可能在
上,此时不满足
错误.
故选
.
6.C
【解析】由题知
,∴
.又
,
∴
,
.又
,
∴
.得
,
.故双曲线方程为
.
故选
.
点睛:
根据双曲线的渐近线方程得到
,再结合
,可以求得双曲线方程。
明确双曲线的焦点位置,可以确定渐近线方程为
,根据双曲线中基本量的关系,得到
,二元二次方程组,可以求得方程。
7.C
【解析】试题分析:
由题意
得
,由椭圆的定义可以得到
,利用余弦定理
,求出
,故三角形
面积
考点:
1.椭圆的定义、标准方程;2.椭圆的性质;3.余弦定理的应用.
8.D
【解析】设两个对称点为
,
,
线段
的中点为
,
设直线
的方程为
,
由于
,
两点存在,
故
,有两组不同的实数解,
即
,
∵
.①
由中点坐标公式可得
,
.
∵
在直线
上,
∴
,
即
,代入①解得
.
故选
.
点睛:
本题考查的是点的对称性和抛物线结合,设两个对称点为
,
,根据对称的方程可设直线
的方程为
,由于
,
两点存在,故
,转化为上方程有两组不同的实数解问题。
9.
【解析】
试题分析:
根据题意由于三视图,可知该几何体提的底面是直角三角形,直角边为2,和4,同时高为3,那么利用三棱锥的体积公式可知,
故答案为4.
考点:
三视图,三棱锥体积
点评:
解决该试题的关键是还原几何体,运用相应的体积公式来得到,属于基础题。
10.
,
【解析】由等差数列的通项的性质得到:
,
.∴
.
由等差数列前n项和的性质得到:
.
故
,
.
11.
或
【解析】
与坐标轴的交点为
和
.当抛物线焦点为
时,
,
.故抛物线为
.
当抛物线焦点为
时,
,
.
故抛物线为
12.
【解析】圆锥展开后是扇形,要求扇形的圆心角先求得弧长,即圆锥的底面圆的周长,由周截面面积公式得到:
,h
,母线
,故
,
得
.
13.
或
【解析】由
是等腰直角三角形,若
为直角顶点,即有
,
即为
,即有
.则
.
角
或角
为直角,不妨令角
为直角,此时
,代入椭圆方程
,得
.又等腰直角
,得
,故得
,即
,即
.得
,又
,得
.
故椭圆离心率为
或
.
点睛:
这个题目考考查了分类讨论的思想,已知
是等腰直角三角形,可得到要讨论哪个角是直角,若
为直角顶点,可得
,进而求得离心率。
令角
为直角,此时
,代入椭圆方程得到基本量的关系。
14.(
)(
)(
)
【解析】(
)中
的两实根为
和
,可分别作为椭圆和双曲线的离心率,正确.
(
)中,由双曲线定义动点到两定点距离之差是定值,且定值小于两定点距离。
知(
)正确.
(
)中,
,
且
,故
的取值范围为
,(
)错误.
(
)中,双曲线和椭圆焦点都为
.
,(
)正确.
故正确的选项为(
)(
)(
)。
点睛:
这个题目的综合性较强,首先明确椭圆离心率是介于
之间的而双曲线是大于1的;再就是考查双曲线的课本定义;第三个根据椭圆的基本方程得到
且
,第四个根据各自的基本量的关系得到焦点坐标。
15.
(1)表面积为
,底面边长为
;
(2)球体积
,球表面积
.
【解析】试题分析:
(
)正四棱柱就是地面为正方形的长方体,侧棱垂直于底面,根据勾股定理可得底面边长为
,则
,得
,知道长宽高,即可求得结果。
(
)由截面面积可求得截面的半径,截面圆半径
,再根据圆中垂面定理求得球的半径,进而得到结果。
(
)设底面边长为
,则
,得
表面积
.故底面边长为
.表面积为
.
(
)设球半径为
,则截面圆半径
,故
,
得
.故球表面积
.球体积
.
16.
(1)
;
(2)
.
【解析】试题分析:
(1)由正余弦公式得到
,再解二次方程得到余弦值,从而得角;
(2)根据余弦定理
再结合
,最终得到
,再由均值不等式得到
,从而得到
.
(
)
,则
,即
,
故
或
(舍去).∴
,又
,∴
.
(
)
,
,即
,即
.
又
,故
,∴
.故当且仅当
时,
,
17.
(1)见解析;
(2)见解析;(3)见解析.
【解析】试题分析:
(1)由原图是直棱柱得到
,再有
,
,点
是
的中得到
;
(2)由AC⊥BC,且BC1在平面ABC内的射影为BC,能证明AC⊥BC1.(3)设CB1与C1B的交点为E,连结DE,由已知推导出DE∥AC1,由此能证明AC1∥平面CDB1.
(
)∵
,且
为
中点,
∴
.
∵直三棱柱
,
∴
面
,
又
面
,
∴
,
又
,
,
,
面
,
∴
面
.
(
)由(
)知,
面
,
又
面
,
∴
.
又
,
,
,
面
,
∴
面
,
又
面
,
∴
.
(
)连接
,交
于
点,连接
.
易知
为
中点,
又
为
中点,
∴
是
中位线.
∴
又
面
,
面
,
∴
面
.
18.
(1)焦点坐标为
,
;
(2)见解析.
【解析】试题分析:
(1)由椭园中的已知点和
这一关系可以得到椭圆
标准方程为
;
(2)直接翻译条件根据点点距离公式到得到
再根据二次函数和
求得式子的范围.
(
)将
,
代入椭圆方程,得
,
.∴
,
.
,
.故椭圆
标准方程为
.焦点坐标为
,
.
(
)
.
.①
时,
,
.此时
时
.②
时,
,
,此时
时,
.
19.
(1)
,
,
;
(2)见解析;(3)
.
【解析】试题分析:
(1)根据
这一表达式直接带入求得每一项的值;
(2)构造等比数列
检验首相,满足等比数列的概念;(3)
,
,裂项求和即可。
(
)
,
,
,
.
(
)由
,得
,又
,可知
是首项为
,公比为
的等比数列.
(
)
,即
,
,∴
,∴
点睛:
这个题目考查了数列特定项的求法,直接带入递推公式求出即可;
(2)根据要求证的式子构造数列,证明满足等比数列概念即可;(3)观察数列通项,裂项求和即可.总体来说考查了数列中的基本知识方法。
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