空间点直线平面的位置关系.docx
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空间点直线平面的位置关系
2.1.1平面
1.已知点P在直线l上,而直线l在平面α内,用符号表示为( ).
A.P⊂l⊂αB.P∈l∈α
C.P⊂l∈αD.P∈l⊂α
解析 直线和平面可看作点的集合,点是基本元素.
答案 D
2.如下四图表示两个相交平面,其中画法正确的是( ).
解析 对于A,图中没有画出平面α与平面β的交线,另外图中的实线也没有按照画法原则去画,因此A的画法不正确,同理B、C的画法也不正确,D的画法正确.
答案 D
3.如果直线a⊂平面α,直线b⊂平面α,M∈a,N∈b,M∈l,N∈l,则( ).
A.l⊂αB.l⊄α
C.l∩α=MD.l∩α=N
解析 据公理1可知:
直线l上两点M、N都在平面α内,所以l在平面α内,故选A.
答案 A
4.下列语句是对平面的描述:
①平面是绝对平的且是无限延展的;
②一个平面将无限的空间分成两部分;
③平面可以看作空间的点的集合,它是一个无限集;
④四边形确定一个平面.
其中正确的序号是________.
解析 根据平面的概念和特征①②③都是从不同的角度对平面的描述,因此都是
正确的.④是错误的.如图所示的四边形ABCD四个顶点是不在一个平面内的.
答案 ①②③
5.设平面α与平面β相交于l,直线a⊂α,直线b⊂β,a∩b=M,则M________l.
解析 因为a∩b=M,a⊂α,b⊂β,所以M∈α,M∈β.又因为α∩β=l,所以M∈l.
答案 ∈
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,试画出平面AB1D1与平面ACC1A1的交线.
解 根据公理3,只要找到两平面的两个公共点即可.
如图,设A1C1∩B1D1=O1.
∵O1∈A1C1,A1C1⊂平面ACC1A1,
∴O1∈平面ACC1A1.
又∵O1∈B1D1,B1D1⊂平面AB1D1,
∴O1∈平面AB1D1.
∴O1是平面ACC1A1与平面AB1D1的公共点.
而点A显然也是平面ACC1A与平面AB1D1的公共点.
连接AO1,根据公理3知AO1是平面AB1D1与平面ACC1A1的交线.
7.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论错误的是( ).
A.C1,M,O三点共线
B.C1,M,O,C四点共面
C.C1,O,A,M四点共面
D.D1,D,O,M四点共面
解析 在题图中,连接A1C1,AC,则AC∩BD=O,A1C∩平面C1BD=M.
∴三点C1,M,O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上,即C1,M,O三点共线,
∴选项A,B,C均正确,D不正确.
答案 D
8.在三棱锥A-BCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点,如果EF∩HG=P,则点P( ).
A.一定在直线BD上
B.一定在直线AC上
C.在直线AC或BD上
D.不在直线AC上,也不在直线BD上
解析 如图所示,
∵EF⊂平面ABC,HG⊂平面ACD,EF∩HG=P,
∴P∈平面ABC,P∈平面ACD.
又∵平面ABC∩平面ACD=AC,
∴P∈AC,故选B.
答案 B
9.给出下列三个命题:
①空间四点共面,则其中必有三点共线;
②空间四点中有三点共线,则此四点必共面;
③空间四点中任何三点不共线,则此四点不共面.
其中正确命题的序号是________.
解析 对于命题①③,可用平行四边形的四个顶点来排除.
答案 ②
10.已知平面α∩平面β=l,点M∈α,N∈α,P∈β,P∉l且MN∩l=R,过M,N,P三点所确定的平面记为γ,则β∩γ等于________.
解析 如图,MN⊂γ,R∈MN,
∴R∈γ.
又R∈l,∴R∈β.
又P∈r,P∈β,∴β∩γ=PR.
答案 直线PR
11.求证:
两两相交且不共点的四条直线a、b、c、d共面.
证明
(1)无三线共点情况,如图
(1).
设a∩d=M,b∩d=N,c∩d=P,a∩b=Q,a∩c=R,b∩c=S.
因为a∩d=M,所以a,d可确定一个平面α.
因为N∈d,Q∈a,所以N∈α,Q∈α,
所以NQ⊂α,即b⊂α.
同理c⊂α,所以a,b,c,d共面.
②有三线共点的情况,如图
(2).
设b,c,d三线相交于点K,与a分别交于N,P,M且K∉a,
因为K∉a,所以K和a确定一个平面,设为β.
因为N∈a,a⊂β,所以N∈β.所以NK⊂β,即b⊂β.
同理c⊂β,d⊂β.所以a,b,c,d共面.
由
(1)、
(2)知a,b,c,d共面.
12.(创新拓展)在空间四边形ABCD中,H、G分别是AD、CD的中点,E,F
分别是边AB,BC上的点,且
=
=
.
求证:
直线EH、BD、FG相交于一点.
证明 连接EF、GH(如图所示).
∵H、G分别是AD、CD的中点,
∴GH∥AC,且GH=
AC.
∵
=
=
,
∴EF∥AC,且EF=
AC.
∴GH∥EF,且GH≠EF.
∴EH与FG相交,设交点为P.
∵EH⊂平面ABD,
∴P∈平面ABD.
同理P∈平面BCD.
又∵平面ABD∩平面BCD=BD,
∴P∈BD.
∴直线EH、BD、FG相交于一点.
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
1.分别和两条异面直线都相交的两条直线一定( ).
A.异面B.相交
C.不相交D.不平行
解析 和两条异面直线都相交的两条直线可能相交,也可能异面,但一定不平行.
答案 D
2.若两个三角形不在同一平面内,它们的边两两对应平行,那么这两个三角形
( ).
A.全等B.相似
C.仅有一个角相等D.全等或相似
解析 由等角定理知,这两个三角形的三个角分别对应相等,所以选D.
答案 D
3.长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有( ).
A.2对B.3对C.6对D.12对
解析 如图所示,在长方体AC1中,与对角线AC1成异面直线位置关系的是:
A1D1、BC、BB1、DD1、A1B1、DC,所以组成6对异面直线.
答案 C
4.下列命题不正确的是________.
①如果两条直线都和第三条直线垂直,那么这两条直线平行;②如果两条直线都和第三条直线所成的角相等,那么这两条直线平行;③两条异面直线所成的角为锐角或直角;
④直线a与b异面,b与c也异面,则直线a与c必异面.
解析 命题①②中的两条直线可以相交,也可以异面,还可以平行,对于命题④,异面直线不具有传递性.
答案 ①②④
5.若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则B1D与CC1所成角的正切值为________.
解析 如图B1D与CC1所成的角为∠BB1D.
∵△DBB1为直角三角形.
∴tan∠BB1D=
=
.
答案
6.如图,在长方体木块ABCD-A1B1C1D1中,P是面A1C1上的一点,过点P如何画一条直线和棱AB平行?
过点P如何画一条直线和BD平行?
解 如图,过点P在面A1C1内作直线l∥A1B1,
由于A1B1∥AB,
∴l∥AB,l即为所画直线.
连接B1D1,若P∈B1D1,
∵BB1綉DD1,
∴BD∥B1D1,B1D1即为所画直线.
若P∉B1D1,过点P作直线l1∥B1D1,
∵B1D1∥BD,∴l1∥BD.
∴l1为平面A1C1内过点P且与BD平行的直线.
7.已知异面直线a与b满足a⊂α,b⊂β,且α∩β=c,则c与a,b的位置关系一定是( ).
A.c与a,b都相交
B.c至少与a,b中的一条相交
C.c至多与a,b中的一条相交
D.c至少与a,b中的一条平行
解析 ∵a⊂α,c⊂α,
∴a与c相交或平行.
同理,b与c相交或平行.
若c∥a,c∥b,则a∥b,这与a,b异面矛盾.
∴a,b不能都与c平行,即直线a,b中至少有一条与c相交.
答案 B
8.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:
①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°;
③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.
以上结论中正确的为( ).
A.①②B.③④C.②③D.①③
解析 根据正方体平面展开图还原出原来的正方体,如图所示,由图可知AB⊥
EF,AB∥CM,EF与MN是异面直线,MN⊥CD,只有①③正确.
答案 D
9.(2012·菏泽高一检测)如图,若G、H、M、N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有________.
解析 ①中HG∥MN,③中GM∥HN且GM≠HN,故HG、NM必相交,②④正确.
答案 ②④
10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点,则异面直线EF与GH所成的角等于________.
解析 由于EF∥A1B,GH∥BC1,
所以A1B与BC1所成的角即为EF与GH所成的角,由于△A1BC1为正三角形,所以A1B与BC1所成的角为60°,即EF与GH所成的角为60°.
答案 60°
11.如图,△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′,BB′,CC′交于同
一点O,且
=
=
=
.
(1)求证:
A′B′∥AB,A′C′∥AC,
B′C′∥BC;
(2)求
的值.
(1)证明 ∵AA′∩BB′=O,
且
=
=
,
∴AB∥A′B′,
同理AC∥A′C′,BC∥B′C′.
(2)解 ∵A′B′∥AB,A′C′∥AC且AB和A′B′、AC和A′C′方向相反,
∴∠BAC=∠B′A′C′.
同理∠ABC=∠A′B′C′,∠ACB=∠A′C′B′,
∴△ABC∽△A′B′C′
且
=
=
,
∴
=
2=
.
12.(创新拓展)如图,在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E、F分别为CC1、AD的中点,求异面直线OE和FD1所成角的余弦值.
解 取D1C1的中点M,连接OM,OF,因为OF綉MD1,
所以四边形OFD1M是平行四边形,
所以OM綉FD1,
所以∠MOE是异面直线OE和FD1所成的角或其补角.
连接OC、ME.
OM=FD1=
=
=
a,
ME=
=
=
a.
OE=
=
=
a.
所以OE2+ME2=OM2=
a2,
所以△OME是直角三角形,
且∠OEM=90°,
所以cos∠MOE=
=
=
,
即异面直线OE和FD1所成角的余弦值是
.
2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系
2.1.3平面与平面之间的位置关系
1.若直线m不平行于平面α,且m⊄α,则下列结论成立的是( ).
A.α内的所有直线与m异面
B.α内不存在与m平行的直线
C.α内存在唯一的直线与m平行
D.α内的直线与m都相交
解析 由题意可知m与α相交,故选B.
答案 B
2.如果直线l在平面α外,那么直线l与平面α( ).
A.没有公共点B.至多有一个公共点
C.至少有一个公共点D.有且只有一个公共点
解析 若l⊄α,则l∥α或l与α相交于一点.故选B.
答案 B
3.若一直线上有两点在已知平面外,则下列命题正确的是( ).
A.直线上所有的点都在平面外
B.直线上有无数多个点都在平面外
C.直线上有无数多个点都在平面内
D.直线上至少有一个点在平面内
解析 一直线上有两点在已知平面外,则直线与平面平行或相交.相交时有且只有一个点在平面内,故A、C不对;直线与平面平行时,直线没有一个点在平面内,故D不对.故选B.
答案 B
4.如果空间三个平面每两个都相交,那么它们的交线有________条.
解析 以打开的书页或长方体为模型,观察可得结论.
答案 1或3
5.一条直线和两个相交平面的交线平行,则这条直线满足________(填序号).
①与两个平面都平行;②与两个平面都相交;③在两个平面内;④至少和其中一个平面平行.
解析 直线和两个平面的交线平行,这条直线可能在其中一个平面内且与另一个平面平行,也可能不在任何一个平面内且与两个平面都平行.
答案 ④
6.如果三个平面α、β、γ满足α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b,且直线c⊂β,c∥b.
(1)判断c与α的位置关系,并说明理由;
(2)判断c与a的位置关系,并说明理由.
解
(1)c∥α.因为α∥β,所以α与β没有公共点,
又c⊂β,所以c与α无公共点,
则c∥α.
(2)c∥a.因为α∥β,所以α与β没有公共点,
又γ∩α=a,γ∩β=b,则a⊂α,b⊂β,且a,b⊂γ,
所以a,b没有公共点.由于a,b都在平面γ内,
因此a∥b,又c∥b,所以c∥a.
7.下列四个结论:
①两条直线都和同一个平面平行,则这两条直线平行;②两条直线没有公共点,则这两条直线平行;③两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线平行;④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点,则这条直线和这个平面平行.其中正确的个数为( ).
A.0B.1C.2D.3
解析 ①两条直线都和同一个平面平行,则这两条直线三种位置关系都有可能;②两条直线没有公共点,则这两条直线平行或异面;③两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线三种位置关系都有可能;④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点,则这条直线也可能在这个平面内.
答案 A
8.若两个平面互相平行,则分别在这两个平行平面内的直线( ).
A.平行B.异面
C.相交D.平行或异面
解析 两直线分别在两个平行平面内,则两直线没有公共点,所以分别在这两个平行平面内的直线平行或异面.故选D.
答案 D
9.经过平面外两点可作这个平面的平行平面的个数是________.
解析 当过两点的直线与平面相交时,不能作出符合题意的平面;当过两点的直线与平面平行时,可作唯一的一个平行平面.
答案 至多可以作一个
10.若直线a∥平面α,直线b∥平面α,则a与b的位置关系是________.
解析 在长方体ABCD-A′B′C′D′中,E,F分别是AA′,BB′的中点.
A′B′∥平面ABCD,C′D′∥平面ABCD,A′B′∥C′D′;
A′B′∥平面ABCD,A′D′∥平面ABCD,A′D′∩A′B′=A′;A′D′∥平面ABCD,EF∥平面ABCD.
A′D′与EF异面.
答案 平行、相交或异面
11.已知一条直线与一个平面平行,求证:
经过这个平面内的一点与这条直线平行的直线必在这个平面内.
解 已知:
a∥α,A∈α,A∈b,b∥a.
求证:
b⊂α.
证明 如图,∵a∥α,A∈α,
∴A∉a,
∴由A和a可确定一个平面β,
则A∈β,
∴α与β相交于过点A的直线,
设α∩β=c,由a∥α知,a与α无公共点,而c⊂α,
∴a与c无公共点.
∵a⊂β,c⊂β,
∴a∥c.又已知a∥b,有A∈b,A∈c
∴b与c重合.
∴b⊂α.
12.(创新拓展)如图,已知平面α∩β=l,点A∈α,点B∈α,点C∈β,且A∉l,B∉l,直线AB与l不平行,那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系?
证明你的结论.
解 平面ABC与β的交线与l相交.
证明:
∵AB与l不平行,且AB⊂α,l⊂α,
∴AB与l一定相交,
设AB∩l=P,则P∈AB,P∈l.
又∵AB⊂平面ABC,l⊂β,
∴P∈平面ABC,P∈β.
∴点P是平面ABC与β的一个公共点,
而点C也是平面ABC与β的一个公共点,
且P,C是不同的两点,
∴直线PC就是平面ABC与β的交线.
即平面ABC∩β=PC,而PC∩l=P,
∴平面ABC与β的交线与l相交.
2.2.1直线与平面平行的判定
2.2.1平面与平面平行的判定
1.下列说法正确的是( ).
①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行;
②一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行;
③一个平面内任何直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行;
④一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行,则这两个平面平行.
A.①③B.②④C.②③④D.③④
解析 由两平面平行的判定定理知③④正确.
答案 D
2.在六棱柱的表面中互相平行的面最多有几对( ).
A.2B.3C.4D.5
解析 当底面是正六边形时,共有4对面互相平行.
答案 C
3.在正方体EFGHE1F1G1H1中,下列四对截面中彼此平行的一对截面是( ).
A.平面E1FG1与平面EGH1
B.平面FHG1与平面F1H1G
C.平面F1H1H与平面FHE1
D.平面E1HG1与平面EH1G
解析 EG∥E1G1,FG1∥EH1,∴EG∥面E1FG1,EH1∥平面E1FG1,且EG∩EH1=E,∴平面EGH1∥平面E1FG1.
答案 A
4.已知a和b是异面直线,且a⊂平面α,b⊂平面β,a∥β,b∥α,则平面α与β的位置关系是________.
解析 在b上任取一点O,则直线a与点O确定一个平面γ,
设γ∩β=l,则l⊂β,
∵a∥β,∴a与l无公共点,
∴a∥l,∴l∥α.又b∥α,根据面面平行的判定定理可得α∥β.
答案 平行
5.如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中,
①BM∥平面DE;
②CN∥平面AF;
③平面BDM∥平面AFN;
④平面BDE∥平面NCF.
以上四个命题中,正确命题的序号是________.
解析 以ABCD为下底面还原正方体,如图:
则易判定四个命题都是正确的.
答案 ①②③④
6.(2012·南京高一检测)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,BC=2AD.
(1)求证:
AB⊥PD.
(2)在线段PB上是否存在一点E,使AE∥平面PCD,若存在,指出点E的位置并加以证明;若不存在,请说明理由.
(1)证明 ∵PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD,PA∩AD=A,∴AB⊥平面PAD.
∵PD⊂平面PAD,∴AB⊥PD.
(2)法一 如图
(1),取线段PB的中点E,PC的中点F,连结AE,EF,DF,则EF是△PBC的中位线.
∴EF∥BC,EF=
BC.
∵AD∥BC,AD=
BC,∴AD∥EF,AD=EF,
∴四边形EFDA是平行四边形,∴AE∥DF.
(1)
∵AE⊄平面PCD,DF⊂平面PCD,∴AE∥平面PCD.
∴线段PB的中点E是符合题意的点.
法二 如图
(2),取线段PB的中点E,BC的中点F,连结AE,EF,AF,则EF是△PBC的中位线.∴EF∥PC.
∵EF⊄平面PCD,PC⊂平面PCD,
∴EF∥平面PCD.
∵AD∥BC,AD=
BC,CF=
BC,
∴AD∥CF,AD=CF.
(2)
∴四边形DAFC是平行四边形,∴AF∥CD.
∵AF⊄平面PCD,CD⊂平面PCD,∴AF∥平面PCD.
∵AF∩EF=F,∴平面AEF∥平面PCD.
∴AE⊂平面AEF,∴AE∥平面PCD.
∴线段PB的中点E是符合题意的点.
7.已知a是平面α外的一条直线,过a作平面β使β∥α,这样的β有( ).
A.只能作一个B.至少一个
C.不存在D.至多一个
解析 ∵a是平面α外的一条直线,
∴a∥α或a与α相交.
当a∥α时,β只有一个,当a与α相交时,β不存在.
答案 D
8.(2012·济宁高一期中)如图,在下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( ).
A.①③B.①④C.②③D.②④
解析 ①中,取NP中点O,连MO,则MO∥AB,
∴AB∥平面MNP;
②中,在平面MNP内找不到与AB平行的直线,故②不能得出;③中,AB与平面MNP相交;
④中,∵AB∥NP,
∴AB∥平面MNP.
答案 B
9.设m,n是平面α外的两条直线,给出下列三个论断:
①m∥n;
②m∥α;③n∥α,以其中两个为条件,余下的一个为结论,可构成三个命题,写出你认为正确的一个命题________.
解析 m⊄α,n⊄α,m∥n,m∥α⇒n∥α,即①②⇒③.
答案 ①②⇒③
10.已知点S是正三角形ABC所在平面外一点,点D,E,F分别是SA,SB,SC的中点,则平面DEF与平面ABC的位置关系是________.
解析 由D,E,F分别是SA,SB,SC的中点知EF是△SBC的中位线,
∴EF∥BC.
又∵BC⊂平面ABC,EF⊄平面ABC,
∴EF∥平面ABC.同理DE∥平面ABC.
∵EF∩DE=E,
∴平面DEF∥平面ABC.
答案 平行
11.已知底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD,点E在PD上,且PE∶ED=2∶1,在棱PC上是否存在一点F,使BF∥面AEC?
证明你的结论,并说出点F的位置.
解 如图,连接BD交AC于O点,连接OE,过B点作OE的平行线交PD于点G,过点G作GF∥CE,交PC于点F,连接BF.
∵BG∥OE,BG⊄平面AEC,
OE⊂平面AEC,
∴BG∥平面AEC.
同理,GF∥平面AEC,
又BG∩GF=G.
∴平面BGF∥平面AEC,
∴BF∥平面AEC.
∵BG∥OE,O是BD中点,∴E是GD中点.
又∵PE∶ED=2∶1,∴G是PE中点.
而GF∥CE,∴F为PC中点.
综上,当点F是PC中点时,BF∥平面AEC.
12.(创新拓展)如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1的中点是P,过点A1作与截面PBC1平行的截面,能否确定截面的形状?
如果能,求出截面的面积.
解 取AB,C1D1的中点M,N,连接A1M,MC,CN,NA1.
∵A1N綉PC1綉MC,
∴四边形A1MCN是平行四边形.
又∵A1N∥PC1,A1M∥BP,
A1N∩A1M=A1,C1P∩PB=P,
∴平面A1MCN∥平面PBC1.
因此,过点A1与截面PBC1平行的截面是平行四边形.
连接MN,作A1H⊥MN于点H.
∵A1M=A1N=
,MN=2
,
∴△A1MN为等腰三角形.
∴A1H=
.
∴S△A1MN=
×2
×
=
.
2.2.3直线与平面平行的性质
2.2.4平面与平面平行的性质
1.如果直线a∥平面α,那么直线a与平面α内的( ).
A.一条直线不相交
B.两条相交直线不相交
C.无数条直线不相交
D.任意一条直线不相交
解析 线面平行,则线面无公共点,所以选D,对于C,要注意“无数”并不代表所有.
答案 D
2.如果平面α∥平面β,夹在α和β间的两线段相等,那么这两条线段所在直线的位置关系是( ).
A.平行B.相交
C.异面D.平行,相交或异面
解析 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,AA1∥BB1,
A1D∩A1B=A1,AD1与A1B是异面直线.故选D.
答案 D
3.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AA1和BB1的中点,过EF的平面EF
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