数学圆.docx
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数学圆.docx
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数学圆
1、圆的定义:
平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
2、和圆相关的概念:
(1)、弦:
连结圆上任意两点的线段;(弦不一定是直径,直径一定是弦,直径是圆中最长的弦)
(2)、直径:
经过圆心的弦;
(3)、弧:
圆上任意两点间的部分;(弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数,等于这条弧所对圆周角的两倍)
(4)、半圆:
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆;
(5)、优弧:
大于半圆的弧,用三个大写字母表示;
(6)、劣弧:
小于半圆的弧,用两个大写字母表示;
(7)、弓形由弦及其所对的弧组成的图形;
(8)、等圆:
能够重合的两个圆;
(9)、等弧:
在同圆或等圆中,能够互相重合的弧;
(10)、同心圆:
圆心相同,半径不相等的两个圆;
(11)、弦心距:
圆心到弦的距离。
3、垂径定理:
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。
4、垂径定理的推论:
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
5、圆既是中心对称图形,又是轴对称图形。
将圆周绕圆心旋转180°能与自身重合,因此它是中心对称图形,它的对称中心是圆心,将圆周绕圆心旋转任意一角度都能与自身重合,这说明圆具有旋转不变性,是旋转对称的特例。
经圆心画任意一条直线,并沿此直线将圆对折,直线两旁的部分能够完全重合,所以圆是轴对称图形,每一条直径所在的直线都是它的对称轴,所以圆有无数条对称轴。
1.已知⊙O中最长的弦为16cm,则⊙O的半径为________cm.
2.弦AB把圆分成1:
3两部分,则AB所对的劣弧等于___度,AB所对的优弧等于___度.
3.已知⊙O的半径为4,则垂直平分这条半径的弦长是()
A、
B、
C、4D、
4.下列命题中,正确的个数是()
⑴直径是弦,但弦不一定是直径⑵半圆是弧,但弧不一定是半圆
⑶圆周角等于圆心角的一半⑷一条弦把圆分成的两段弧中,至少有一段是优弧。
A.1个B.2个C.3个D.4个
5.圆的半径为3,则弦AB长度的取值范围是.
6、下列命题中,正确的命题是()
A.平分一条弧的直径,垂直平分这条弧所对的弦;
B.平分弦的直径垂直于弦,并平分弦所对的弧;
C.在⊙O中,AB、CD是弦,若,则AB∥CD;
D.圆是轴对称图形,对称轴是圆的每一条直径.
7、如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,如果AB=20,CD=16,那么线段OE的长为()
A、10 B、8 C、6 D、4
8.在平面内到定点A的距离等于3
的点组成的图形是.
答案:
以A为圆心3
为半径的圆
9、如图,在圆O中,AB、AC为互相垂直且相等的两条弦,OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为D、E,若AC=2cm,则圆O的半径为____________cm。
10、如图,在半径为5cm的⊙O中,圆心O到弦AB的距离为3cm,则弦AB的长是()A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm
11、半径为R的⊙O中,弦AB=2R,弦CD=R,若两弦的弦心距分别为OE、OF,则OE∶OF等于()
A.2∶1B.3∶2C.2∶3D.0
1、顶点在圆心的角叫做圆心角。
2、定理:
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。
推论1:
相等的弧所对的弦相等,所对的圆心角也相等。
推论2:
相等的弦所对的弧相等,所对的圆心角也相等。
3、圆心角定理:
在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
4、顶点在圆上,且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
5、圆周角定理:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,且都等于这条弧所对的圆心角的一半。
推论1:
在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,那么它们所对的弧也一定相等。
推论2:
半圆或直径所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径。
6、如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,那么这个多边形就叫做圆内接多边形,这个圆就叫做多边形的外接圆。
7、圆内接四边形的对角互补。
1、下列说法中,正确的是()
A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等
C.圆心角相等,所对的弦相等D.弦相等所对的圆心角相等
2、一条弦把圆分成1∶3两部分,则弦所对的圆心角为_____________.
3.已知,如图,A、B、C为⊙O上的三点,∠OBA=50°,∠OBC=60°,则∠OAC=.
4、⊙O中,∠AOB=∠84°,则弦AB所对的圆周角的度数为()
A.42°B.138°C.69°D.42°或138°
5、答案:
D
5、如图,⊙O的直径CD垂直于弦EF,垂足为G,若∠EOD=40°,则∠CDF等于()
A.80°B.70°C.40°D.20°
答
6、如图,AD、BC是⊙O的两条弦,且AD=BC,
求证:
AB=CD。
7、下列说法正确的是()
A.顶点在圆上的角是圆周角B.两边都和圆相交的角是圆周角
C.圆心角是圆周角的2倍D.圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半
8、在⊙O中,同弦所对的圆周角()
A.相等B.互补C.相等或互补D.都不对
9、如图,在⊙O中,弦AD=弦DC,则图中相等的圆周角的对数有()
A.5对B.6对C.7对D.8对
10.如图,
内接于
,
,
,
为
的直径,
,那么
.
11、下列命题中正确的有()个
(1)平分弦的直径垂直于弦
(2)经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线
(3)在同圆或等圆中,圆周角等于圆心角的一半
(4)平面内三点确定一个圆
(5)三角形的外心到各个顶点的距离相等
A、1个B、2个C、3个D、4个
1、若⊙O的半径为r,点P到圆心的距离为d,则有:
点P在圆外d>r;点P在圆上d=r;点P在圆内d (“”读作“等价于”,表示可以从符号“”的一端得到另一端) 2、若三角形的三个顶点在同一个圆上,那么这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,叫做三角形的外心。 3、假设命题的结论不成立,经过推理得出矛盾,则假设不正确,故原命题成立,这种证明方法叫做反证法。 4、直线和圆的位置关系: (1)、当直线与圆有两个公共点时,叫做这条直线与圆相交,这条直线叫做圆的割线。 (2)、当有一个公共点时,叫做直线与圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个点叫做切点。 (3)、当没有公共点时,叫做直线与圆相离。 5、若⊙O的半径为r,直线l到圆心的距离为d,则有: 直线l与圆相交d 6、切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线就是圆的切线。 切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径。 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 7、经过圆外一点作圆的切线,这个点到切点的长度叫做这点到圆的切线长。 8、切线长定理: 从圆外一点可以引出两条切线,它们的切线长相等,这个点与圆心的连线平分两条切线的夹角。 9、与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条边的角平分线的交点,叫做三角形的内心。 确定内切圆方法: 作出角平分线,以交点为圆心,以它到任意一边的距离为半径作圆即可。 10、确定圆的条件: 过一个点可以作无数个圆;过两个点可以作无数个圆,这些圆的圆心在连接这两个点的线段的垂直平分线上;过在同一条直线上的三个点不能作圆;过不在同一直线上的三个点可确定一个圆。 1.已知圆O的半径为1,点P到圆心O的距离为2,过点P作圆的切线,那么切线长是________. 2.已知⊙O的半径为r,点O到直线l的距离为d,当d=r时,直线l与⊙O的位置关系是_____________. 3.已知⊙O的半径为10cm,如果一条直线和圆心O的距离为10cm,那么这条直线和这个圆的位置关系为() A.相离B.相切C.相交D.相交或相离 4、如图,在 中,直角边 , ,点 , 分别是 , 的中点,以点 为圆心, 的长为半径画圆,则点 在圆A的_________,点 在圆A的_________. 5、在 中,BC=6cm,∠B=30°,∠C=45°,以A为圆心,当半径r多长时所作的⊙A与直线BC相切? 相交? 相离? 6.如右图,A、B是⊙O上的两点,AC是⊙O的切线,∠B=70°,则∠BAC等于() A.70°B.35°C.20°D.10° 7.如图,已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°,过C点的切线PC与AB的延长线交于P,PC=5,则⊙O的半径为() A. B. C.10D.5 8.如图,PA切⊙O于A,PB切⊙O于B,OP交⊙O于C,下列结论中,错误的是() A.∠1=∠2B.PA=PBC.AB⊥OPD. PC·PO 圆和圆的位置关系 1、如果两个圆没有公共点,就叫做这两个圆相离(如 (1)(5)(6))。 其中 (1)叫做外离,(5)(6)叫做内含,(6)中两圆同心是内含的一种特殊情形。 2、如果两个圆只有一个公共点,就叫做这两个圆相切(如 (2)(4))。 其中 (2)叫做外切,(4)叫做内切。 3、如果两个圆有两个公共点,就叫做这两个圆相交(如(3))。 4、若两个圆的半径分别为r1、r2(r1>r2),圆心距(两圆圆心的距离)为d,则 外离 d>r1+r2 内含 d 外切 d=r1+r2 内切 d=r1-r2 相交 r1-r2 1、已知⊙O的半径为5cm,⊙O1的半径为3cm,两圆的圆心距为7cm,则它们的位置关系是() A.相交 B.外切C.相离D.内切 2、下列命题中正确的是() A.如果两条直线被第三条直线所截,那么内错角一定相等 B.如果一个四边形的对角线互相垂直,那么这个四边形一定是菱形 C.如果两个圆的圆心距等于它们的半径之和,那么这两个圆一定有三条公切线 D.如果两个等圆不相交,那么这两个等圆一定外离 3、已知⊙O1和⊙O2的半径分别为1和5,圆心距为3,则两圆的位置关系是() A.相交B.内含C.内切D.外切 4.若两圆外切,圆心距为8cm,一个圆的半径为3cm,则另一个圆的半径为__________cm. 5、已知两圆相交,小圆半径为6,大圆半径为8,那么这 两个圆的圆心距d的取值范围是() A.d>2B.d<14C.0 1、将一个圆分成n段相等的弧,再将弧的端点顺次连接,即可得到圆内接正n边形,这个圆就叫做正n边形的外接圆。 2、正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心,其外接圆的半径叫做正多边形的半径,正多边形每一边所对的圆心角叫做中心角,中心到正多边形任意一边的距离叫做边心距。 3、正多边形都有内切圆和外接圆,这两个圆是同心圆(即垂直平分线、角平分线的交点)。 4、每一个正多边形都是轴对称图形,当边数为偶数时,它还是中心对称图形。 1、已知正六边形的半径为3cm,则这个正六边形的周长为__________cm. 2、正多边形的一个中 心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于____ _______度. 3、圆的半径扩大一倍,则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比() A.扩大了一倍B.扩大了两倍C.扩大了四倍D.没有变化 4、正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为() A.3∶2∶1B.4∶3∶2C.4∶2∶1D.6∶4∶3 5、正 五边形共有__________条对称轴,正六边形共有__________条对称轴. 6、中心角是45°的正多边形的边数是__________. 7、若正n边形的一个外角是一个内角的 时,此时该正n边形有_________条对称轴. 8、同圆的内接正三角 形与内接正方形的边长的比是() A. B. C. D. 9、正六边形的两条平行边之间的距离为1,则它的边长为() A. B. C. D. 10、已知△ABC的周长为20,△ABC的内切圆与边AB相切于点D,AD=4,那么BC=_______. 弧长和扇形面积 1、n°的圆心角所对的弧长公式: l= 2、由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。 3、圆心角为n°的扇形面积公式: S= 4、比较弧长公式和扇形面积公式,可以得到另一个扇形面积公式: S= lR(l为弧长) 5、连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。 6、圆锥的侧面积公式: S侧= Cl=πrl,圆锥全面积公式: S=πr2+πrl=πr(r+l) 1.半径为8cm的圆中,72°的圆心角所对的弧长为______;弧长为8cm的圆心角约为______. 2.半径为5cm的圆中,若扇形面积为 ,则它的圆心角为______.若扇形面积为15πcm2,则它的圆心角为______. 3.若半径为6cm的圆中,扇形面积为9πcm2,则它的弧长为______. 4.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,两等圆⊙A,⊙B外切,那么图中两个扇形(即阴影部分)的面积之和为(). A. B. C. D. 5.如图,扇形纸扇完全打开后,外侧两竹条AB,AC夹角为120°,AB的长为30cm,贴纸部分BD的长为20cm,则贴纸部分的面积为(). A. B. C. D. 6.粮仓顶部是圆锥形,这个圆锥的底面半径为2m,母线长为3m,为防雨需在仓顶部铺上油毡,这块油毡面积是() A.6m2 B.6πm2 C.12m2 D.12πm2 7.扇形的半径为6cm,面积为9 cm2,那么扇形的弧长为_____,扇形的圆心角度数为____ 1、圆的定义: 平面内到定点的距离______定长的所有点组成的图形叫做圆。 2、垂径定理: 垂直于弦的直径______这条弦,并且平分弦所对的两条______。 3、垂径定理的推论: 平分弦(不是直径)的直径垂直于______,并且平分弦所对的两条弧。 4、顶点在______的角叫做圆心角。 5、定理: 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧______,所对的弦也相等。 推论1: 相等的弧所对的弦相等,所对的圆心角也______。 推论2: 相等的弦所对的弧相等,所对的圆心角也______。 6、顶点在______,且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 7、圆周角定理: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角______,且都等于这条弧所对的圆心角的______。 推论1: 在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,那么它们所对的弧也一定相等。 推论2: 半圆或直径所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径。 8、若三角形的三个顶点在同一个圆上,那么这个圆叫做三角形的______,外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,叫做三角形的______。 9、直线和圆的位置关系: (1)、当直线与圆有两个公共点时,叫做这条直线与圆______,这条直线叫做圆的割线。 (2)、当有一个公共点时,叫做直线与圆______,这条直线叫做圆的切线,这个点叫做切点。 (3)、当没有公共点时,叫做直线与圆相离。 10、切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线就是圆的______。 切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径。 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;经过切点且垂直于切线的直线必经过______。 11、经过圆外一点作圆的切线,这个点到切点的长度叫做这点到圆的切线长。 12、切线长定理: 从圆外一点可以引出两条切线,它们的切线长______,这个点与圆心的连线平分两条切线的夹角。 13、与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条边的角平分线的交点,叫做三角形的______。 14、如果两个圆没有公共点,就叫做这两个圆相离 15、如果两个圆只有一个公共点,就叫做这两个圆相切 16、如果两个圆有两个公共点,就叫做这两个圆______ 17、正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的______,其外接圆的半径叫做正多边形的半径,正多边形每一边所对的圆心角叫做中心角,中心到正多边形任意一边的距离叫做边心距。 18、连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的______。 19、n°的圆心角所对的弧长公式: l= 20、由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做______。 21、圆心角为n°的扇形面积公式: S=
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