平面图形的认识二中的十个问题.docx

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平面图形的认识二中的十个问题

一、关于“三线八角”

　　我们把同位角、内错角、同旁内角统称为“三种角”，下面根据它们的定义，谈谈识别这“三种角”的方法，供大家学习时参考．

图7－1

　　如图7－1：

第一条直线a与第二条直线b（简称两条直线a、b）被第三条直线l所截（简称截线l）截得8个角（简称“三线八角”）．

　　图7－1中除有对顶角、邻补角外（具体的是哪些角请读者自己写出），还有这样的三组角：

　　第一组角是∠1与∠5、∠2与∠6、∠3与∠8、∠4与∠7；

　　第二组角是∠2与∠7、∠3与∠5；

　　第三组角是∠2与∠5、∠3与∠7．

　　我们不难观察发现，这三组角都有一个共同的特点，这就是没有公共顶点且都有一条边在截线上．

　　第一组角是同位角，它们分别在两直线的同侧且在截线的同旁．

　　第二组角是内错角，它们分别在两直线之间且在截线的两旁．

　　第三组角是同旁内角，它们分别在两直线之间且在截线的同旁．

　　识别“三种角”的关键是：

先要看同一对角是由哪两条直线被哪条直线截得的；然后再由它们的位置关系来判断．下面举例加以说明：

　　问题：

如图7－2，找出图中的“三种角”．

图7－2

　　分析：

（1）两直线AC、AD被直线EF所截，同位角有∠1与∠3、∠2与∠6；内错角有∠2与∠4；同旁内角有∠2与∠3．

（2）两直线AC、CE被直线AD所截，同位角有∠A与∠4；内错角有∠A与∠6；同旁内角有∠A与∠3．

　　（3）两直线AB、BC被直线AC所截，同位角没有；内错角有∠A与∠1；同旁内角有∠A与∠2．

　　由同学完成下面练习题：

图7－3

如图7－3：

指出图中的同位角有______对；内错角有______对；同旁内角有______对．

二、如何找点定位数同位角

关于“三线八角”（两条直线被第三条直线所截，构成八个角）中角与角间的位置关系及相应的概念，理解、掌握起来是容易的，但在复杂图形中运用这些概念解决实际问题还需要一定的技巧．现以同位角为例，向同学们介绍一种“找点定位数角法”．

例题　如图7－4所示，OD、FH被OG所截，E在OG上，A、B、C在OD上，试求∠O的同位角个数．

图7－4

分析与解：

此题和类似题均可采取三步走．

一、找点

根据同位角的概念可知，图中∠O的同位角的顶点分别为A、B、C、E、F（所有这些点都是“三线”中两线的交点，而P点就不是）．

二、定位

∠O在E、F处的同位角分别以EG、FG为角的一边，均分布在截线OG的右侧；在A、B、C处的同位角分别以AD、BD和CD为一边，均分布在截线OD的上方．

三、数角

在E、F、A、B、C处所有符合方位要求的角分别有2、3、1、2、1个，总和为9个．

类似数内错角、同旁内角的问题均可采取这三个步骤：

找点、定位、数角．

三、平行线及平行公理歌诀

一个平面两直线，永不相交平行线．（①刻划了平行线定义）

两线不交即平行，平行直线无交点．（②刻划了平行性质）

线外一点划直线，只有一条平行线．（③指明平行公理）

两线平行第三线，两线平行是显然．（④指明平行公理的推论）

四、证明的必要性

在几何中，除了公理以外，不管所论及的命题的结论是多么明显，都必须通过推理来证明．

这是因为：

第一、直观有时会造成错觉，直观并不永远可信．

如在图7－5中，线段AB好像小于线段AC；竖线好像比横线长；左图中心的圆好像比右图中心的圆小；上面一根横线好像比下面的一根长，但是，所有这些都是观察中的错觉．如果用圆规，直尺认真地量一量，就会发现它们实际上是相等的．这些例子说明直观并不可靠．

图7－5

第二、通过对少数具体例子的观察，测量得出的结论，并不能保证“永远正确”，不能保证在一般情况下都成立．

第三、有时，图形的性质并不能通过测量得出．例如：

两条直线永不相交的性质就不可能通过实际测量来认定．

第四、通过推理的方法来研究图形，不仅可以使我们掌握许多无法通过观察、度量能得到的性质，而且可以揭示这些性质之间的内在联系，有利于对几何图形的研究．

因此，在几何中，除了公理以外，任何一个命题的正确性，只有在进行了推理论证以后，才会得到认可．而这种推理论证，就是借助于演绎推理来进行的．

五、观察与推理

观察是就事物在自然条件下所发生的形态，通过感官认识对象的方法．

我们通过观察，可以得到许多知识．几何中研究的物体的形状、大小、位置关系等，许多都是通过观察得来的．

不过，从观察得到的认识，是初步的，往往是不全面的，不深入的．例如，我们在小学数学里观察过一些三角形三个角的和，得到“三角形三个角的和等于180°”的结论．那么，是不是所有的三角形都是这样的呢？

为什么每个三角形三个角的和必然是180°呢？

只用观察的方法就不够了，而要在观察的基础上，一步一步地，有根有据地说明理由，这就是推理．

在学习平行线的判定方法时，我们在观察和实验的基础上，得到了“同位角相等，两直线平行”．接着，根据同位角与内错角的关系，推出了“内错角相等，两直线平行”的结论．这说明，推理不仅可以使我们从观察实验得到的知识更全面、更深入，而且还可以进一步得到一些新知识．

学习几何离不开观察和实验，也需要掌握推理的方法．以后，我们还将进一步学习推理的方法．

六、生活中的平移现象

如果你是一个细心的孩子，你会发现在现实生活中存在着许许多多的平移现象，比如铁路线上运行的火车，风景区在空中平行移动的缆车，商场中经常见到的观光电梯，它们都在作平移运动．

我们已经掌握平移的基本涵义，下面来看几幅利用平移制作的美丽而又有趣的图案．

图7－6

你是不是很想知道如何利用平移做出有趣的图案？

首先，你需要准备以下材料，描图纸或透明塑料片、具有大正方形网格的纸、彩色铅笔、钢笔．如果你准备好了，那么请你按照下面的步骤动手操作，你就会亲手绘制出如此美丽的图案．

步骤1：

在具有大正方形网格的图纸中挑出一个正方形，用曲线连结正方形的一条边AB的两端，称为曲线AB，如图7－7．

步骤2：

把一张描图纸或透明塑料片覆盖在AB上，并用笔尖合适的钢笔在描图纸或透明塑料片上描出曲线AB，把复制的图形放在原来的图形之下，并把复制的图形向上平移，使得曲线AB的两个端点上升到CD的端点处．在原来的图形上再次照描这条曲线，使得它现在连结了CD的两个端点，如图7－7．

步骤3：

用连结点A、D的一条曲线重复这样的过程，即用曲线连结正方形的一条边AD的两端，称为曲线AD，如图7－7．

步骤4：

在描图纸或透明塑料片上照描出曲线AD，并且把它平移到对边BC处，如图7－7．

图7－7

步骤5：

当完成上述步骤后，在描图纸或透明塑料片上照描整个图形，并把它移动到下一个正方形处，将你的图形画满正方形的网格纸，就能创造出一种美丽的平移图案，如图7－8．

图7－8

七、从三角形内角和想起

三角形的内角和是180°，那么三角形的外角和（当说到三角形外角和时，三角形的每一个顶点处的外角只算其中一个）是多少度呢？

如下图7－8，∠ABC＋∠GBC＝180°，∠BCA＋∠HCA＝180°，∠CAB＋∠FAB＝180°．

图7－8

所以∠ABC＋∠GBC＋∠BCA＋∠HCA＋∠CAB＋∠FAB＝3×180°＝540°．

而∠ABC＋∠BCA＋∠CAB＝180°，

所以∠GBC＋∠HCA＋∠FAB＝2×180°＝360°，即三角形的外角和为360°．

让△ABC逐渐缩小，直至A、B、C三个点重合（如图7－9所示），此时三角形的外角∠FAG，∠GBH，∠HCF都变成了什么？

图7－9

一般地，凸多边形的外角和又是多少度呢？

仍以凸五边形为例（如图7－10所示），凸多边形每一个内角与相邻的外角构成一个平角，即为180°．五个这样的平角为5×180°＝900°．但现在要求的是其外角和，所以还需减去其内角和，而内角和为3×180°，于是凸五边形的外角和为2×180°．

图7－10

你会类似于三角形那样把凸五边形缩为一点，去想象它的外角和是多少度吗？

当然，凸五边形的外角和还可以从“思维实验”的角度去想象：

如图7－10，当从五边形的顶点A出发面向B，按“A－B－C－D－E－A”行进一周时，你的视线转动了多少度？

显然仍为360°．

不管三角形的形状、位置和大小怎样，它们的内角和都是180°，令人惊奇，而所有的凸多边形的外角和都是360°，更令人惊叹．难怪有人认为，外角和比内角和更能反映多边形的本质．

细心的同学会发现，我们在多边形的前面都加了一个“凸”字，凸多边形是什么意思呢？

那是指“多边形总在任意一边所在直线的同一侧”．人们自然会问：

如果是凹多边形，其内、外角和又该是多少？

这个问题请同学自己思考并解答．

八、三角形三内角和——欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何的比较

1840年，俄国数学家罗巴切夫斯基发表了一种新几何学．尽管高斯、波尔约和罗巴切夫斯基几乎同时各自独立地发现了这种新几何学，但由于罗巴切夫斯基第一个无所畏惧地公开发表了他的结果，所以，今天人们把这种新几何称为“罗氏几何”．

罗巴切夫斯基从1815年开始试图证明平行公理，几年的努力都失败了，失败使他逐渐认识到证明平行公理或第五公设是不可能的．1826年，身为大学教授的年轻的罗巴切夫斯基勇敢地抛弃了第五公设，提出了与欧几里得几何（简称欧氏几何）完全相反的公设：

“过一点至少可以引两条直线与已知直线平行．”后来人们把这个公设叫做“罗氏公理”．由罗氏公理很容易推出以下结论：

“过已知直线外一点可以引无数条直线与已知直线平行．”

罗巴切夫斯基保留了除平行公理以外的欧几里得的全部公理．如果不涉及与平行有关的内容，罗巴切夫斯基的新几何与欧几里得几何学没有任何不同．但是只要与平行有关，那么结果就相差甚远．下表对罗巴切夫斯基几何（简称罗氏几何）、欧氏几何不同的定理作了说明．

图7－11

欧氏几何

罗氏几何

三角形的三内角和等于180o．

三角形的三内角和小于180o；并且不同的三角形有不同的内角和．

存在矩形和相似形．

不存在矩形和相似形．

两个三角形的三个对应角相等则两个三角形相似．

两个三角形的三个对应角相等，则两个三角形全等．

两平行线之间的距离处处相等．

两平行线之间的距离，沿平行线的方向越来越小．

欧氏几何说：

“三角形的三内角和等于180o．”现实生活中有没有这种几何模型呢？

有！

平面上的三角形的内角和就等于180o，如图7－12左图．

罗氏几何说“三角形的三内角和小于180o”．难道现实生活中也会有这样的几何模型吗？

有！

1868年意大利数学家贝特拉米找到了一种曲面，人们给它起名叫“伪球面”．在“伪球面”上可以证明：

“三角形内角和小于180o”，如图7－12中间的图．

图7－12

现实生活中有没有“三角形的内角和大于180o”的几何学？

有！

这是德国著名数学家黎曼于1854年提出来的，如图7－12右图．

黎曼生于德国汉诺威，父亲是牧师，他遵照父亲的愿望进入哥廷根大学学习哲学和神学．可是进哥廷根大学后，他很快被数学所吸引．于是就放弃神学专攻数学，并成为大数学家高斯的学生．1851年他获得数学博士学位，博士论文受到高斯极高的评价．1859年他成为哥廷根大学的教授，1866年因患肺结核死于意大利，年仅40岁．

黎曼提出了一种与前两种几何完全不同的新几何，叫做“黎曼几何”．黎曼几何的模型是球面，在黎曼几何中“三角形内角之和大于180o.”

后来，人们把罗氏几何和黎曼几何合在一起统称“非欧几何”．非欧几何在现代物理中，特别是相对论提出之后找到了具体用处，使得非欧几何并不像有些人说的是“想象中的几何”，而成了有着重要现实意义的几何学．

九、三角形邮票

大多数邮票是长方形的，偶尔也能看到三角形的邮票，下图就是一些三角形邮票的例子．

图7－13

在上图中，右上角的一张是中国1951年发行的第一套三角形的纪念邮票，名为“保卫世界和平”，图案是和平鸽，共计三张，面值分别是当时的人民币400元、800元和2200元（相当于现在的人民币4分、8分和22分）．这是中国发行的第一套三角形邮票．

用全等的长方形，不但能铺满平面，而且能铺满纸面上的一个长方形区域．所以，把邮票设计成长方形的，排版、打齿孔、使用都很方便，而且节约材料．

清一色的长方形邮票，看上去未免过于单调乏味，所以就有人设计和印制一些不是长方形的各种形状的邮票，统称为异形邮票．

世界上发行异形邮票最多的国家是塞拉利昂，这个国家先后发行了地图形邮票、钻石形邮票、可口可乐形邮票、香蕉形邮票等许多不同形状的邮票，非常有趣．不过这些异形邮票只能单枚印制，费时费力，没有能普遍推广使用．

在非矩形的邮票中，比较常见的是三角形邮票．这是因为，用全等的三角形也能铺满无限伸展的平面，把邮票设计成三角形的，排版、打齿孔、使用同样很方便，也比较节约材料，只是在一整版三角形邮票的四面边框附近有少许浪费．

用全等的矩形能铺满平面的原因，是由于矩形的每个内角都是直角．

用全等三角形能铺满平面的原因，是由于任意三角形的三内角之和等于180°．

世界上最早出现的三角形邮票，是1853年非洲好望角发行的，图案是“希望女神”，邮票的外形是等腰三角形．

实际上，绝大多数三角形邮票都采取等腰三角形的形状．

也有过不等边三角形的邮票，1869年，非洲的好望角发行了世界上第一枚不等边三角形邮票，邮票的三边长度互不相等．

不等边三角形同样可以铺满平面．但是实践下来，人们更多地采用等腰三角形的邮票，这可能因为等腰三角形具有对称性，包含更多的美的信息．

中国发行《中国“神舟”飞船首飞成功纪念》三角形邮票

图7－14

2000年11月20日，中国邮政部门发行一套三角形纪念邮票——《中国“神舟”飞船首飞成功纪念》，该套邮票共两枚，图案分别为“火箭腾飞”和“飞船遨游”． 

图7－15

十、地砖上的数学

随着人们生活水平的提高，家庭装修已成为一种时尚追求．在家庭装饰中，地砖的铺设就是一项非常重要的美化工作．当你看到地砖铺成的美丽图案时，你是否想到展铺这美丽图案的数学原理呢？

请看下面的分析，相信通过对下文的阅读，你不仅能弄清楚本章有关瓷砖铺设问题中的数学道理，而且还可通过对丰富多彩的图案的欣赏，体验到数学的美，提高你的审美情趣．

地砖展铺的图形，一般都是用几种完全相同的平面图形展铺开来的，有时用由直线构成的多边形组成的图案，有时用由曲线组成的图案，千变万化，但是作为基础还是用平面多边形展铺平面．有时虽然有曲线，却常常是由多边形和圆作适当变化而得到的．例如，一个由正方形展铺的平面图案（如图（a）），如果对正方形用圆弧做一些变化（如图（b）），那么把两个以上图形结合起来设计，就可由比较单调的正方形图案，变化曲线形成花纹图案了（如图（c））．

图7－16

由于多边形是构成地砖展铺复杂图形的基础，因此，下面我们对利用多边形展铺平面图形做些简要分析，以解决为什么有些图形能不留一点空隙的将地面铺满，而有些图形则不能满足要求？

下面我们以怎样以三角形为基础展铺平面图案做出说明．

怎样以三角形为基础展铺平面图案？

三角形是多边形中最简单的图形，如果用三角形为基本图形来展铺平面图案，那么就要考虑三角形的特点．由于三角形的三个内角和为180°，所以要把三角形的三个角集中到一起，就组成了一个平角．如果要在平面上一个点的周围集中三角形的角，那么必须使这些角的和为两个平角．因此，若把图中的三角形的三个内角集中在一起，并经过轴对称或中心对称，就可以得到集中于一点的六个角，它们的和为360°，刚好覆盖上这一点周围的平面．对称的方法见图：

图7－17

在中心对称的情况下，三角形不翻折，在轴对称的情况下，三角形要翻折．如果把三角形正、反两面涂上颜色，那么通过对称，正、反两面就会明显地反映出来了．

由上面的分析可知，用三角形为基本图形展铺平面图案，共有以下四种情况，如图：

图7－18