江苏省数学中考压轴题.docx
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江苏省数学中考压轴题
江苏省中考数学压轴题精解
1(08江苏常州28题)如图,抛物线
与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点.
(1)求点A的坐标;
(2)以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标;
(3)
设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为x,当
时,求x的取值范围.
解:
(1)∵
,………………………………………………1分
∴A(-2,-4).…………………………………………………………2分
(2)四边形ABP1O为菱形时,P1(-2,4);
四边形ABOP2为等腰梯形时,P2(
,
);
四边形ABP3O为直角梯形时,P3(
,
);
四边形ABOP4为直角梯形时,P4(
,
).……………………………6分
注:
正确写出一个点的坐标,得1分.
(3)由已知条件可求得AB所在直线的函数关系式是
y=-2x-8,
所以直线l对应的函数关系式为y=-2x.……………………………………7分
设点P坐标为(x,-2x).
①当点P在第二象限时,x<0,
△POB的面积
.
∵△AOB的面积
,
∴S=
+
=-4x+8(x<0).………8分
∵
,
∴
(第28题)
即
∴
∴x的取值范围是
.…………………………………………9分
②当点P在第四象限时,x>0,
过点A、P分别作x轴的垂线,垂足为A、P.
则四边形POAA的面积
=
-
=4x+4.
∵△AAB的面积
,
∴S=
+
=4x+8(x>0).……………………………………………10分
∵
,
∴
即
∴
∴x的取值范围是
≤x≤
.………………………………………11分
2(08江苏淮安28题)28.(本小题14分)
如图所示,在平面直角坐标系中.二次函数y=a(x-2)2-1图象的顶点为P,与x轴交点为A、B,与y轴交点为C.连结BP并延长交y轴于点D.
(1)写出点P的坐标;
(2)连结AP,如果△APB为等腰直角三角形,求a的值及点C、D的坐标;
(3)在
(2)的条件下,连结BC、AC、AD,点E(0,b)在线段CD(端点C、D除外)上,将△BCD绕点E逆时针方向旋转90°,得到一个新三角形.设该三角形与△ACD重叠部分的面积为S,根据不同情况,分别用含b的代数式表示S.选择其中一种情况给出解答过程,其它情况直接写出结果;判断当b为何值时,重叠部分的面积最大?
写出最大值.
解:
(1)、P(2,-1)2分
(2)、因为△APB为等腰直角三角形,P点坐标为(2,-1)
所以AB=2,所以A(1,0),B(3,0)
将A点坐标代入二次函数y=a(x-2)2-1得:
0=a(1-2)2-1,所以a=1
所以二次函数为:
y=x2-4x+3
所以C(0,3),
所以OC=OB,∠OBC=450
又∠ABP=450,所以∠CBD=900,∠BCO=450,
所以△BCD为等腰直角三角形,
所以D(0,-3);6分
(3)、10当0≤b<3时,旋转后的△B’C’D’与△ACD的重叠部分为△CEM。
因为CE=C’E,所以C点恰好在直线B’C’上,
CE=3-b,
AC直线方程为:
y=3-3x,E(0,b)
所以EM=
所以重叠部分△CEM的面积为:
S=
=
(0≤b<3)9分
20当-1
因为ED=ED’=EQ,所以D’点恰好在直线BD上,DE=EQ=3+b,所以Q(0,3+2b),D’(3+b,b)
CQ=3-(3+2b)=-2b
AC直线方程为:
y=3-3x,
AD直线方程为:
y=3x-3,
D’Q直线方程为:
y=3+2b-x,
所以EM=
,N(-b,3+3b)
所以重叠部分五边形EMANQ的面积为:
S=S△ACD-S△CQN-S△EMD
=
-
-
=
(-1
30当-3
因为ED=ED’=EQ,所以D’点恰好在直线BD上,DE=EQ=3+b,所以Q(0,3+2b),D’(3+b,b)
DQ=(3+2b)-(-3)=6+2b,
AD直线方程为:
y=3x-3,
D’Q直线方程为:
y=3+2b-x,
所以EM=
,N(
,
)
所以重叠部分四边形EMNQ的面积为:
S=S△DNQ-S△EMD
=
-
=
(-3
3(08江苏连云港24题)(本小题满分14分)
如图,现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ,Ⅱ,它们两直角边的长分别为1和2.将它们分别放置于平面直角坐标系中的
,
处,直角边
在
轴上.一直尺从上方紧靠两纸板放置,让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动.当纸板Ⅰ移动至
处时,设
与
分别交于点
,与
轴分别交于点
.
(1)求直线
所对应的函数关系式;
(2)当点
是线段
(端点除外)上的动点时,试探究:
①点
到
轴的距离
与线段
的长是否总相等?
请说明理由;
②两块纸板重叠部分(图中的阴影部分)的面积
是否存在最大值?
若存在,求出这个最大值及
取最大值时点
的坐标;若不存在,请说明理由.
解:
(1)由直角三角形纸板的两直角边的长为1和2,
知
两点的坐标分别为
.
设直线
所对应的函数关系式为
.2分
有
解得
所以,直线
所对应的函数关系式为
.4分
(2)①点
到
轴距离
与线段
的长总相等.
因为点
的坐标为
,
所以,直线
所对应的函数关系式为
.
又因为点
在直线
上,
所以可设点
的坐标为
.
过点
作
轴的垂线,设垂足为点
,则有
.
因为点
在直线
上,所以有
.6分
因为纸板为平行移动,故有
,即
.
又
,所以
.
法一:
故
,
从而有
.
得
,
.
所以
.
又有
.8分
所以
,得
,而
,
从而总有
.10分
法二:
故
,可得
.
故
.
所以
.
故
点坐标为
.
设直线
所对应的函数关系式为
,
则有
解得
所以,直线
所对的函数关系式为
.8分
将点
的坐标代入,可得
.解得
.
而
,从而总有
.10分
②由①知,点
的坐标为
,点
的坐标为
.
.12分
当
时,
有最大值,最大值为
.
取最大值时点
的坐标为
.14分
4(08江苏南京28题)(10分)一列快车从甲地驶往乙地,一列慢车从乙地驶往甲地,两车同时出发,设慢车行驶的时间为
,两车之间的距离为
,图中的折线表示
与
之间的函数关系.
根据图象进行以下探究:
信息读取
(1)甲、乙两地之间的距离为km;
(2)请解释图中点
的实际意义;
图象理解
(3)求慢车和快车的速度;
(4)求线段
所表示的
与
之间的函数关系式,并写出自变量
的取值范围;
问题解决
(5)若第二列快车也从甲地出发驶往乙地,速度与第一列快车相同.在第一列快车与慢车相遇30分钟后,第二列快车与慢车相遇.求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时?
解:
28.(本题10分)
(1)900;1分
(2)图中点
的实际意义是:
当慢车行驶4h时,慢车和快车相遇.2分
(3)由图象可知,慢车12h行驶的路程为900km,
所以慢车的速度为
;3分
当慢车行驶4h时,慢车和快车相遇,两车行驶的路程之和为900km,所以慢车和快车行驶的速度之和为
,所以快车的速度为150km/h.4分
(4)根据题意,快车行驶900km到达乙地,所以快车行驶
到达乙地,此时两车之间的距离为
,所以点
的坐标为
.
设线段
所表示的
与
之间的函数关系式为
,把
,
代入得
解得
所以,线段
所表示的
与
之间的函数关系式为
.6分
自变量
的取值范围是
.7分
(5)慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇,此时,慢车的行驶时间是4.5h.
把
代入
,得
.
此时,慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是112.5km,所以两列快车出发的间隔时间是
,即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h.10分
5(08江苏南通28题)(14分)已知双曲线
与直线
相交于A、B两点.第一象限上的点M(m,n)(在A点左侧)是双曲线
上的动点.过点B作BD∥y轴交x轴于点D.过N(0,-n)作NC∥x轴交双曲线
于点E,交BD于点C.
(1)若点D坐标是(-8,0),求A、B两点坐标及k的值.
(2)若B是CD的中点,四边形OBCE的面积为4,求直线CM的解析式.
(3)设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点,且MA=pMP,MB=qMQ,求p-q的值.
解:
(1)∵D(-8,0),∴B点的横坐标为-8,代入
中,得y=-2.
∴B点坐标为(-8,-2).而A、B两点关于原点对称,∴A(8,2).
从而
.……………………………………………………………………3分
(2)∵N(0,-n),B是CD的中点,A、B、M、E四点均在双曲线上,
∴
,B(-2m,-
),C(-2m,-n),E(-m,-n).……………4分
S矩形DCNO
,S△DBO=
,S△OEN=
,………………7分
∴S四边形OBCE=S矩形DCNO-S△DBO-S△OEN=k.∴
.…………………………8分
由直线
及双曲线
,得A(4,1),B(-4,-1),
∴C(-4,-2),M(2,2).………………………………………………………9分
设直线CM的解析式是
,由C、M两点在这条直线上,得
解得
.
∴直线CM的解析式是
.………………………………………………11分
(3)如图,分别作AA1⊥x轴,MM1⊥x轴,垂足分别为A1、M1.
设A点的横坐标为a,则B点的横坐标为-a.于是
.
同理
,……………………………13分
∴
.……………………14分
6(08江苏苏州28题)28.(本题9分)课堂上,老师将图①中△AOB绕O点逆时针旋转,在旋转中发现图形的形状和大小不变,但位置发生了变化当△AOB旋转90°时,得到△A1OB1.已知A(4,2)、B(3,0).
(1)△A1OB1的面积是;
A1点的坐标为(,;B1点的坐标为(,);
(2)课后,小玲和小惠对该问题继续进行探究,将图②中△AOB绕AO的中点C(2,1)逆时
针旋转90°得到△A′O′B′,设O′B′交OA于D,O′A′交
轴于E.此时A′、O′和B′的坐标分别为(1,3)、(3,-1)和(3,2),且O′B′经过B点.在刚才的旋转过程中,小玲和小惠发现旋转中的三角形与△AOB重叠部分的面积不断变小,旋转到90°时重叠部分的面积(即四边形CEBD的面积)最小,求四边形CFBD的面积;
(3)在
(2)的条件一下,△AOB外接圆的半径等于.
解:
(1)3…………1分
A1(-2,4)…………2分
B1(0,3)………
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