名师整理最新人教版数学冲刺中考《数学文化专题》考点精讲精练含答案.docx
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名师整理最新人教版数学冲刺中考《数学文化专题》考点精讲精练含答案
数学文化专题
典例精析
例 元代朱世杰所著《算学启蒙》里有这样一道题:
“良马日行二百四十里,驽马日行一百五十里,驽马先行一十二日,问良马几何追及之?
”译文为:
良马每天可以跑240里,驽马每天可以跑150里,现驽马先行12天以后,良马开始追驽马,问良马多少天可以追上驽马?
解:
设良马x天后可追上驽马,根据题意得,
150×(12+x)=240x,
解得x=20,
答:
良马20天可以追上驽马.
试题演练
1.我国明代商人、珠算发明家程大位在编撰的《算法统宗》中记载了这样一个问题:
原文:
“巍巍古寺在山中,不知寺内几多僧,三百六十四只碗,恰合用尽不差争.三人共餐一碗饭,四人共尝一碗羹,请问先生能算者,都来寺内几多僧?
”
译文:
“一古寺内有三百六十四只碗,如果三个和尚共吃一碗饭,四个和尚共吃一碗羹,刚好够用,问:
古寺内共有和尚多少人?
”
请解答上述问题.
2.《九章算术》中记载:
“今有甲乙二人持钱不知其数,甲得乙半而钱五十,乙得甲太半而钱亦五十,问甲、乙持钱各几何?
”译文:
“假设有甲乙二人,不知其钱包里有多少钱,若乙把自己的一半的钱给甲,则甲的钱数为50;而甲把自己的
的钱给乙,则乙的钱数也为50,问甲、乙各有多少钱?
”
3.《九章算术》“勾股”章有一题:
“今有户高多于广六尺,两隅相去适一丈,问户高、广各几何?
”大意是说:
已知矩形门的高比宽多6尺,门的对角线长1丈,那么门的高和宽各是多少?
(1丈=10尺)
4.《九章算术》记载:
“今有邑方不知大小,各中开门.出北门三十步有木,出西门七百五十步见木.问邑方有几何?
”意思是:
如图,点M、点N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点,ME⊥AD、NF⊥AB,EF过点A,且ME=30步,NF=750步,求正方形的边长.
第4题图
5.“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题:
“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?
”此问题的实质就是解决下面的问题:
“如果CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD于点E,CE=1寸,AB=10寸,那么直径CD的长为多少寸?
”
第5题图
6.阅读:
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a,b,c,称为勾股数,世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》,其勾股数组公式为:
.其中m>n>0,m、n是互质的奇数.
应用:
当n=1时,求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长.
7.(2019黄石)“今有善行者行一百步,不善行者行六十步”(出自《九章算术》)意思是:
同样时间段内,走路快的人能走100步,走路慢的人只能走60步,假定两者步长相等,据此回答以下问题:
(1)今不善行者先行一百步,善行者追之,不善行者再行六百步,问孰至于前,两者几何步隔之?
即:
走路慢的人先走100步,走路快的人开始追赶,当走路慢的人再走600步时,请问谁在前面,两人相隔多少步?
(2)今不善行者先行两百步,善行者追之,问几何步及之?
即:
走路慢的人先走200步,请问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人?
8.我们知道,很多数学知识相互之间都是有联系的.如图,图一是“杨辉三角”数阵,其规律是:
从第三行起,每行两端的数都是“1”,其余各数都等于该数“两肩”上的数之和;图二是二项和的乘方(a+b)n的展开式(按b的升幂排列),经观察:
图二中某个二项和的乘方的展开式中,各项的系数与图一中某行的数一一对应,且这种关系可一直对应下去.将(s+x)15的展开式按x的升幂排列得:
(s+x)15=a0+a1x+a2x2+…+a15x15.
图一
1
11
121
1331
14641
15101051
… …
图二
(a+b)1=a+b
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
… …
第8题图
依上述规律,解决下列问题:
(1)若s=1,则a2=________;
(2)若s=2,则a0+a1+a2+…+a15=________.
参考答案
1.解:
设古寺内共有和尚x人,根据题意得
+
=364,
解得x=624.
答:
古寺内共有和尚624人.
2.解:
设甲持有x钱,乙持有y钱,根据题意可列方程:
,解得
.
答:
甲持有37.5钱,乙持有25钱.
3.解:
设门的宽为x尺,则门的高为(x+6)尺,
根据题意得x2+(x+6)2=102,
解得x=
-3(负值已舍),
∴门的高为(
+3)尺,宽为(
-3)尺.
4.由题意可知,四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB,∠BAD=90°.
∵点N、M分别是AB、AD的中点,
∴AN=AM.
∵FN⊥AB,EM⊥AD,
∴∠EMA=∠ANF=90°,AM∥FN.
∴∠EAM=∠AFN.
∴△AFN∽△EAM.
∴
=
,
即AN2=EM·FN.
设AN=x,
即x2=30×750,
解得x=150步,
则正方形的边长AB为2x=300步.
5.解:
如解图,连接OA,
∵AB⊥CD于点E,
∴AE=BE=
AB=5.
设⊙O的半径为r,
则OA=r,OE=r-1.
在Rt△AOE中,由勾股定理得OA2=OE2+AE2,
即r2=(r-1)2+52,解得r=13.
∵CD为⊙O的直径,
∴CD=2r=26.
即直径CD的长为26寸.
第5题解图
6.解:
当n=1时,a=
(m2-1)①,
b=m②,
c=
(m2+1)③,
∵直角三角形有一边长为5,分三种情况如下:
当a=5时,即
(m2-1)=5,
解得m=±
(舍);
当b=5时,即m=5,再将它分别代入①③得:
a=
×(52-1)=12,
c=
×(52+1)=13;
当c=5时,即
(m2+1)=5,
解得m=±3,
∵m>0,
∴m=3,
把m=3分别代入①②得:
a=
×(32-1)=4,b=3.
综上所述,直角三角形的另两边长为12,13或3,4.
7.解:
由题意可令走路快的速度为100,走路慢的速度为60.
(1)走路慢的走了600步,用时600÷60=10,
此时走路快的走了100×10=1000,
∵1000>600+100,
∴走路快的在前面,
两个人相隔1000-600-100=300;
答:
走路快的在前面,相隔300步;
(2)设走路快的经过时间t追上走路慢的,则100t=200+60t,
解得t=5,
5×100=500步.
答:
走路快的要走500步才能追上走路慢的.
8.
(1)105; 【解法提示】
(1)我们可接着写杨辉三角:
第六行1615201561;
第七行172135352171;
第八行18285670562881;
第九行193684126126843691,
我们比较奇数行可以发现:
第3行的第三个数的系数是3×1=3;
第5行的第三个数的系数是5×2=10;
第7行的第三个数的系数是7×3=21;
第9行的第三个数的系数是9×4=36;
因此第15行第三个数的系数是15×7=105.
∴当s=1时,a2=105;
(2)315 【解法提示】若s=2是,我们令x=1,得到315=a0+a1+a2+…a15.
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