平面向量数量积的物理背景及其含义.docx
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平面向量数量积的物理背景及其含义
平面向量数量积的物理背景及其含义
教学目标
1.平面向量的数量积.(重点)
2.平面向量的数量积的几何意义.(难点)
3.向量的数量积与实数的乘法的区别.(易混点)
[基础·初探]
教材整理1 向量数量积的定义及性质
阅读教材P103~P104“例1”以上容,完成下列问题.
1.向量的数量积的定义
已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或积),记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ.
规定零向量与任一向量的数量积为0.
2.向量的数量积的性质
设a与b都是非零向量,θ为a与b的夹角.
(1)a⊥b⇔a·b=0.
(2)当a与b同向时,a·b=|a||b|;
当a与b反向时,a·b=-|a||b|.
(3)a·a=|a|2或|a|=
=
.
(4)cosθ=
.
(5)|a·b|≤|a||b|.
判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)向量的夹角和直线的倾斜角的围相同.( )
(2)两个向量的数量积是向量.( )
(3)设向量a与b的夹角为θ,则:
cosθ>0⇔a·b>0.( )
解:
(1)×.因向量的夹角包括180°,直线的倾斜角不包括180°.
(2)×.因两个向量的数量积没有方向,不是向量.
(3)√.由数量积的定义可知.
【答案】
(1)×
(2)× (3)√
教材整理2 向量的数量积的几何意义及运算律
阅读教材P104例1以下至P105例2以上容,完成下列问题.
1.向量的数量积的几何意义
(1)投影的概念
如图2-4-1所示:
=a,
=b,过B作BB1垂直于直线OA,垂足为B1,则OB1=|b|cosθ.
|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影,|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影.
图2-4-1
(2)数量积的几何意义:
a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.
2.向量数量积的运算律
(1)a·b=b·a(交换律).
(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律).
(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
已知|a|=3,向量a与b的夹角为
,则a在b方向上的投影为________.
解:
向量a在b方向上的投影为|a|cosθ=3×cos
=
.
【答案】
[小组合作型]
与向量数量积有关的概念
(1)以下四种说法中正确的是________.
①如果a·b=0,则a=0或b=
;
②如果向量a与b满足a·b<0,则a与b所成的角为钝角;
③△ABC中,如果
·
=0,那么△ABC为直角三角形;
④如果向量a与b是两个单位向量,则a2=b2.
(2)已知|a|=3,|b|=5,且a·b=-12,则a在b方向上的投影为________,b在a方向上的投影为________.
(3)已知等腰△ABC的底边BC长为4,则
·
=________.
根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答.
解:
(1)由数量积的定义知a·b=|a||b|cosθ(θ为向量a,b的夹角).
①若a·b=0,则θ=90°或a=0或b=
,故①错;
②若a·b<0,则θ为钝角或θ=180°,故②错;
③由
·
=0知B=90°,故△ABC为直角三角形,故③正确;
④由a2=|a|2=1,b2=|b|2=1,故④正确.
(2)设a与b的夹角为θ,则有
a·b=|a|·|b|cosθ=-12,
所以向量a在向量b方向上的投影为|a|·cosθ=
=
=-
;向量b在向量a方向上的投影为|b|·cosθ=
=
=-4.
(3)如图,过A作AD⊥BC,垂足为D.
因为AB=AC,
所以BD=
BC=2,
于是|
|cos∠ABC=|
|
=
|
|=
×4=2.
所以
·
=|
||
|cos∠ABC=4×2=8.
【答案】
(1)③④
(2)-
-4 (3)8
1.在书写数量积时,a与b之间用实心圆点“·”连接,而不能用“×”连接,更不能省略不写.
2.求平面向量数量积的方法:
(1)若已知向量的模及其夹角,则直接利用公式a·b=|a||b|cosθ.
(2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影,可利用数量积的几何意义求a·b.
[再练一题]
1.给出下列判断:
①若a2+b2=0,则a=b=0;②已知a,b,c是三个非零向量,若a+b=
,则|a·c|=|b·c|;③a,b共线⇔a·b=|a||b|;④|a||b| a·b>0,则a与b的夹角为锐角;⑧若a,b的夹角为θ,则|b|cosθ表示向量b在向量a方向上的投影长.其中正确的是: ________. 解: 由于a2≥0,b2≥0,所以,若a2+b2=0,则a=b=0,故①正确; 若a+b=0,则a=-b,又a,b,c是三个非零向量,所以a·c=-b·c,所以|a·c|=|b·c|,②正确;a,b共线⇔a·b=±|a||b|,所以③不正确; 对于④应有|a||b|≥a·b; 对于⑤,应该是a·a·a=|a|2a; ⑥a2+b2≥2|a||b|≥2a·b,故正确; 当a与b的夹角为0时,也有a·b>0,因此⑦错; |b|cosθ表示向量b在向量a方向上的投影的数量,而非投影长,故⑧错.综上可知①②⑥正确. 【答案】 ①②⑥ 数量积的基本运算 已知|a|=4,|b|=5,当 (1)a∥b; (2)a⊥b;(3)a与b的夹角为135°时,分别求a与b的数量积. (1)当a∥b时,a与b夹角可能为0°或180°. (2)当a⊥b时,a与b夹角为90°.(3)若a与b夹角及模已知时可利用a·b=|a|·|b|·cosθ(θ为a,b夹角)求值. 解: 设向量a与b的夹角为θ, (1)a∥b时,有两种情况: ①若a和b同向,则θ=0°,a·b=|a||b|=20; ②若a与b反向,则θ=180°,a·b=-|a||b|=-20. (2)当a⊥b时,θ=90°, ∴a·b=0. (3)当a与b夹角为135°时, a·b=|a||b|cos135°=-10 . 1.求平面向量数量积的步骤是: ①求a与b的夹角θ,θ∈[0,π];②分别求|a|和|b|;③求数量积,即a·b=|a||b|cosθ. 2.非零向量a与b共线的条件是a·b=±|a||b|. [再练一题] 2.已知正三角形ABC的边长为1,求: 图2-4-2 (1) · ; (2) · ; (3) · . 解: (1) 与 的夹角为60°, ∴ · =| || |cos60° =1×1× = . (2) 与 的夹角为120°, ∴ · =| || |cos120° =1×1× =- . (3) 与 的夹角为60°, ∴ · =| || |cos60°=1×1× = . 与向量模有关的问题 已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=4,|b|=2,求: (1)|a+b|; (2)|(a+b)·(a-2b)|. 利用a·a=a2或|a|= 求解. 解: 由已知a·b=|a||b|cosθ=4×2×cos120°=-4,a2=|a|2=16,b2=|b|2=4. (1)∵|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=16+2×(-4)+4=12,∴|a+b|=2 . (2)∵(a+b)·(a-2b)=a2-a·b-2b2=16-(-4)-2×4=12,∴|(a+b)·(a-2b)|=12. 1.此类求模问题一般转化为求模平方,与数量积联系. 2.利用a·a=a2=|a|2或|a|= ,可以实现实数运算与向量运算的相互转化. [再练一题] 3.题干条件不变,求|a-b|. 解: 因为|a|=4,|b|=2,且a与b的夹角θ=120°. 所以|a-b|= = = =2 , 所以|a-b|=2 . [探究共研型] 平面向量数量积的性质 探究1 设a与b都是非零向量,若a⊥b,则a·b等于多少? 反之成立吗? 【提示】 a⊥b⇔a·b=0. 探究2 当a与b同向时,a·b等于什么? 当a与b反向时,a·b等于什么? 特别地,a·a等于什么? 【提示】 当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|;a·a=a2=|a|2或|a|= . 探究3 |a·b|与|a||b|的大小关系如何? 为什么? 对于向量a,b,如何求它们的夹角θ? 【提示】 |a·b|≤|a||b|,设a与b的夹角为θ,则a·b=|a||b|cosθ. 两边取绝对值得: |a·b|=|a||b||cosθ|≤|a||b|. 当且仅当|cosθ|=1, 即cosθ=±1,θ=0或π时,取“=”, 所以|a·b|≤|a||b|. cosθ= . 已知|a|=3,|b|=2,向量a,b的夹角为60°,c=3a+5b,d=ma-3b,求当m为何值时,c与d垂直? 由条件计算a·b,当c⊥d时,c·d=0列方程求解m. 解: 由已知得a·b=3×2×cos60°=3. 由c⊥d,知c·d=0, 即c·d=(3a+5b)·(ma-3b) =3ma2+(5m-9)a·b-15b2 =27m+3(5m-9)-60 =42m-87 =0, ∴m= ,即m= 时,c与d垂直. 1.已知非零向量a,b,若a⊥b,则a·b=0,反之也成立. 2.设a与b夹角为θ,利用公式cosθ= 可求夹角θ,求解时注意向量夹角θ的取值围θ∈[0,π]. [再练一题] 4.若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b夹角的余弦值为________. 解: 设a与b夹角为θ,因为|a|=3|b|, 所以|a|2=9|b|2, 又|a|=|a+2b|,所以|a|2=|a|2+4|b|2+4a·b =|a|2+4|b|2+4|a|·|b|·cosθ=13|b|2+12|b|2cosθ, 即9|b|2=13|b|2+12|b|2cosθ,故有cosθ=- . 【答案】 - [构建·体系] 1.在△ABC中,BC=5,AC=8,∠C=60°,则 · =( ) A.20 B.-20 C.20 D.-20 解: · =| || |cos120°=5×8× =-20. 【答案】 B 2.设e1,e2是两个平行的单位向量.则下面的结果正确的是( ) A.e1·e2=1B.e1·e2=-1 C.|e1·e2|=1D.|e1·e2|<1 解: e1·e2=|e1||e2|cos 【答案】 C 3.在△ABC中, =a, =b,且b·a=0,则△ABC是( ) A.锐角三角形B.钝角三角形 C.直角三角形D.无法确定 解: 在△ABC中,因为b·a=0,所以b⊥a,故△ABC为直角三角形. 【答案】 C 4.已知|a|=4,e为单位向量,a在e方向上的投影为-2,则a与e的夹角为________. 解: 因为a在e方向上的投影为-2, 即|a|cos=-2, 所以cos= =- 【答案】 120° 5.已知a·b=20,|a|=5,求b在a方向上的投影的大小. 解: 设a,b的夹角为θ, 则b在a方向上的投影就是|b|cosθ, 因为|a||b|co
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- 平面 向量 数量 物理 背景 及其 含义