山东省曲阜师范大学附属中学学年高二下学期期末考试数学文试题解析版.docx
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山东省曲阜师范大学附属中学学年高二下学期期末考试数学文试题解析版
2016~2017学年度第二学期期末考试
高二数学(文)试题
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合
,
,则
()
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由题意得,集合
,所以
,故选B.
2.用反证法证明“
,
,如果
能被2017整除,那么
,
中至少有一个能被2017整除”时,假设的内容是()
A.
不能被2017整除B.
不能被2017整除
C.
,
都不能被2017整除D.
,
中至多有一个能被2017整除
【答案】C
【解析】命题的否定只否结论,即“
中至少有一个能被2017整除”的否定为
都不能被2017整除,故选C.
3.设复数
满足
,则复数
的共轭复数为()
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由题意得
,所以
,故选A.
4.执行如图所示的程序框图,若输入
的值为5,则输出
的值为()
A.2B.4C.7D.11
【答案】D
【解析】模拟执行程序框图,可得
,
满足条件
;
满足条件
;
满足条件
;
满足条件
,
满足条件
,
此时不满足条件
,推出循环,输出
的值
,故选D.
5.设
是定义在
上的奇函数,且
,则
()
A.
B.
C.1D.2
【答案】B
【解析】由题意得,函数
是定义在
上的奇函数,且
,
设
,则
,则
因为
,所以
,
所以
,
所以
,
所以
,故选B.
6.已知函数
,则
的图象大致为()
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】函数
,则
,
因为
是增函数,
也是增函数,
所以导函数也是增函数,故选D.
7.已知函数
为奇函数,
,则函数
的零点所在区间为()
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】函数
为奇函数,可得
,
,所以
,
由零点的判定定理可知,
,可知函数的零点在
之间,故选C.
8.已知函数
在
上单调递增,则
的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由题意得
,
若
在区间
递增,则
在
上恒成立,
即
在
上恒成立,
令
,则
,
所以
在
上是增函数,故
,
所以
,故选B.
9.通过随机询问100名性别不同的高二学生是否爱吃零食,得到如下的列联表:
其中
则下列结论正确的是()
A.在犯错误的概率不超过0.05的前提下,认为“是否爱吃零食与性别有关”
B.在犯错误的概率不超过0.05的前提下,认为“是否爱吃零食与性别无关”
C.在犯错误的概率不超过0.025的前提下,认为“是否爱吃零食与性别有关”
D.在犯错误的概率不超过0.025的前提下,认为“是否爱吃零食与性别无关”
【答案】A
【解析】由题意得,
,
又因为
所以犯错误的概率不超过5%的前提下,认为“是否爱吃零食与性别有关”,故选A.
10.数学老师给同学们出了一道证明题,以下四人中只有一人说了真话,只有一人会证明此题.甲:
我不会证明;乙:
丙会证明;丙:
丁会证明;丁:
我不会证明.根据以上条件,可以判定会证明此题的人是()
A.甲B.乙C.丙D.丁
【答案】A
【解析】四人中只有一人说了真话,只有一人会证明此题,丙:
丁会证明;丁:
我不会证明,所以丙与丁中有一个是正确的;
若丙说了真话,则甲必是假话,矛盾;若丁说了真话,则甲说的是假话,甲就是会证明的那个人,符合题意,以此类推,即可得到甲说真话,故选A.
11.已知定义在实数集
上的函数
满足
,且
导函数
,则不等式
的解集为()
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】试题分析:
设
则
所以
是
上的单调递减函数,又
因此
可化为
即
故由单调性可知
即
,故应选D.
考点:
导数和函数性质的综合运用.
【易错点晴】导数解决函数问题的重要工具,解答本题时通过借助题设提供的有效信息,巧妙地构造函数
然后运用导数这一重要工具对这个函数求导,凭借题设条件得知函数
是
上的单调递减函数,为下面不等式的求解创造了条件.求解不等式
时,以
为变量建立不等式,最终通过单调性的定义得到了不等式
使得本题巧妙获解.
12.已知函数
,若关于
的方程
有三个不同的实根,则实数
的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由题意得当
时,
,
所以当
时,
;当
时,
,
所以
在
上单调递增,在
上单调递减,
所以当
时,
取得极大值
,
又
,当
时,
,
当
时,函数
为减函数,
作出
的图象如图所示,
所以当
时,
有3个不同的实数根,故选A.
点睛:
本题主要考查了函数与方程思想的应用,其中解答中涉及到利用到时研究函数的单调性,以及利用导数求解函数的极值等知识点,着重考查了分类讨论思想和数形结合思想的应用,其中根据导数研究函数的单调性及极值,作出函数的图象,利用数形结合法求解是解答的关键.
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.从某高校在校大学生中随机选取5名女大学生,由她们身高和体重的数据得到的回归直线方程为
,数据列表是:
则其中的数据
__________.
【答案】163
【解析】由
,根据回归直线经过样本中心
,
即
,得
,由
,
得
,故答案为
.
14.根据下列不等式:
,
,
,
……
归纳猜想第
个不等式为__________.
【答案】
(
)
【解析】试题分析:
观察不等式左边最后一项的分母3,7,15,…,通项为
,不等式右边为首项为1,公差为
的等差数列,故猜想第n个不等式为
.
考点:
归纳推理.
15.已知复数
(
为虚数单位),若复数
,
在复平面内对应的点关于直线
对称,则
__________.
【答案】
【解析】由题意得,复数
在复平面内对应的点为
,
又复数
在复平面内对应的点关于直线
对称,
所以
在复平面内对应的点的坐标为
,所以复数
.
16.已知函数
是定义在
上的偶函数,若对于
,都有
且当
时,
,则
__________.
【答案】
【解析】若对于
时,都有
,
则
,即当
时,函数是以
为周期的周期函数,
因为
是定义在
上的偶函数,
所以
,
又
,
,
所以
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知函数
(
).
(1)若
为偶函数,求实数
的值;
(2)若不等式
在
上恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】
(1)
;
(2)
.
【解析】试题分析:
(1)函数
是定义在
上的偶函数,所以
,化简即可求解实数
的值;
(2)由
得
,分离参数,换元配方求解最小值,即可得到答案.
试题解析:
(1)函数
是定义在
上的偶函数,所以
即
化简得
所以
(2)由
得
,即
又
,所以
当
即
时,
取最小值
故实数
的取值范围是
.
18.设
,
,
为
的三边长,求证:
.
【答案】见解析
【解析】试题分析:
本题用直接法不易找到证明思路,用分析法,要证该不等式成立,因为
,所以
,只需证该不等式两边同乘以
转化成的等价不等式a(1+b)(1+c)+b(1+a)(1+c)>c(1+a)(1+b)成立,用不等式性质整理为a+2ab+b+abc>c成立,用不等式性质及三角不等式很容易证明此不等式成立.
试题解析:
要证明:
需证明:
a(1+b)(1+c)+b(1+a)(1+c)>c(1+a)(1+b)5分
需证明:
a(1+b+c+bc)+b(1+a+c+ac)>c(1+a+b+ab)需证明a+2ab+b+abc>c10分
∵a,b,c是
的三边∴a>0,b>0,c>0且a+b>c,abc>0,2ab>0
∴a+2ab+b+abc>c
∴
成立。
14分
考点:
分析法证明不等式;三角形两边之和大于第三边.
19.已知某商品的进货单价为1元/件,商户甲往年以单价2元/件销售该商品时,年销量为1万件.今年拟下调销售单价以提高销量增加收益.据估算,若今年的实际销售单价为
元/件(
),则新增的年销量
(万件).
(1)写出今年商户甲的收益
(单位:
万元)与
的函数关系式;
(2)商户甲今年采取降低单价提高销量的营销策略,是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多)?
请说明理由.
【答案】
(1)
(
);
(2)不能.
【解析】试题分析:
(1)直接根据题意可写成几年的销售量,从而可计算出客户甲的收益;
(2)根据
(1)总监理的函数,求导,利用导数等于
,求得函数的极大值点和极大值,在求出
时的函数值,比较即可得到函数的最大值,进而得到结论.
试题解析:
(1)由题意知,今年的年销售量为
(万件).
因为每销售一件,商户甲可获利
元,
所以今年商户甲的收益
(
).
(2)由
(
)
得
,
令
,解得
或
当
时,
;当
时,
;
当
时,
;
∴
为极大值点,极大值为
∵
,∴当
或2时,
在区间
上的最大值为1(万元),而往年的收益为
(万元),
所以商户甲采取降低单价提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益.
20.菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒,以防止害虫的危害,但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药,食用时需要用清水清洗干净,下表是用清水
(单位:
千克)清洗该蔬菜1千克后,蔬菜上残留的农药
(单位:
微克)的统计表:
(1)令
,利用给出的参考数据求出
关于
的回归方程
.(
,
精确到0.1)
参考数据:
,
,
其中
,
;
(2)对于某种残留在蔬菜上的农药,当它的残留量不高于20毫克时对人体无害,为了放心食用该蔬菜,请估计至少需要用多少千克的清水清洗1千克蔬菜?
(精确到0.1,参考数据
)
附:
对于一组数据
,
,…,
,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
,
.
【答案】
(1)
;
(2)估计需要用4.5千克的清水清洗1千克蔬菜.
【解析】试题分析:
(1)计算
,填表即可,在求出回归系数,即可求解回归直线的方程;
(2)由
(1)求得
的值,令
,即可求解
的取值范围.
试题解析:
(1)由题意得,
,
.
∴
(2)由
(1)得,
∴
当
时,即
,解得
所以为了放心食用该蔬菜,估计需要用4.5千克的清水清洗1千克蔬菜.
点睛:
本题主要考查了回归直线方程的求解及综合应用,此类问题的解答中正确处理数据,利用最小二乘法求解回归系数是解答的一个难点和关键,解答中应细心、认真.
21.已知函数
,
.
(1)当
时,求曲线
在点
处的切线方程;
(2)
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