高中数学总复习例题集精全.docx
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高中数学总复习例题集精全
1.集合与常用逻辑用语
1.集合的元素具有确定性、无序性和互异性,在解决有关集合的问题时,尤其要注意元素的互异性.
[问题1] 已知集合A={1,3,},B={1,m},A∪B=A,则m等于( )
A.0或B.0或3
C.1或D.1或3
2.描述法表示集合时,一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素.如:
{x|y=f(x)}——函数的定义域;{y|y=f(x)}——函数的值域;{(x,y)|y=f(x)}——函数图象上的点集.
[问题2] 集合A={x|x+y=1},B={(x,y)|x-y=1},则A∩B=________.
3.遇到A∩B=∅时,你是否注意到“极端”情况:
A=∅或B=∅;同样在应用条件A∪B=B⇔A∩B=A⇔A⊆B时,不要忽略A=∅的情况.
[问题3] 设集合A={x|x2-5x+6=0},集合B={x|mx-1=0},若A∩B=B,则实数m组成的集合是________________________________________.
4.对于含有n个元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n-1,2n-1,2n-2.
[问题4] 满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个.
5.注重数形结合在集合问题中的应用,列举法常借助Venn图解题,描述法常借助数轴来运算,求解时要特别注意端点值.
[问题5] 已知全集I=R,集合A={x|y=},集合B={x|0≤x≤2},则(∁IA)∪B等于( )
A.[1,+∞)B.(1,+∞)
C.[0,+∞)D.(0,+∞)
6.“否命题”是对原命题“若p,则q”既否定其条件,又否定其结论;而“命题p的否定”即:
非p,只是否定命题p的结论.
[问题6] 已知实数a、b,若|a|+|b|=0,则a=b.该命题的否命题和命题的否定分别是________________________________________________________________________
________________________________________________________________________.
7.要弄清先后顺序:
“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A,且A不能推出B;而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B,且B不能推出A.
[问题7] 设集合M={1,2},N={a2},则“a=1”是“N⊆M”的________条件.
8.要注意全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.如对“a,b都是偶数”的否定应该是“a,b不都是偶数”,而不应该是“a,b都是奇数”.求参数范围时,常与补集思想联合应用,即体现了正难则反思想.
[问题8] 若存在a∈[1,3],使得不等式ax2+(a-2)x-2>0成立,则实数x的取值范围是________________.
易错点1 忽视空集致误
例1 设集合A={x|x2+4x=0,x∈R},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a∈R,x∈R},若B⊆A,求实数a的取值范围.
错因分析 集合B为方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的实数根所构成的集合,由B⊆A,可知集合B中的元素都在集合A中,在解题中容易忽视方程无解,即B=∅的情况,导致漏解.
解 因为A={0,-4},所以B⊆A分以下三种情况:
①当B=A时,B={0,-4},由此知0和-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两个根,由根与系数的关系,得
解得a=1;
②当∅≠BA时,B={0}或B={-4},并且Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,
解得a=-1,此时B={0}满足题意;
③当B=∅时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,
解得a<-1.
综上所述,所求实数a的取值范围是a≤-1或a=1.
易错点2 忽视区间端点取舍
例2 记f(x)=的定义域为A,g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a<1)的定义域为B.若B⊆A,求实数a的取值范围.
错因分析 在求解含参数的集合间的包含关系时,忽视对区间端点的检验,导致参数范围扩大或缩小.
解 ∵2-≥0,∴≥0.
∴x<-1或x≥1,即A=(-∞,-1)∪[1,+∞).
由(x-a-1)(2a-x)>0,得(x-a-1)(x-2a)<0.
∵a<1,∴a+1>2a,∴B=(2a,a+1).
∵B⊆A,∴2a≥1或a+1≤-1,
即a≥或a≤-2,而a<1,
∴≤a<1或a≤-2.
故当B⊆A时,实数a的取值范围是(-∞,-2]∪[,1).
易错点3 混淆充分条件和必要条件
例3 若p:
a∈R,|a|<1,q:
关于x的二次方程x2+(a+1)x+a-2=0的一个根大于零,另一个根小于零,但不满足p,则p是q的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
错因分析 解答本题易出现的错误是颠倒了充分条件和必要条件,把充分条件当成必要条件而致误.
解析 p:
a∈R,|a|<1⇔-1<a<1⇒a-2<0,可知满足q的方程有两根,且两根异号,所以p是q的充分条件,但p不是q的必要条件,如当a=1时,q中方程的一个根大于零,另一个根小于零,但不满足p.本题也可以把命题q中所有满足条件的a值求出来,再进行分析判断,实际上一元二次方程两根异号的充要条件是两根之积小于0,对于本题就是a-2<0,即a<2,故选A.
答案 A
易错点4 “或”“且”“非”理解不清
例4 已知命题p:
关于x的方程x2-ax+4=0有实根;命题q:
关于x的函数y=2x2+ax+4在[3,+∞)上是增函数.若p或q是真命题,p且q是假命题,则实数a的取值范围是( )
A.(-12,-4)∪[4,+∞)
B.[-12,-4]∪[4,+∞)
C.(-∞,-12)∪(-4,4)
D.[12,+∞)
错因分析 当p或q为真命题时,p,q之间的真假关系判断错误.
解析 命题p等价于Δ=a2-16≥0,解得a≤-4或a≥4;命题q等价于-≤3,解得a≥-12.因为p或q是真命题,p且q是假命题,则命题p和q一真一假.当p真q假时,a<-12;当p假q真时,-4<a<4,故选C.
答案 C
1.已知集合A={1,3,a},B={1,a2-a+1},若B⊆A,则实数a为( )
A.-1B.2
C.-1或2D.1或-1或2
2.设全集U=R,A={x|<0},B={x|2x<2},则图中阴影部分表示的集合为( )
A.{x|x≥1}B.{x|1≤x<2}
C.{x|0<x≤1}D.{x|x≤1}
3.已知集合A={x|x A.a≤1B.a<1C.a≥2D.a>2 4.(2015·天津)设x∈R,则“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知集合A={x∈R|≤0},B={x∈R|(x-2a)(x-a2-1)<0},若A∩B=∅,则实数a的取值范围是( ) A.(2,+∞)B.[2,+∞) C.{1}∪[2,+∞)D.(1,+∞) 6.已知p: 关于x的函数y=x2-3ax+4在[1,+∞)上是增函数,q: y=(2a-1)x为减函数,若p且q为真命题,则a的取值范围是( )
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