新人教高中数学必修二平面与平面平行课时素养评价作业docx.docx
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新人教高中数学必修二平面与平面平行课时素养评价作业docx
课时素养评价
平面与平面平行
基础练,
(25分钟•50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.下列说法正确的个数是()
1两平面平行,夹在两平面间的平行线段相等;
2两平面平行,夹在两平面间的相等的线段平行;
3如果一条直线和两个平行平面中的一个平行,那么它和另一个平面也平行;
4平行直线被三个平行平面截得的线段对应成比例.
A.1B.2C.3D.4
【解析】选B.①正确;②错误,这两条相等的线段可能相交或异面;③错误,直线可能在另一个平面内;④正确.
2.a是平面a外的一条直线,过a作平面B,使B〃Q,这样的B()
A,只能作一个B.至少可以作一个
C.不存在D.至多可以作一个
【解析】选D.因为a是平面a外的一条直线,
所以a〃Q或a与a相交,当a〃a时,B只有一个,当a与a相交时,B不存在,故选D.
3.(2019・聊城高一检测)在长方体ABCD—AiBCDi中,E,F,G,H分别为棱AB,BBi,CG,CD的中点,则下列结论中正确的是()
A.ADi〃平面EFGH
B.BD/GH
C.BD〃EF
D.平面EFGH〃平面AiBCDi
【解析】选D.在长方体ABCD-ABCD中,
E.F,G,H分别为棱AB,BBbCCbCD的中点,在A中,AQ与GH相交,
故A0不平行于平面EFGH,故A错误;
在B中,BDmCD『D”CDi〃GH,
故B0不可能平行于GH,故B错误;
在C中,BDDAE二B,A£〃EF,
故BD与EF不可能平行,故C错误;
在D中,EF〃AE,FG〃BC,AiB"BC=B,
EFDFG=F,
所以平面EFGH〃平面ABCDi,故D正确.
4.(多选题)对于不重合的两个平面Q与B,给定下列条件中,可以判定a与B
平行的条件有()
A.存在平面Y,使得a,B都平行于Y
B.存在平面Y,使得a,B都垂直于Y
C.a内有不共线的三点到B的距离相等
D.存在异面直线I,m,使得/〃a,/〃B,m〃a,m〃B
【解析】选AD.存在平面Y,使得a,8都平行于y:
a与8平行,所以A正
确.
存在平面y,使得a,B都垂直于Y,可以判定a与B可能平行,如正方体的
底面与相对的平面,也可能a与8不平行,如墙角形状的平面组成,B不正确.
C不能判定a与B平行.如a面内不共线的三点不在B面的同一侧时,此时a与B相交;
D可以判定a与B平行.
因为可在a面内作〃//l,m'〃m,则"与必相交.
又因为/〃所以/'〃B,m'〃饥所以a〃B.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.如图,平面a〃&〃y,直线/,m分别与a,8,y相交于点A,B,C和点D,E,F.
若翌=:
DF=20,则EF=
BC3
apnr*-i
【解析】因为平面a〃B〃y,所以二5—七,
BCEF3
因为DF=20,求得EF=15.
答案:
15
6.棱长为2的正方体ABCD-ABCiDi中,M是棱AA】的中点,过C,M,0作正方体的截
面,则截面的面积是.
【解析】如图,
由面面平行的性质知截面与平面AABB的交线MN是AAAE的中位线,所以截面
9
是梯形CDiMN,易求其面积为;
三、解答题(共26分)
7.(12分)如图,在三棱柱ABC—AiBC中,点E,D分别是BC与BC的中点.
求证:
平面AiEB〃平面ADCi.
AB
【证明】连接A,B,ACb
ft
AB
因为在三棱柱ABC-ABG中,点E,D分别是BE与BC的中点,所以A正〃AD,
BD直GE,
所以四边形BDC,E是平行四边形,
所以GD〃BE,
因为ADAC,D=D,A1EABE=E,
AD,GDu平面ADCbAiE,BEc平面ADB,
所以平面AiEB〃平面ADCl
8.(14分)如图所示,B^JAACD所在平面外一点,M,N,G分别为ZkABC,AABD,
ABCD的重心.
(1)求证:
平面MNG〃平面ACD.
⑵求Samng.Saadc-
[解析】
(1)连接BM,BN,BG并延长分别交AC,AD,CD于P,F,H;
因为M,N,G分别为ZiABC,AABD,ABCD的重心,
且P,H,F分别为AC,CD,AD的中点.
连接PF,FH,PH,有MN〃PF.
又PFu平面ACD,MN。
平面ACD,
所以MN〃平面ACD.
同理MG〃平面ACD,MGDMN=M,
所以平面MNG〃平面ACD.
(2)由
(1)可知———--
MGBG2
2所以MG弓PH.
又PH^AD,所以MG*D;
同理NG=-AG,MN=|CD.
所以△MNG^AADC,其相似比为1:
3,
所以Samng•SaaCD=1•9.
【加练・固】
如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,E,F分别为PC,PD的中点,在底面ABCD
内是否存在点Q,使平面EFQ〃平面PAB?
若存在,确定点Q的位置;若不存在,说明理由.
【解析】存在.
分别取AD,BC的中点G,H,连接FG,HE,GH.
因为F,G分别为PD,AD的中点,
所以FG〃PA.因为FGG平面PAB,
PAc平面PAB,所以FG〃平面PAB.
因为E,F分别为PC,PD的中点,
所以EF〃CD,因为AB〃CD,所以EF〃AB.
因为EF。
平面PAB,ABc平面PAB.
所以EF〃平面PAB.因为EFDFG二F,
所以平面EFG〃平面PAB.
又GHZ/CD,所以GH〃EF.
所以平面EFG即平面EFGH.
所以平面EFGH〃平面PAB.
又点Q6平面ABCD,
平面ABCDD平面EFGH二GH,
所以点QEGH.
所以点Q在底面ABCD的中位线GH上.
能力练b
(15分钟・30分)
1.(4分)如图,各棱长均为1的正三棱柱ABC-ABCi,虬N分别为线段A】B,B(上的
动点,且MN〃平面ACCA,则这样的MN有()
A,1
0
B
A.1条B.2条C.3条D.无数条
【解析】选D.如图,
B
任取线段AE上一点M,过M作MH〃AAi,
交AB于H,过H作HG/7AC交BC于G,
过G作CG的平行线,与CBi一定有交点N,且MN〃平面ACCA,则这样的MN有无
数条.
2.(4分)如图所示,ABCD-ABCD是棱长为a的正方体,M,N分别是下底面的棱
AB,BC的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=|,过P,虬N的平面交上底面于
PQ,Q在CD上,则PQ的值为(
【解析】选B.连接AG,AC,因为平面ABCD〃平面AEM,MNu平面ABCD,所以MN〃平面ABCD,又因为PQ二平面PMNQA平面ABCD,所以MN〃PQ.
因为M,N分别是AB,BG的中点,
所以MN〃AG〃AC,所以PQ〃AC,
又AP三,ABCD-ABCD是棱长为a的正方体,所以CQ=:
从而DP=DQ=y,所以PQ=JDQ2+DP?
二推了+(专)2二弩a.
3.(4分)在正方体ABCD-ABCD中,AB=4,M,N分别为棱AD,AB的中点,过点B的
平面a〃平面AMN,则平面a截该正方体所得截面是形,面积为
,□
【解析】如图所示,截面为等腰梯形BDPQ,
故截面的面积为;X(2\泛+4、②X3、泛二18.
答案:
等腰梯18
4.(4分)(2019•铁东高一检测)过平行六面体ABCD-ABGD1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面BCCB平行的直线有条.□
[解析】设AB,AB,CD,CD的中点分别为E,F,G,H,连接EF,FG,GH,HE,EG,FH,
因为平面EFGH〃平面BCCB,EF,FG,GH,HE,EG,FH都是平面EFGH内的直线,
所以EF,FG,GH,HE,EG,FH都与平面BCCB平行,共6条直线,面ADDA上还有6条,四条边中点分别为M,N,0,P,即还有MN,NO,OP,MP,NP,0M.因此,满足条件“与平面BCCB平行"的直线一共有12条.
答案:
12
5.(14分)如图所示,在正方体ABCD—A1BCD1中,E,F,G,H,分别是BC,CCbCD,AA的中点,求证:
(1)EG〃平面BBDD.
(2)平面BDF〃平面BiDiH.
【证明】⑴取BD中点0.连接OE,0Db
则0E咨DC,
所以0E业DiG,
所以四边形OEG0是平行四边形,
所以GE〃DQ,
又DQu平面BDDB,且EG。
平面BDDB,所以EG〃平面BDDB.
(2)取BBi中点M,连接HM,CM
则HM〃AB〃CD,所以HMCD是平行四边形,所以HD/MG,
又MG〃BF,所以BF〃HDi,
又BD〃BD,B1D1,HD1U平面HBiDi,
BF,BDc平面BDF,且BDDHD户D”
BDABF^B,所以平面BDF〃平面HBD.
【加练・固】
如图所示,在四棱锥C-ABED中,四边形ABED是正方形,点G,F分别是线段
EC,BD的中点.
C
(1)求证:
GF〃平面ABC.
(2)线段BC上是否存在一点H,使得平面GFH〃平面ACD.若存在,请找出点H并证
明;若不存在,请说明理由.
【解析】
(1)由四边形ABED为正方形可知,连接AE必与BD相交于中点F,故GF
〃AC.
因为GFC平面ABC,所以GF〃平面ABC.
⑵线段BC上存在一点H满足题意,且点H是BC中点.
理由如下:
由点G,H分别为CE,CB的中点可得:
GH〃EB〃AD,因为GHG平面ACD,所以GH〃平面ACD.
由⑴可知,GF〃平面ACD,
且GFDGH=G,故平面GFH〃平面ACD.
培优练t
1.某折叠餐桌的使用步骤如图所示,有如图检查项目:
图1图2图3
项目①:
折叠状态下(如图1),检查四条桌腿长相等;项目②:
打开过程中(如图2),检查OM=ON=OZMz=0’Nz;项目③:
打开过程中(如图2),检查OK=OL=
OzKz=OZL‘;项目④:
打开后(如图3),检查Zl-Z2=Z3=Z4=90°;项目⑤:
打开后(如图3),检查AB=AZBz=CDz=CD.
在检查项目的组合中,可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行”的是
A.①②③B.②③④
C.②④⑤D.③④⑤
【解析】选B.项目①:
折叠状态下(如题干图1),四条桌腿长相等时,桌面与地面不一定平行;
项目②:
打开过程中(如题干图2),若0M=0N=0'M'N',可以得到线线平行,从而得到面面平行;
项目③:
打开过程中(如题干图2),检查OK=OL=OZK'L',可以得到线线平行,从而得到面面平行;
项目④:
打开后(如题干图3),检查Z1=Z2=Z3=Z4=90°,可以得到线线平行,从而得到面面平行;
项目⑤:
打开后(如题干图3),检查AB=A'B'=CrD'=CD.桌面与地面不一定平行.
2.在三棱柱ABC-ABC】中,点D为AC的中点,点D】是AC上的一点.
⑴当Ml等于何值时,BCi〃平面ABD?
DM
(2)当BCl〃平面ABD时,求证:
平面BCiD〃平面AB1D1.
【解析】⑴生时BG〃平面ABD,理由如下:
如图,此时Di为线段AG的中点,连接AE交AB,于0,连接0眼
由棱柱的定义知四边形A1ABB1为平行四边形,
所以点0为AE的中点.
在中,点0,0分别为AE,AG的中点,所以0D/BG.
又因为O0U平面ABD,BCM平面ABD,
所以BG〃平面ABD,
所以当四史二1时,BC/平面ABD.
DM
⑵由⑴知,当BG〃平面ABD时,点0是线段A©的中点,则有AD〃D©,且
AD=DiCb
所以四边形ADCD是平行四边形.
所以ADi〃DG.
又因为DG。
平面AB1D1,ADiU平面ABD,
所以DG〃平面ABD.
又因为BG〃平面AB1D1,BC1c平面BGD,DGu平面BGD,DGHBC户G,
所以平面BGD〃平面ABD.
【加练・固】
已知直三棱柱ABC-ABC1中,ZBAC=120°,AB=AC=AA1=1,点D为BC的中点,
点E,F,G分别在线段AB,AC,AD上,且BE=CF=AG.
(1)求证:
EF〃平面BCCiBi.
(2)是否存在满足题意的点E,F,G,使得平面EFG〃平面BCCB,若存在,说明理由并求出此时线段EF的长度;若不存在,说明原因.
【解析】
(1)因为BE=CF,AB二AC,
所以AE=AF,
所以AE:
EB=AF:
FC,
因为A,B,C,E,F共面,所以EF〃BC,
又因为BCu平面BCCB,且EFC平面BCCB,所以EF〃平面BCCB.
(2)存在满足题意的点E,F,G,使得平面EFG〃平面BCCB.理由如下:
连接CD,AD
因为平面EFG〃平面BCCB,平面ACDD平面BCGB户CD,所以GF〃CD,反之,若GF〃CD,结合⑴得EF〃BC,
又因为EFCIGF二F,BOACD=C,
所以平面EFG〃平面BCCB,所以平面EFG〃平面BCCB等价于GF〃CD,因为GF//CD等价于岩*
由题知BC=\/3AB=\/3,
.—1.1.1BCy3
AiD=—AiCi——AC——,CiD=—=—,
22222
ADp'AQ+AA]=^-,
设BE=CF=AG=x,(0WxW1),
则竺二M互竺土
]AD2^55'AC1'
2
所以二孕,解得x=5-2、;5[0,1],
51
PFAC1-Y,—
故存在满足题意的点E,F,G,使得平面EFG〃平面BCGB”此时一二一二2\,'5-4,
BCAC1
所以EF=BC•(2V5-4)=2v''15-4v'3.
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