中考数学第11章一元二次方程复习题.docx
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中考数学第11章一元二次方程复习题
2019-2020年中考数学第11章一元二次方程复习题
11.1一元二次方程及解法
«11.1.1若方程(1996x)2-1995·1997x-1=0较大根为m,方程x2+1995x-1996=0的较小根为n,则m-n等于()
(A)1997(B)1996(C)(D)
«11.1.2对任意两个实数a、b,用max(a,b)表示其中较大的数,则方程xmax(x,-x)=2x+1的解是()
(A)1,1+(B)1,1-(C)-1,1+(D)-1,1-
«11.1.3已知方程(x-19)(x-97)=p有实数根r1和r2(其中p为实数),则方程(x-r1)(x-r2)=-p的最小实数根是()
(A)-19(B)-97(C)19(D)97
«11.1.4已知a是方程x2+x-=0的根,则的值是________.
«11.1.5已知关于x的方程3x2+2ax-a2=0的一个根为1,则另一个根是________.
«11.1.6已知以x为未知数的二次方程abx2-(a2+b2)x+ab=0,其中a、b是不超过10的质数,且a>b,那么两根之和超过3的方程是________.
««11.1.7已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根和为S1,两根平方和为S2,两根立方和为S3,则aS3+bS2+cS1的值是________.
««11.1.8把关于x的一元二次方程x2+px+q=0的系数p及q每次加1,这样的步骤重复四次,使得五个方程都具有整数根.请举出这样的实例.
««11.1.9小杰和小丁依下列规则玩游戏.首先,小杰写下一个二次方程式ax2+bx+c=0,其中a、b、c都是正整数.接着,小丁可以随意地将这个方程式中的0个、1个或2个“+”号改为“-”号.若改变后的方程式有两个整数根,则小杰获胜;若改变后的方程式没有实数根或至少有一个根不是整数,则小丁获胜.请问:
小杰有没有必胜的策略?
««11.1.10下面的等式成立:
x1x2=x2x3=x3x4=…=x99x100=x100x101=x101x1=1,求x1,x2,…,x100,x101的值.
11.2一元二次方程的根的判别式
«11.2.1设b取2~16的奇数,c取任意正整数,则可以组成有两个不等实根的一元二次方程3x2+(b+1)x+c=0的个数为()
(A)64(B)66(C)107(D)无穷多个
««11.2.2设二次方程x2+2px+2q=0有实数根,其中p、q都是奇数.那么,它的根一定是()
(A)奇数(B)偶数(C)分数(D)无理数
«««11.2.3把三个非0实数a、b、c按任意的次序分别填入□x2+□x+□=0的三个方框中,所得的方程的根均为有理数,这样的实数a、b、c()
(A)不存在(B)有一组(C)有两组(D)有,多于两组
««11.2.4若方程x2+ax+2b=0有相等两实数根,x2+2bx+a=0也有相等两实数根,且a≠b,则ab=________.
«««11.2.5求证:
对于正数a、b、c,如果方程c2x2+(a2-b2-c2)x+b2=0没有实数根,那么,以a、b、c为长的线段能够组成一个(面积不为0的)三角形.
«««11.2.6已知实数a、b、c、R、P满足条件PR>1,Pc-2b+Ra=0,求证:
一元二次方程ax2+2bx+c=0必有实数根.
««11.2.7设a、b为实数,已知方程x2-(a+b)x+=0有两个实数根,求a、b的取值范围.
11.3一元二次方程根与系数的关系
«11.3.1已知关于x的二次方程2x2+ax-2a+1=0的两个实数根的平方和为,则a的值为()
(A)-11或3(B)-11(C)3(D)5
««11.3.2如果方程(x-1)(x2-2x+m)=0的三根可以作为一个三角形的三边之长,那么实数m的取值范围是()
(A)0≤m≤1(B)m≥(C)<m≤1(D)≤m≤1
«11.3.3已知a、b是方程x2+(m-2)x+1=0的两个根,则(1+ma+a2)·(1+mb+b2)的值为()
(A)1(B)2(C)3(D)4
«11.3.4已知α、β是方程x2-x-1=0的两个实数根,则α4+3β=________.
«11.3.5设方程x2+px+q=0的两根分别比方程x2+2qx+p=0的两根大1,求这两个方程的根.
««11.3.6设x2-px+q=0的两实数根为α、β.
(1)求以α3、β3为根的一元二次方程.
(2)若以α3、β3为根的一元二次方程仍是x2-px+q=0,求所有这样的一元二次方程.
««11.3.7设方程a1x2+b2x+c1=0(a1≠0)的根为1-a1、1+a1,方程a1x2+b1x+c2=0的根为-1、1-,又设方程a1x2+b1x+c1=0的两根相等,求a1、b1、c1的值.
««11.3.8甲、乙、丙、丁四人分别按下面的要求做一个解为x1、x2的一元二次方程x2+px+q=0.
甲:
p、q、x1、x2都取被3除余1的整数.
乙:
p、q、x1、x2都取被3除余2的整数.
丙:
p、q取被3除余1的整数,x1、x2取被3除余2的整数.
丁:
p、q取被3除余2的整数,x1、x2取被3除余1的整数.
问:
甲、乙、丙、丁是否能按上述要求各自做出方程?
若可以做出,请你写出一个这样的方程;若不能做出,请你说明理由.
«««11.3.9若适当选取非0实数p0、q0为初始值,写出方程
x2+p0x+q0=0 ①
若方程①有实数根p1、q1,可再写出方程
x2+p1x+q1=0 ②
若方程②有实数根p2、q2,可再写出方程
x2+p2x+q2=0 ③
一般情况下,只要所写出的第k个方程x2+pk-1x+qk-1=0有实数根pk、qk,就可继续写出第(k+1)个方程x2+pkx+qk=0.
依上述规则一直写下去,当写出第1997个方程x2+p1996x+q1996=0有两个实数根p1997、q1997时算“达标”,求证:
可以找到选定初始值p0、q0的方式,以保证可以“达标”,并请你说明理由.
11.4二次三项式的因式分解
«11.4.1对任意实数x,二次三项式x2+3mx+m2-m+是一个完全平方式,则m=_______.
««11.4.2m为何值时,x2-y2+mx+5y-6能够分解因式?
并分解之.
«««11.4.3设二次三项式ax2+bx+c的系数是正整数.已知当x=1997时,二次三项式的值a×19972+b×1997+c=p是一个质数.证明:
ax2+bx+c不可能分解为两个整系数一次式的乘积.
««11.4.4甲、乙两人做数学游戏,乙先给出一个或两个整数,甲根据乙给出的数再给出两个或一个整数,两人合计给出三个不全为0的整数.如果以这三个整数为系数的所有二次三项式都能在有理数范围内分解因式,则甲胜.问:
甲一定能取胜吗?
若甲一定能取胜,甲给出的数与乙给出的数有何关系?
并说明理由.
11.5含字母系数的一元二次方程
«11.5.1如果关于x的方程mx2-2(m+2)x+m+5=0没有实数根,那么关于x的方程(m-5)x2-2(m+2)x+m=0的实数根个数为()
(A)2(B)1(C)0(D)不确定
««11.5.2设三个方程x2+4mx+4m2+2m+3=0,x2+(2m+1)x+m2=0,(m-1)x2+2mx+m-1=0中至少有一个方程有实数根,则m的取值范围为()
(A)-<m<-(B)m≤-或m≥-(C)m≤-或m≥(D)-≤m≤
«11.5.3已知a、b、c均为正数,方程ax2+bx+c=0有实数根,则方程acx2+b2x+ac=0()
(A)有两个不相等的正根(B)有一个正根,一个负根
(C)不一定有实数根(D)有两个不相等的负根
««11.5.4已知x1、x2是方程x2-(k-2)x+(k2+3k+5)=0(k为实数)的两个实数根,则+的最大值是()
(A)19(B)18(C)(D)不存在
«11.5.5关于x的方程(a2-4)x2-2(a+2)x+1=0恰有一个实数根,则a=________.
«11.5.6若两个关于x的实系数一元二次方程x2+x+a=0与x2+ax+1=0至少有一个公共的实数根,则a=________.
««11.5.7设m、n为正整数,二次方程4x2+mx+n=0有相异实数根p、q,且p<q,如果方程x2-px+2q=0和x2-qx+2p=0有公共根.
(1)求它的公共根.
(2)求m、n的一切正整数组(m,n).
(3)若p、q均为有理数,求方程x2-px+2q=0的另一根.
☆☆11.5.8若方程的两根α,β也是方程的根,其中p,q均为整数,试求p、q的值.
☆☆11.5.9若k为正整数,一元二次方程有两个正整数根,求之值.
☆☆☆11.5.10求所有的实数k,使方程的根都是整数.
☆☆11.5.11设m为整数,且4 有两个整数根,求m的值及方程的根. ☆☆11.5.12试求出所有这样的正整数α,使得二次方程 至少有一个整数根. ☆☆11.5.13已知当n为自然数时,关于x的一元二次方程 的两根为质数,试解此方程. 11.6含绝对值的一元二次方程 ☆11.6.1若是方程的两根,则的值是() A.B.C.1D. ☆11.6.2方程的所有根的和是() A.-2B.0C.2D.4 ☆11.6.3方程的解的个数是() A.1B.2C.3D.4 ☆☆11.6.4方程x|x|-3|x-1|=1的不同实数根的个数是() A.1B.2C.3D.4 ☆☆☆11.6.5对方程x|x|+px+q进行讨论,下面的结论中,错误的个数是() (1)至多有三个实数根; (2)至少有一个实数根;(3)仅当时才有实数根;(4)当 p<0和q>0时有三个实数根. A.0B.1C.2D.3 ☆11.6.6方程的根的和是_______. ☆11.6.7关于x的方程恰好有三个实数根,则m的值是_________. ☆11.6.8方程的解是_________. ☆11.6.9当a在什么范围内取值时,方程有且只有相异两实数根? 11.7一元二次方程的应用 ☆☆11.7.1已知实数x,y满足xy+x+y=9,,则的值为() A.1B.17C.1D.6或17 ☆☆☆11.7.2已知实数a,b满足和则代数式的值为() A.175B.55C.13D.7 ☆☆11.7.3a、b、c是实数,且,则a的取值范围是()
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