极坐标与参数方程15道典型题有答案2汇编.docx
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极坐标与参数方程15道典型题有答案2汇编
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极坐标与参数方程15道典型题
1在直角坐标系xOy中,以0为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系•圆Ci,直线C2的极
0T
坐标方程分别为「二4sinr,rcosC-^2.2.
4
(1)求Ci与C2的直角坐标方程,并求出Ci与C2的交点坐标;
(2)设P为Ci的圆心,Q为Ci与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为
厂3
x=t+a
」“3斗(t为参数,WR),求a,b的值.
y=—t+i
2
(i)由极直互化公式得:
22Ci:
x(y-2)=4C2:
xy-4=04分
联立方程解得交点坐标为(0,4),(2,2)5分
(2)由
(1)知:
P(0,2),Q(1,3)所以直线PQ:
x-y•2=0,
KaK
化参数方程为普通方程:
1,
2•极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位,以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,曲
广
x=t+m
线C1的极坐标方程为P2cos2日=3,曲线C2的参数方程为」,(t是参数,m是常
y=2t-1
数)
(1)求Ci的直角坐标方程和C2的普通方程;
(2)若C2与C1有两个不同的公共点,求m的取值范围•
解:
(1)由极直互化公式得C1:
「2(cos2v-sin2旳=3,所以x2-y2=3;2分
消去参数t得C2的方程:
y=2x-2m-14分
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(2)由
(1)知Ci是双曲线,C2是直线,把直线方程代入双曲线方程消去y得:
22
3x—4(2m-1)x•4m4m4=0,7分
22
_xy
3•已知椭圆C:
1,直线
43
x=-33t
$(t为参数).
y=2、、3t
(I)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程;
(II)设二1,0,若椭圆C上的点m满足到点厶的距离与其到直线I的距离相等,求点p的坐标.
…10分
4..在极坐标系Ox中,直线C1的极坐标方程为psin9=2,M是G上任意一点,点P在射线OM上,且满足|OP||OM|=4,记点P的轨迹为C2.
(I)求曲线C2的极坐标方程;
(n)求曲线C2上的点到直线pos(9+=2的距离的最大值.
解:
(I)设P(p,9,M(p,9),依题意有psin9=2,p1尸4.
消去p,得曲线C2的极坐标方程为p=2sin9.5
分
(n)将C2,C3的极坐标方程化为直角坐标方程,得
C2:
x2+(y-1)2=1,C3:
X-y=2.
C2是以点(0,1)为圆心,以1为半径的圆,圆心到直线C3的距离d=¥,
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10
故曲线C2上的点到直线C3距离的最大值为1+32-.
5•在极坐标系中,曲线C的极坐标方程为r=4.2sin()。
现以极点0为原点,极轴为x
4
(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)设直线丨和曲线C交于代B两点,定点P(-2,-3),求|PA||PB|的值。
【解】
—,2,,
(1)『=4.2sin())=4sin4cos),所以『=4『sin)4「cosv。
2222
所以xy-4x-4y=0,即(x-2)(y-2)=8。
直线l的普通方程为、•3x—y・2•一3—3=0。
(2)把I的参数方程代入x2•y2-4x-4y=0得:
t2-(45.3)t3^0。
设A,B对应参数分别为t1,t2,则讯2=33,点P(-2,-3)显然在I上,
由直线I参数t的几何意义知|PA||PB冃址2|=33。
10
茫3+吳
6.在直角坐标系xOy中,直线I的参数方程为
x轴正
(t为参数),以原点为极点,
—t
y21半轴为极轴建立极坐标系,OC的极坐标方程为p=2二sinB.
(I)写出OC的直角坐标方程;
(n)p为直线i上一动点,当p到圆心C的距离最小时,求p的直角坐标.
•解:
(I)由OC的极坐标方程为p=2';sin0.p2=2西PsinB,化为x2+y2=V,
配方为:
」:
'=3.5分
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7.在直角坐标系xOy中,以0为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方
n
程为pcos(0—―)=1,M、N分别为C与x轴、y轴的交点.
(I)写出C的直角坐标方程,并求出MN的极坐标;
(n)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.
13
2
pcosB+Psin
(2)由
(1)知MN的中点P1,#•
直线OP的直角坐标方程为y=Jx,化为极方程为:
psin0^33•pcos0.
化简得tan0,即极坐标方程为0=n.
36
(I)写出曲线
(n)设Q为曲线C1上一动点,求Q点到直线l距离的最小值.
【解答】(I)以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,
2_
曲线C1的极坐标方程为p2=l十sidB,直线I的极坐标方程为尸¥2虽门°+匚口s,更多精品文档
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根据p=x2+y2,x=pcosB,y=pinB,
则Ci的直角坐标方程为x2+2y2=2,直线l的直角坐标方程为〉■■一
||2sin(6+晋‘)-4|
(n)设Q「一-t•广,则点q到直线|的距离为
V3="73
04^抚兀+耳B二2k兀+耳
当且仅当
42,即4(k▽)时取等号.
2
•••Q点到直线l距离的最小值为;.
x_2cosCL
9.在直角坐标系xOy中,曲线Ci的参数方程为I尸2+2虽口住(a为参数)M是Ci上的动点,
P点满足「=2卩',P点的轨迹为曲线C2
(I)求C2的方程;
JT
(n)在以o为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线9=与Ci的异于极点的交点
为A,与C2的异于极点的交点为B,求|AB|.
(II)根据(I)将求出曲线Ci的极坐标方程,分别求出射线9=与Ci的交点A的极径为pi,
以及射线9=3与C2的交点B的极径为p,最后根据|AB|=|p-Pi|求出所求.
2y
【解答】解:
(I)设P(x,y),则由条件知M(㊁,2).由于M点在Ci上,
f
-|=2cosCL
yfX—4cosQ
芾姑2sin^i—丄界■n
所以I2即(y=4+4smd
从而C2的参数方程为
\=4cosCL
y=4+4sind(a为参数)
(n)曲线Ci的极坐标方程为p=4sin9,曲线C2的极坐标方程为p=8sin9.
兀兀
射线9=3与Ci的交点A的极径为pi=4sin3,
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兀JT
射线9=3与C2的交点B的极径为p=8sin3.所以|AB|=|p—p|=2a/^.
10.设圆C的极坐标方程为P=2,以极点为直角坐标系的原点,极轴为x轴正半轴,两坐标系长度单位一致,建立平面直角坐标系.过圆C上的一点M(m,s)作垂直于x轴的直线I:
x=m,
设I与x轴交于点N,向量iiT''J.
(I)求动点Q的轨迹方程;
(n)设点R(1,0),求IRQI的最小值.
【解答】解:
(I)由已知得N是坐标(m,0),
设Q(x,y),由W4,得
\=2m‘冗
〔尸日,则s=y,
22
•••点M在圆尸2上,即在m+s=4上,
12(cob*e号)+-y
22
XV二1
•••Q是轨迹方程为「1;
'x=4cosB
(n)Q点的参数方程为【尸2sinB,
IRQ|=V(4cos6_1)2+4sin^6=V12cos^^~8cos©+5二
_V33
则丨"的最小值为
rvs
11.已知在平面直角坐标系xOy中,直线1的参数方程是
I2(t是参数),以原点
P=2cos(B+—
O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标,曲线C的极坐标方程-
(I)判断直线I与曲线C的位置关系;
(H)设M为曲线C上任意一点,求x+y的取值范围.
P=V2COS0-V2sin8
近gin(0+芈)
贝Vx+y=sin0+cos0=-丨
•x+y的取值范围是帚三:
"-fMI
小x=2+J5cosot
12.已知曲线C的参数方程为(二为参数),以直角坐标系原点为极点,X轴
y=1.5sin:
-
正半轴为极轴建立极坐标系•
(I)求曲线C的极坐标方程;
(n)若直线的极坐标方程为r(sin0+cos0)=1,求直线被曲线C截得的弦长•
x=2+V5cos«
23.
(1)V曲线C的参数方程为」(a为参数)
jy=15sin二
22
•••曲线C的普通方程为(X—2)+(y—1)=5
X=Pcos日___
将丿代入并化简得:
P=4cosB+2sin日
y=Psin日
即曲线c的极坐标方程为:
=4cosv2sinv5分
⑵•/的直角坐标方程为xy-^0
为极轴)中,直线I的方程为
.2rsin(q-P)=m,(m?
R).
4
(I)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程;
(n)设圆心C到直线I的距离等于2,求m的值.
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求解.
试题解析:
(I)消去参数t,得到圆的普通方程为(x-1)2+(y+2)2=9,由、.2rsin(q-p)=m,得rsinq-rcosq-m=0,
4
所以直线I的直角坐标方程为x-y-m=0.
m=-3±2,2
(n)依题意,圆心C到直线l的距离等于2,即卩
X=tcos■■
14.(15年新课标2理科)在直角坐标系xOy中,曲线C1:
](t为参数,t丰0),其
』=tsina
中0Wa P=2sin日,Ca: 『=23cosJ。 (1)求C2与Ca交点的直角坐标; (2)若C1与C2相交于点A,C1与Ca相交于点B,求|AB|的最大值。 (23)解* 曲线G的直角坐标方程为即妻-曲线G的豆角坐标方程为『+yl-2V3x=0. 解得 X*十y'-2J3xn0, _J3jcm亠X_~T*H- 所以G与c,交点的i{角坐标为®o)和(£・|)* (n>曲线G的极坐标方稈齒tf=a(p€R.p*0h其中go". 冈比彳的根坐标为(2血gB的磧坐标为也民ga). 所以»R]=|2疝血住-2>/3co$n^4'si^i'-)! ■ 当◎二竺时.\AB\取得咼大值”故大值为厶 6 x=3」t 2 15.(15年陕西理科)在直角坐标系x〔」y中,直线|的参数方程为(t为参数).以 IV3. ytI2 原点为极点,x轴正半轴为极轴 建立极坐标系,|_C的极坐标方程为卜=2・、3sinr. (I)写出LC的直角坐标方程; (II)P为直线I上一动点,当? 到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标. 【答案】(I)x2y73=3;(II)3,0. 【解析】 试题分析: (I)先将Q=2・、3sin^两边同乘以「可得「2=2・3‘sin^,再利用'^2=Xy2, X二Qsinr可得LC的直角坐标方程;(II)先设m的坐标,贝yPC=: 垃2•12,再利用二次 函数的性质可得|.C的最小值,进而可得m的直角坐标. 试题解析: (I)由J=2・、3sinj得T2=2',3「sinr, 从而有 x2+y2=2..$3y,所以x2+y--_3=3. (II)设P(3+1t^-^t),又C(0,.3),则|PC|已: 22VV 故当t=0时,|PC|取最小值,此时P点的直角坐标为(3,0)
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