历年高等数学期末考试试题.docx
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历年高等数学期末考试试题
1.
2.
3.
4.
5.
6.
2008-2009学年第一学期期末试题
、填空题(每题5分,共30分)
1
曲线yxln(e)的斜渐近线方程是
x
若函数yy(x)由e2xycos(xy)e1确定,则在点(0,1)处的法线方程是
设f(x)连续,且0
2n
积分0sinxdx
微分方程y曲边三角形y
二.选择题(每题
1.
当x0时,
(A)1ex
2.
若f(x)
(2x
x21
f(t)dtx4,则f(8)
4y4y0的通解为
x,y0,x1绕x轴旋转所得的旋转体体积为
3分,共15分)
与x等价的无穷小是(
1x
(B)ln1x
(C)1x1
(D)1cosx
3.
4.
1)
1
1,则f(x)在(
x
处不连续
(A)x
若f(x)
xsinx
(A)f(0)是极大值,
(C)f(0)是极大值,
(B)x2
cosx,则(
f
(2)是极小值,
f()也是极大值
2
(C)
(B)
(D)
设线性无关的函数y1,y2,y3都是二阶非齐次线性方程
c1,c2是任意常数,则该方程的通解为(
(A)c1y1c2y2y3,
(B)c1y1
(C)c1y1c2y2(1c1c2)y3,
3n3in
5.极限lim3(3in)2可表示为(
nni1n
(D)x
f(0)是极小值,
f()是极大值
2
f(0)是极小值,
(D)c1y1
(A)31x2dx
1
(B)30(3x
1)2dx
f()也是极小值
2
yp(x)yq(x)yf(x)的解,
c2y2
c2y2
(c1c2)y3,
(1c1
c2)y3,
22
(C)1(3x1)2dx
12
(D)0x2dx
三、计算题(每题6分,共36分)
1.lim
x0
x
esinx1
11x2
x
xe
2.
(1
2dx
x)2
3.设y
f(x)为单调函数,且二阶可导,
g(x)为其反函数,若f
(1)2,
f
(1)
33,f
(1)2,
求g
(2).
4.若曲线
f(x)由x
t2
11udu,y
t2
1udu确定,,求该曲线对应于0t1的
1
弧长。
5.求微分方程
ycos2x
tanx满足y(0)0的特解。
x
6.设曲线
y
at3
在tt2bt
1
1处切线斜率为,试确定a,b使曲线与x轴所围图形的面积最
3
四.综合题(
1题7分,2、
3题6分,共19分,)
1.
设f(x)
2x1ltimt2sinxt[g(2x1t)
g(2x)],其中g(x)可导,
2.
3.
1)证明:
f(x)xg(2x);
2)若g(x)的一个原函数为ln(1
设f(x)在x0的某邻域内可导,且
x),求
f(0)
设f(x)是周期为2的连续函数,证明:
1
0f(x)dx.
1,f(0)2,求lnim[f(n)]
1
1
1n(1cos)
n
x
g(x)02f(t)dtx
2
0f(t)dt也是周期为2
的函数。
五.附加题(共20分,本题的得分记入总分)
1
1.设f(x)在[0,1]连续,(0,1)可导,且f(0)f
(1)0,f()1,证明:
(0,1),
2
使得f()1.
4
2.设f(x)在[2,4]上连续,且f(3)0,证明:
(2,4),使得f()32f(t)dt
2008-2009学年第二学期期末试题
、选择题(每题3分,共15分)
1.下列结论正确的是()
(A)若f(x,y)在(x0,y0)处可微,则fx(x,y),fy(x,y)在(x0,y0)处一定连续。
(B)若f(x,y)在(x0,y0)处沿任意方向的方向导数都存在,则fx(x0,y0),fy(x0,y0)存在;
(C)若fx(x0,y0)存在,则一元函数f(x,y0)在(x0,y0)处连续,所以limf(x,y0)存在;xx0
(D)若fx(x0,y0)a,fy(x0,y0)b,则dz(x0,y0)adxbdy;
222xyz2.设f(x,y,z)具有一阶连续偏导数,且f(x,y,z)0,曲面为椭球面2221abc
的外侧在第二卦限内的部分,则下列积分小于零的是()
(A)f(x,y,z)ds(B)f(x,y,z)dxdy
(C)f(x,y,z)dzdx(D)f(x,y,z)dydz
3.设幂级数an(x1)n在x2处条件收敛,则此级数在x2处()
n0
(A)条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)收敛性不能确定
24.设为非零实数,则级数
(1)n()
n2nlnn
(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与a有关
2u(x,y)5.设函数u(x,y)在平面有界闭区域上具有二阶连续偏导数,且满足0,
xy
2u(x2,y)2u(x2,y)0,则u(x,y)的()
xy
(A)最大值点和最小值点都在D的内部;
(B)最大值点和最小值点都在D的边界上;
(C)最大值点在D的内部,最小值点都在D的边界上;(D)最小值点在D的内部,最大值点都在D的边界上。
二、填空题(每题3分,共15分)
1.曲面ezzxy3在点(2,1,0)处的切平面方程是
123x11x2
2.积分I2dxf(x,y)dy1dxf(x,y)dy在极坐标系下的累次积分为0020
3.设f(u)具有连续导数,且0f(u)du4,L为半圆周y2xx2,起点为A(0,0),
终点为B(2,0),则f(x2y2)(xdxydy)
4.设L为正向闭曲线xy2,则?
Laxdybydx
Lxy
5.设函数f(x)xx2(x)的付立叶级数展开式为
a0(ancosnxbnsinnx),则其中系数b3的值为
2n1
三、计算题(每题8分,共48分)
xzz
1.设zz(x,y)由方程ln所确定,求
zyy
2.设:
x2y2z2a2,求ò(sinxyz2)ds
3.求(sinxz)dV,其中是由曲面zx2y2与z1x2y2所围的区域
f(x)14.若f(x)具有连续的导数,曲线积分[1]ydxf(x)dy与路径无关,且f
(1),Lx2求f(x)
5.计算
4xzdydz2yzdzdx(1z2)dxdy,其中
为曲线z
x
ey
e0(0
ya)绕z轴旋
转而成的曲面的上侧
6.求级数f(x)ln(32xx2)在x1处展开成幂级数,并指出收敛域
四、综合与证明题(选作两题,每题11分,共22分)
222
1.设f(x,y)x2xyy2,L为抛物线yx2自原点至点A(1,1)的有向弧段,n为L的
切向量顺时针旋转角所得的法向量,f表示f(x,y)在曲线L上点M(x,y)处沿法向量2n
n的方向导数,计算fds
Ln
2.设闭曲面
上任一点x,y,z处的法向量为P,Q,R,为
1)证明:
òP2Q2R2ds(
2)利用(
1)中所得的结论计算:
ò
3..设f(x)在x0的某领域内连续,且
1)计算limF(t4)其中
t0t4
F(t)=
2)问为何值时,级数
1
F
n1n
4.设为曲面yf(x,y)的上侧,
P
Q
R
)dV
x
y
z
2
2
4x2
4y2
zds,
其中
:
x
22zy
4
4
f(x)
222
lim
1,
(x,y,z)
xyz
x0
x
所围成的闭区域,
1
t2
f(x2y2z2)dxdydz
1
(1)收敛
n
的正向边界曲线为,P(x,y,z)在
及其边界
PP有一阶连续偏导数,证明:
dzdxdxdy?
P(x,y,z)dx
Zy
考生注意:
第四大题如选作两个以上,可酌情加分,但卷面总分不得超过100分。
2009-2010学年第一学期期末试题
.填空题(每题3分,共15分)
1.设f(x)
y(x)与ysinx在(0,0)点处相切,
lxim0
2.若函数y
f(x)
x
3.积分[ln(x1x2)1]4x2dx
2x
e
4.积分xdx=
5.lim
n
1
n1
n2
1
nn
1e
.选择题(每题3分,共15分)
1.
x1是函数f(x)
21
x1
e
x1
0
x1
1
1的(
1
)间断点。
2.
A)
可去
(B)
跳跃
(C)无穷
(D)振荡
(A)
(C)
0时,与4x等价的无穷小量是(
3
tan(x222)
314x21
(B)ln1
(D)xsin3x4x
(A)0dyy
(B)0ydy
x3
5.设f(x)为连续的奇函数,且
(x)
0f(t)dt,
(2)a,2f(x)dx
3
5
(A)(3)
(2)
4
(B)
(3)54
(2)
3
(C)(3)
(2)
(D)
(3)
5
(2)
44
三、计算题(每题
8分,共48分)
m
li
sinxxcosx
3
x
2.
arctanx
x2
(1
2dx
x2)
3.
4.
5.
6.
f(x)
2
sint
cos2t其中
f(u)du
2
xt2
etdt,求I
1
f(u)可导,求
1
0xf(x)dx
f(x)是以为周期的连续函数,求
2n
f(x)在[0,]上连续,且f(x)
2
2
sinx
d2y.dx2.
sinxf(x)dx
4f(2x)dx,求
02f(x)dx
四.综合题(共
22分,选作三题)
1.若
f(x
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