三角板问题专题.docx
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三角板问题专题
三角板问题
1.一名同学拿了两块45°三角尺△MNK,△ACB做了一个探究活动:
将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处,设AC=BC=4。
(1)如图1-1,两三角尺的重叠部分为△ACM,则重叠部分的面积为________,周长________。
(2)将图1-1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°,得到图1-2,此时重叠部分的面积为________,周长________。
(3)如果将△MNK绕M旋转到不同于图1-1和图1-2的图形,如图1-3,请你猜想此时重叠部分的面积为_____。
(4)在如图1-3的情况下,若AD=1,求重叠部分图形的周长。
∙解:
(1)
,
(1+
)a;
(2)
,2a;
(3)猜想:
重叠部分的面积为
。
理由如下:
过点M分别做AC、BC的垂线MH、MG,垂足为H、G。
为说明方便,不妨设MN与AC的交点为E,MK与BC的交点为F。
由于M是△ABC斜边AB的中点,AC=BC=a
所以MH=MG=
又因为∠HME=∠GMF
所以Rt△MHE≌Rt△MGF分
因此阴影部分的面积等于正方形CGMH的面积。
而正方形CGMH的面积是MG・MH=
×
=
所以阴影部分的面积是
。
已知,△ABC是等边三角形,将一块含有30°角的直角三角板DEF如图放置,让三角板在BC所在的直线上向右平移,如图1,当点E与点B重合时,点A恰好落在三角形的斜边DF上.
(1)利用图1证明:
EF=2BC;
(2)在三角板的平移过程中,在图2中线段EB=AH是否始终成立(假定AB,AC与三角板斜边的交点为G、H)?
如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由.
2.已知△ABC是等边三角形,将一块含30°的直角三角尺DEF如图2-1放置,让△ABC在BC边上向左做移动,当点B与点E重合时,点A恰好落在三角尺的斜边DF上的M点,点C在N点位置上,移动后,AB边与DF交于点G,AC边与DF交于点H。
(1)在△ABC平移过程中,猜想CH,CF满足的数量关系,并证明。
(2)在△ABC平移过程中,猜想BE,AH满足的数量关系,并证明。
解:
(1)∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°,AC=BC.
∵∠F=30°
∴∠CAF=60°-30°=30°.
∴∠CAF=∠F,
∴CF=AC,
∴CF=AC=EC,
∴EF=2BC.(4分)
(2)成立. (1分)
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°,AC=BC.
∵∠F=30°
∴∠CHF=60°-30°=30°.
∴∠CHF=∠F,
∴CH=CF.
∵EF=2BC,
∴BE+CF=BC.
又∵AH+CH=AC,AC=BC,
∴AH=BE.(9分)
3.将一副三角尺(Rt△ABC和Rt△DEF)将图3-1摆放,点E,A,D,B在一条直线上,且D是AB的中点。
将Rt△DEF绕点D按顺时针方向旋转角a(0° (1)当a=30°时(图3-2),求证: AG=DH。 (2)当a=60°时(图3-3), (1)中的结论是否成立? 请写出你的结论,并说明理由。
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