高等代数北大版第章习题参考答案.docx
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高等代数北大版第章习题参考答案
第六章线性空间
1.设MN,证明:
M「|N二M,M|JN二N。
证任取圧三M,由M二N,得很三N,所以—MN,即证M•M。
又因
MNM,故M"N=M。
再证第二式,任取很-M或x-N,但MN,因此无论哪一种情形,都有:
…N,此即。
但NMN,所以MUN=N。
2.证明M(NL)=(MN)(ML),M(NL)=(MN)(ML)。
证-xM(NL),则xM且xNL.在后一情形,于是xMN或xML.
所以x(MN)(ML),由此得M(NL)=(MN)(ML)。
反之,若
x(MN)(ML),则xMN或xML.在前一情形,xM,xN,因此
x・NL.故得x•M(NL),在后一情形,因而x・M,x・L,NUL,得xM(NL),故(MN)(ML)M(NL),
于是M(NL)=(MN)(ML)。
若xM(NRL),则xM,xN"L。
在前一情形Xx・MUN,且X・MUL,因而x(MUN)(M_L)。
在后一情形,xN,x•L,因而xMUN,且X•MUL,即X(MJN)D(MUL)所以(MuN)n(MUL)mU(NUL)
故mU(nF1l)=(mUn)n(mUl)
即证。
3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间:
1)次数等于n(n一1)的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数量乘法;
2)设A是一个nxn实数矩阵,A的实系数多项式f(A)的全体,对于矩阵的加法和数量乘法;
3)全体实对称(反对称,上三角)矩阵,对于矩阵的加法和数量乘法;
4)平面上不平行于某一向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法;
5)全体实数的二元数列,对于下面定义的运算:
(ai,ab(qa2,bib2aia2)
6)平面上全体向量,对于通常的加法和如下定义的数量乘法:
kQa=0;
7)集合与加法同6),数量乘法定义为:
kOa=a;
8)全体正实数r,加法与数量乘法定义为:
a二b=ab,kQa=ak;
解1)否。
因两个n次多项式相加不一定是n次多项式,例如
(xn•5)•(「xn-2)=3。
2)令V={f(A)|f(x)为实数多项式,A是nxn实矩阵}
因为
f(x)+g(x)=h(x),kf(x)=d(x)
所以
f(A)+g(A)=h(A),kf(A)=d(A)
由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的1~8条,故v构成线性空间。
3)矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质,只需证明对称矩阵(上三
角矩阵,反对称矩阵)对加法与数量乘法是否封闭即可。
下面仅对反对称矩阵证明:
当A,B为反对称矩阵,k为任意一实数时,有
(A+B)'=A+B=-A-B=-(A+B,A+B仍是反对称矩阵。
(KA)=KA"二K(—A)=(KA),所以kA是反对称矩阵。
故反对称矩阵的全体构成线性空间。
4)否。
例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。
5)不难验证,对于加法,交换律,结合律满足,(0,0)是零元,任意(a,b)的负元是
2
(-a,a-b)。
对于数乘:
1(a,b)=(1a,。
b=―a2)=(a,b),
2
咛)a2]咛(“)
22
kl(kl—1)2丄k(k—1)“、2、
=(kla,a(la))
22
k.(l.(a,b)=k.(la,lb出^a2)=(kla,k[lb
2
l(l—1)2k(k—1)2
-(kla,k[lba](la))
22
kl(kl-1)2
=(kla,aklb)=(kl).(a,b),
2
2
k.(a,b)二丨.(a,b)=(ka,kb^a2)二(la,lb山^a2
22
=(kala,kb坐9玄2世a2kla2)
22
4(kl)a,(k1)(k|-1)a2(kl)b].
即(kl)(a,b)二k(a,b)二l(a,b)。
k[(a1,b1)二(a2,b2)]=k(a1a2,b|b2a1a2)
k(k—1)2
=[k(a1a2),k(b1b2a1a2(a1a2))],
k。
佝0)㊉k°(a2,b2)
k(k-1)2k(k—1)2、
=(kai,kbi&)二(ka2,kba?
)
k(k-1)2k(k-1)22
=(ka1ka2,kb1-^-印kb2-f-a2ka1a2)
k(k—1)2k(k—1)22
=(k(a1a2),k(b1b2a1a2)a1a2ka1a^ka1a2)
k(k—1)222
=(k@1a2),k(db2da?
)(da?
)),
即k°(ai,bi)❸(a2,b2)=k°(ai,bj❸k°(a2,b2),所以,所给集合构成线性空间。
6)否,因为1=0=〕.。
7)否,因为(k丨):
=,k七川'Ir=2,所以(k丨)乜严(k".:
s)-(I・),
所给集合不满足线性空间的定义。
8)显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的,满足
i)a二b=ab二ba=b二a;
ii)(a二b)二c=(ab)二c=abc=a二(be)=a二(b二c);
iii)1是零元:
a二1=a1=a;
iv)a的负元是丄:
a二1二a丄=1,且丄二a=1;
aaaa
1
v)1二a=aa;
vi)(k0(I:
a))=kQ(d)=(a)k=alk=akl=(kl)Qa;
vii)(kI)'[a=ak丨=aka'二(ka)二(la);
viii)kQ(a二b)=kQ(ab)=(ab)k=akbk=(k:
a)二(kQb).
所以,所给集合R■构成线性空间。
4在线性空间中,证明:
1)kO=02)k(:
--)二k:
-k:
。
证1)kO二k(:
:
:
:
(一二))二k:
k(Y)二心;k(-1):
=(k(-k)):
=0:
=0。
5证明:
在实函数空间中,1,cos2t,cos2t式线性相关的。
证因为cos2t=2cos2t-1,所以1,cos2t,cos2t式线性相关的。
6如果fi(x),f2(x),f3(x)是线性空间P[x]中三个互素的多项式,但其中任意两个都不互
素,那么他们线性无关。
证若有不全为零的数k2,k3使kfi(x)k2f2(x)k3f3(x)=0,
不妨设ki厂0,则fi(x)=-邑f2(x)—'f3(x),这说明f2(x),f3(x)的公因式也是fi(x)k1k1
的因式,即fi(X),f2(X),f3(X)有非常数的公因式,这与三者互素矛盾,所以fl(x),f2(X),f3(X)线性无关。
7在P4中,求向量•在基;1,23;4下的坐标。
设
1);i=(1,W),;2=(1,1,-1,一1),;3=(1,-1,1一1),;4=(1,一1,一1,1),=(1,2,1,1);
2);1=(1,1,0,1),;2=(2,1,3,1)「3=(1,1,0,0),;4=(0,1,-1,-1),=(0,0,0,1)。
「a+b+c+d=1
ab「c「d=2
解1)设有线性关系二ar•b;2•c;3d;4,则,
|a-b+c_d=1
a「b「cd=1
s5111
可得在基;1,;2,;3,;4下的坐标为a,b,c,d=
4444
'a+2b+c=0
t尸a+b+c+d=0
2)设有线性关系1「b;2*c;3*d;4,则,
3b—d=0
ab-d=1
可得在基;1,;2,;3,;4下的坐标为a=1,b=0,c=T,d=0。
上三角)矩阵作成的数域P上的空间;3)第3题8)中的空间;4)实数域上由矩阵A的全体实
解1)Pnn的基是「Eij}(i,j=1,2,...,n),且dim(Pnn)二n2。
'F11,…,F1n,F22,…,F2n,…,Fnn
是对称矩阵所成线性空间Mn的一组基,所以Mn是
维的。
2
ii)令Gj
,即a0=-aji=1,(^-j),其余元素均为零,则
{G12,...,G1n,G23,...,G2n,...,Gn4,n}是反对称矩阵所成线性空间Sn的一组基,所以它是
n(n-1)维的。
2
iii){En,...,Em,E22,...,E2n,...,Enn}是上三角阵所成线性空间的一组基,所以它是n(n1)维的。
2
3)任一不等于1的正实数都是线性无关的向量,例如取2,且对于任一正实数a,可经2线性
表出,即.(log2a)2,所以此线性空间是一维的,且2是它的一组基。
9.在P4中,求由基軌,到基n1?
12?
13^4的过渡矩阵,并求向量芒在所指基下的
坐标。
设
色=(1,0,0,0八佃=(2,1,-1,1)
二X1,X2,X3,X4在1,2,3,4下的坐标;
-=11,0,0,0在;1,;2,;3,;4,下的坐标;
二1,0,0,-1在1,2,3,4下的坐标;
这里A即为所求由基;1,;2,;3,;4,到1,2,3,4的过渡矩阵,将上式两边右乘得二',
(;1,;2,;3,;4)=(1,2,3,4)丄‘,
于是
所以在基下的坐标为
X2
X3
27
1
1
3
4
9
-1
11、
9
23
27
2
26
27」
2令e1=(1,0,0,0),e2=(0,1,0,0)(3=(0,0,1,0)(4=(0,0,0,1)则
-1
-1
-1
-1
(1,2,3,4)
将(e1,e2,e3,e4)=
=(e1,e2,e3,e4)
=(©,e2,e3,e4)
-1
0
=(e1,e2,e3,e4)A,
-2
=(e1,e2,e3,e4)B,
(;1,;2,;3,;4)A'代入上式,得
(1,2,3,4)=(;1,2;3,;4)AB,
这里
乜
3_
6
13
13
13
_5
3
AJ=
13
13
13
2
3_
4
13
13
13
3
2
7
<13
13
13
且A,B即为所求由基
13
4
1
0
0
r
13
A’Bn
1
1
0
1
1
0
1
1
1
13
8
<0
0
1
0」
13/
;2,;3,;4,到基1,2,3,4的过渡矩阵,进而有
=1,0,0,0=(ei,®2,e3,e4)
3
13
5
13
2
13
3
1
1
1
1
1
2
1
0'
1
1
-1
-1
1
1
1
1
B=
1
-1
1
-1
0
3
0
-1
J
-1
-1
1丿
0
1
0
1丿
1
1
1
1
-4_
1
1
1
-1
—1
4
1
-1
1
-1
-1
-1
1
)
3ei,e2,e3,e4同2,同理可得
A=
A
则所求由
;3,;4到1,2,
2,
3,4
的过渡矩阵为
3
4
1
4
4
1
'、、4
7
4
丄
4
3
4
1
4
1
2
1
2
1
4
3
4
1
4
1
4丿
再令=a
1+b2+c3
+d4,即
标。
4下有相同的坐
V
*1
1
0
1、
?
2
J-
=(a,b,c,d)
2
1
3
1
n3
1
1
0
0
宀丿
1°
1
-1
-1」
1,0,0,0二a,b,c,d
由上式可解得在下的坐标为1,2,3,4下的坐标为
f13\
(a,b,c,d)=-2,-—-4,-—=a^
<22丿
10.继第9题1)求一非零向量,它在基;「;2,;3,;4与1,2,3,
2,
解设在两基下的坐标为(X-Xz’XsXq),则
X2
=(口1?
2?
13?
4)
X2
X3
X3
O
'=(;1,;2,;3,;4)
又因为
(1,2,3,4)
=("1,;2,;3,;4)
2
1
-1
1
0
3
1
0
5
3
2
1
6"
6
1
3」
=(;1,
;2,;3,;4)A,
所以
ZX1、
X2
=A
X2
二(A-E)
X2
X3
X3
X3
"丿
1X4」
=0。
1
0
5
6
1
2
3
1
2
3
6
=0,且
_1
1
1
_1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
2
A—E
于是只要令x4二-c,就有
x-i2x23x3二6c
-x1x2x3=c,
为+x3=2c
解此方程组得
Xi,X2,X3,X4=c,c,c,-c(c为任意非零常数),
取c为某个非零常数c0,则所求为
—c^-1'Co二2''c°3_Co4。
11.证明:
实数域作为它自身的线性空间与第3题8)中的空间同构。
证因为它们都是实数域上的一维线性空间,故同构。
12.设V1,V2都是线性空间V的子空间,且Vi二V2,证明:
如果Vi的维数与V2的维数相
等,那么V^V2。
证设dim(Vi)=r,则由基的扩充定理,可找到Vi的一组基ai’a?
••…a「,,因ViV?
,
且它们的唯数相等,故ai,a2,••…ar,,也是V2的一组基,所以Vi=V2。
i3.APnn。
i)证明:
全体与可交换的矩阵组成的一个子空间,记做C(A);
2)当A=E时,求C(A);
3)当A=2时,求C(A)的维数和一组基。
证i)设与A可交换的矩阵的集合记为C(A)。 若B,D属于C(A),可得 A(B+D)=AB+AD=BA+DA=(B+D)A, 故B+DC(A)。 若k是一数,BC(A),可得 A(kB)=k(AB)=k(BA)=(kB)A, 所以kBC(A)。 故C(A)构成Pnn子空间。 2)当A=E时,C(A)=Pnn。 3)设与A可交换的矩阵为B=(bj),则B只能是对角矩阵,故维数为n,Eii,E22,…Enn即为它的一组基。 i4.设求中全体与可交换的矩阵所成的子空间的维数和一组基。 解若记 zi00x ■z000x A= 0i0 + 000 =E+S, v00h <3ib 并设B= ■0 SB= ai a2 bi b2 0ai Ci 与A可交换,即AB=BA 贝USB=BS且由 bi b2 c Ci 3b■b1b2 rabc ‘000、 ‘3ccc、 BS= aibiCi 000 = 3CiCiCi, ^2b2C2j <311」 C2C2/ <3 1 可是c1=c=0, 1a2 c23aaia2 —3c? '3a+ar+a2 3b+d+b2 —3c? +3a=—ai—a? c2=3b+0+b2 该方程组的系数矩阵的秩为2,所以解空间的维数为5。 取自由未知量a,c2,并 令b=1,其余为0,得c2=3,a=3; 1 令ai=1,其余为0,得c? =3,a=…; 3 令bi=1,其余为0,得C2=1,a=1; 1 令a? =1,其余为0,得C2=0,a=; 3 令b2=1,其余为0,得c2=1,a=1; 则与A可交换的矩阵为 'ab0 B=a1D0 &2b2c2; (1 310 -00 3 000 J 100 卫03』 000 其中,a,C2可经b,ai,a2,bi, (1、 q00' -00 3 010 J 000 e0b 100 表示,所求子空间的一组基为 *100' 000 1°1b 且维数为5。 15.如果c1a-c2^'C3=0,且c1c^-0,证明: La,: =L-。 证由C1C3=0,知。 =0,所以a可一: ,经线性表出,即: /■可经一: ,线性表出, 同理,'-,也可经: 线性表出。 故Laj=L■-,。 16. 在P4中,求由下面向量组生成的子空间的基与维数。 设 解1)a1,a2,a3,a4的一个极大线性无关组a1,a2,a4,因此a1,a2,a4为 La1,a2,a3,a4的一组基,且的维数是3。 2)a「a2,a3,a4的一个极大线性无关组为a「a2,故a,a2是La1,a2,a3,a4的 一组基,且维数为2。 17.在P4中,由齐次方程组 3x12x2-5x34x4=0 3%_x2+3x3_3x4=0+5x2T3x3+11^=0 确定的解空间的基与维数。 解对系数矩阵作行初等变换,有 '3 2 -5 4、 '3 2 -5 4、 勺 2 -5 4、 3 -1 3 -3 T 0 -3 8 -7 T 0 -3 8 -7 <3 5 -13 11> 3 —8 7」 1° 0 0 0」 所以解空间的维数是2,它的一组基为 ‘‘18加‘2T冲\ a1=——,一,1,0Ia: =一,一,0,1|。 I93丿<93) 18.求由向量: -1^2生成的子空间与由向量1,匕生成的子空间的交的基与维数,设 “: 內=(1,2,1,0)卩1=(2,-1,0,1) 1)」」-; 2)丿 严1=(2,5,—6,—5)爲=(-1,Z-7,3)° 解1)设所求交向量 则有 Ia1=1,2,一12 3Ma2=(3,1,1,1) a3=(—1,0,1,—1) =k1: -k2j.2=h已•l2场2, k1: 1k2: 2-h: 1丨2: 2=0, k_k2_2h_l2=o 2匕+k2十h十l2=0 «k2—3I20 -h-712=0 可算得 1 -1 -2 -1 1 -1 -2 2 1 1 1 =0, 且 2 1 1 1 1 0 -3 1 1 0 0 1 -1 -7 k2 =0, D 故交的维数也为 1, 1。 因此方程组的解空间维数为 任取一非零解(k-k? l1,l2)= (-1,4,-.3,1),得一组基 4: 2=(-5,2,3,4), 所以它们的交L()是一维的, 就是其一组基。 2)设所求交向量 =k1: -1k22=hrl2: 2, k1k2 =0 =0 则有k1」2, 半2-h“2=0 k2-h=0 因方程组的系数行列式不等于0,故方程组只有零解,即=k2=12 -0,从而 交的维数为0。 3)设所求交向量为 ”'=k1: 1■k^^l1-1I2: 2, 匕+3k2_k3_2h+l2=0 2k1k? ~'5^~'21? -0 -k1k2k36I171^0? -2k1k^k35h-312=0 13-11 -0知解空间是一维的,因此交的维数是1。 令1^1,,可 210-2 —1117 -21-1-3 得12=0,因此交向量二山^■丨2"2='1就是一组基。 19.设V与V分别是齐次方程组x1x2...xn=0^=X2二…二Xn」二Xn的解空间,证明: pn=y㊉V2. 证由于x1x2...xn=0的解空间是你n—1维的,其基为: 1=(-1,1,0,…,0),: 2=(-1,0,1,…,0),...,: n」=(-1,0,0,…,1)而由X1=X2二…二Xn」二Xn知其解空间是1维的,令Xn-1,则其基为]=(1,1,...,1).且: -1^-2,.../nJ/-即为pn的一组基,从而pn=y+V2.又dim(Pn)=dim(V1)+dim(V2),故Pn=y^V2.。 20.证明: 如果v^V1V2,V^V1^V12,那么Vr'Vn二V12二V2。 证由题设知v=v11v12v2,因为v二v2,所以 dim(V^dim(V1)dim(v2),又因为V^V1^V12,所以 dim(V1^dim(v11)dim(v12), 故dim(v)=dim(v11)
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