江西省抚州市临川区第一中学学年高二月.docx
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江西省抚州市临川区第一中学学年高二月
临川一中2017-2018学年上学期第二次月考
高二理科数学试卷
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集
,集合
,
,则
()
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】集合
,
,
,全集
,
。
故答案为:
A。
2.命题“若
,则
”的逆命题是()
A.若
,则
或
B.若
,则
C.若
或
,则
D.若
或
,则
【答案】D
【解析】逆否命题就是将条件和结论互换位置,并且讲条件和结论都否定;。
故题干中的逆否命题为:
若
或
,则
。
故答案为:
D。
3.用数学归纳法证明不等式
(
,且
)时,第一步应证明下述哪个不等式成立()
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由题干知n>1,故从2开始,第一步应该代入2,得到
。
故答案为:
B。
4.设
,
满足约束条件
,则
的最大值为()
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
如图,作出可行域,作出直线l0:
y=3x,将l0平移至过点C(-2,﹣2)处时,函数z=3x+y有最大值4.
故答案选C.
点睛:
本题考查线性规划问题,考查数形结合思想.解答的步骤是有两种方法:
一种是:
画出可行域画法,标明函数几何意义,得出最优解.另一种方法是:
由约束条件画出可行域,求出可行域各个角点的坐标,将坐标逐一代入目标函数,验证,求出最优解.
5.已知数列
为等差数列,且满足
,若
(
),点
为直线
外一点,则
()
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】∵数列{an}为等差数列,满足
,
其中A,B,C在一条直线上,O为直线AB外一点,
∴a1+a2017=1,
∵数列{an}是等差数列,
∴{an}的
=1,
.
故答案为:
D。
6.中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算.算筹的摆放形式有纵横两种形式.如图,表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位,百位,万位数用纵式表示,十位,千位,十万位用横式表示,以此类推,例如
用算筹表示就是
,则
用算筹表示为()
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】根据题意得到个位,百位,万位数用纵式表示,十位,千位,十万位用横式表示,分别在所给的横式和纵式中选择1227中每个数字对应的图,可选答案为B。
故答案为:
B。
7.若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是()
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由三视图可知:
该几何体是一个正方体切去一个三棱锥所得的组合体,如下图:
正方体的体积为:
2×2×2=8,
三棱锥的体积为:
×
×1×2×2=
,
故组合体的体积V=8﹣
=
。
故答案为:
。
8.已知
是首项和公比都为
等比数列,若
,
,且数列
是单调递增数列,则实数的取值范围为()
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】根据题意得到
并且
综上两者取交集得到:
.
故答案为:
B。
9.已知定义域为
的奇函数
的导函数为
,当
时,
,若
,
,
,则,
,的大小关系正确的是()
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】设h(x)=xf(x),
∴h′(x)=f(x)+x•f′(x),
∵y=f(x)是定义在实数集R上的奇函数,
∴h(x)是定义在实数集R上的偶函数,
当x>0时,h'(x)=f(x)+x•f′(x)>0,
∴此时函数h(x)单调递增.
∵a=
f(
)=h(
),b=﹣f(﹣1)=f
(1)=h
(1),
c=(ln
)f(ln
)=h(ln
)=h(﹣ln2)=h(ln2),
又1>ln2>
,
∴b>c>a.
故答案为:
D。
10.已知
,
分别为双曲线
(
,
)的左、右焦点,
为双曲线左支上任意一点,若
的最小值为
,则双曲线的离心率的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】设|PF1|=m,(m≥c﹣a)
则根据双曲线的定义:
|PF2|=2a+m,
=
∵
的最小值为8a,∴m=2a,根据焦半径的范围得到:
|PF1|=m
,得到离心率的取值范围是
.
故答案为:
D。
11.已知
是
所在平面内一点,若对
,恒有
,则
一定是()
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定
【答案】B
【解析】由题知:
化简得到
,
设△ABC的三个内角A,B,C所对的边为a,b,c,两边平方可得,
即
,
由题意可得
,
即为c≤bsinC,
由正弦定理可得sinC≤sinBsinC,
则sinB≥1,但sinB≤1,则sinB=1,可得B=90°.
即三角形ABC为直角三角形.
故答案为:
B。
点睛:
本题考查向量不等式恒成立问题的解法,考查三角形的形状判断和正弦定理的运用,运用向量的平方即为模的平方,以及二次不等式恒成立问题的解法是解题的关键,属于中档题.
12.若存在两个正实数
,
,使得等式
成立,其中为自然对数的底数,则实数
的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由2x+m(y﹣2ex)(lny﹣lnx)=0得2x+m(y﹣2ex)ln
=0,
即2+m(
﹣2e)ln
=0,
即设t=
,则t>0,
则条件等价为2+m(t﹣2e)lnt=0,
即(t﹣2e)lnt=﹣
有解,
设g(t)=(t﹣2e)lnt,
g′(t)=lnt+1﹣
为增函数,
∵g′(e)=lne+1﹣
=1+1﹣2=0,
∴当t>e时,g′(t)>0,
当0<t<e时,g′(t)<0,
即当t=e时,函数g(t)取得极小值,为g(e)=(e﹣2e)lne=﹣e,
即g(t)≥g(e)=﹣e,
若(t﹣2e)lnt=﹣
有解,
则﹣
≥﹣e,即
≤e,
则a<0或a≥
,
故答案选:
C
点睛;本题主要考查不等式恒成立问题,根据函数与方程的关系,转化为两个函数相交问题,利用构造法和导数法求出函数的极值和最值是解决本题的关键.综合性较强.对于函数的零点问题,它和方程的根的问题,和两个函数的交点问题是同一个问题,可以互相转化;在转化为两个函数交点时,如果是一个常函数一个非常函数,注意让非常函数式子尽量简单一些。
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.数据:
,
,
,
,
,
的中位数为__________.
【答案】
【解析】根据中位数的定义得到,将几个数字按照从小到大的顺序排列:
10,12,14,15,17,17
取中间的两个数的平均数为中位数:
14.5
故答案为:
14.5.
14.曲线
在点
处的切线方程为__________.
【答案】
【解析】对函数求导得到:
代入点(1,4)得到方程为:
。
故答案为:
。
15.已知直三棱柱
中,
,侧面
的面积为
,则直三棱柱
外接球的半径的最小值为__________.
【答案】2
【解析】设BC=2x,BB1=2y,则4xy=8,
∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,
∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的半径为
,
∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球半径的最小值为2.
故答案为:
2.
点睛:
涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系,或只画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程(组)求解.
16.已知圆
的方程为
,
是椭圆
上一点,过
作圆的两条切线,切点为
、
,则
的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
设PA与PB的夹角为2α,
则|PA|=PB|=
,
∴y=
=|PA||PB|cos2α=
•cos2α
=4
cos2α.
记cos2α=u,则y=
=[﹣3+(1﹣u)+
]*4≥(2
﹣3)*4,
∵P在椭圆的左顶点时,sinα=
,∴cos2α=
,
∴
的最大值为
.
∴
的范围为
.
故答案为:
点睛:
本题考查圆的切线的性质、三角函数的二倍角公式、向量的数量积公式、基本不等式求函数的最值,属于中档题.解决向量的小题常用方法有:
数形结合,向量的三角形法则,平行四边形法则等;建系将向量坐标化;向量基底化,选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底。
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.设
:
实数
满足
(
),
:
实数
满足
,
.
(1)若
,且
为真,求实数
的取值范围;
(2)
是
的充分不必要条件,求实数的取值范围.
【答案】
(1)
(2)
解析:
(1)
:
(
),
时,
:
,
:
∵
为真,∴
真且
真
,得
,即实数
的取值范围为
(2)
是
的充分不必要条件,记
,
则
是
的真子集
∴
得
,即的取值范围为
.
18.已知函数
(
),将
的图象向左平移
个单位后得到
的图象,且
在区间
内的最大值为
.
(1)求实数
的值;
(2)在
中,角
,
,
所对的边分别为,
,,若
,且
,求
的取值范围.
【答案】
(1)
(2)
【解析】试题分析:
(1)根据两角和差公式化一得到
,再由平移得到
,由自变量的范围得到函数值的范围。
(2)由第一问的表达式得到
,再有余弦定理得到
。
解析:
(1)由题设得
,
∴
,
∵当
时,
,
∴由已知得
,即
时,
,∴
.
(2)由已知,
∵在
中,
,∴
,∴
,即
,
又∵
,由余弦定理得:
当且仅当
时等号成立.
又∵
,∴
19.如图,在直角梯形
中
,
,
,
是
的中点,将
沿
折起,使得
平面
.
(1)求证:
平面
平面
(2)若
在
上且二面角
所成的角的余弦值为
,求
的长.
【答案】
(1)见解析
(2)
.
【解析】试题分析:
根据面面垂直的判定定理,得到
平面
,因为
平面
,即可得证;
(2)由建系的方法得到两个平面的法向量,根据法向量的夹角即可得结果.
解析:
(1)证明:
∵
底面
,∴
.
又由于
,
,
,
∴
为正方形,∴
又
,故
平面
,
因为
平面
,所以平面
平面
(2)解:
如图,建立空间直角坐标系
,设
,
,
,
,
设平面
的一个法向量
,则
即
令
得
平面
的一个法向量为
∴
解得
或
(舍),此时
.
20.已知
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