312用二分法求方程的近似解教案人教A版必修1.docx
- 文档编号:7497192
- 上传时间:2023-01-24
- 格式:DOCX
- 页数:16
- 大小:265.79KB
312用二分法求方程的近似解教案人教A版必修1.docx
《312用二分法求方程的近似解教案人教A版必修1.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《312用二分法求方程的近似解教案人教A版必修1.docx(16页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
312用二分法求方程的近似解教案人教A版必修1
3.1
函数与方程
3.1.2 用二分法求方程的近似解
●三维目标
1.知识与技能
(1)理解二分法求方程近似解的算法原理,进一步理解函数与方程的关系;
(2)掌握二分法求方程近似解的一般方法,能借助计算器求方程的近似解;
(3)培养学生探究问题的能力与合作交流的精神,以及辨证思维的能力.
2.过程与方法
(1)通过对生产、生活实例的介绍,使学生体验逼近的思想和二分法的思想;
(2)通过具体实例和具体的操作步骤,体验算法的程序化思想.
3.情感、态度与价值观
(1)通过二分法的生活实例,使学生体会到数学的应用价值,激发学生学习数学的兴趣;
(2)体会数学逼近过程,感受精确与近似的相对统一.
●重点难点
重点:
用“二分法”求方程的近似解,使学生体会函数零点与方程根之间的联系,初步形成用函数观点处理问题的意识.
难点:
对二分法概念的理解,精确度的理解,求方程近似解一般步骤的概括和理解.
重难点的突破:
以李咏主持的幸运52猜商品价格创设情境,导入二分法,激发学生情趣的同时初步体会二分法的含义,并尝试总结二分法解决实际问题的步骤及隐含的思想——逼近思想,难点之一得以突破.在此基础上,提出问题:
如何探寻方程在某一区间上的零点,引导学生借助零点存在性定理,类比案例分组协作,交流意见,归纳、总结利用“二分法”求方程的近似解的过程,基于二分法求解步骤的重复性,学生存在运算无限的茫然性,此时引出精确度的概念,化难为易,难点之二精确度的作用得以破解.
课标解读
1.体会二分法的思想,掌握二分法求方程近似解的一般步骤.(重点)
2.会用二分法求方程的近似解,并能用计算器辅助求解.(重点)
3.会用二分法思想解决其他的实际问题.(难点)
二分法的定义
【问题导思】
在一档娱乐节目中,主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格,若猜中了,就把物品奖给选手.某次竞猜的物品为价格在800元~1200元之间的一款手机,选手开始报价:
选手:
1000.
主持人:
低了.
选手:
1100.
主持人:
高了.
选手:
1050.
主持人:
祝贺你,答对了.
1.主持人说“低了”隐含着手机价格在哪个范围内?
【提示】 [1000,1200].
2.选手每次的报价值同竞猜前手机价格所在范围有何关系?
【提示】 报价值为竞猜前手机价格所在范围的中间值.
对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
【问题导思】
在上述猜物品价格的实例中,竞猜的过程是否有规律可循?
【提示】 竞猜过程归结为:
设原价为x,则
(1)给定价格区间[a,b];
(2)求区间(a,b)的中点c;(3)若c>x,则在区间(a,c)内竞猜;若c 给定精确度ε,用二分法求f(x)零点近似值的步骤如下 (1)确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε; (2)求区间(a,b)的中点c; (3)计算f(c), 若f(c)=0,则c就是零点; 若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c)); 若f(c)·f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)). (4)判断是否达到精确度ε: 即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b),否则重复 (2)~(4). 二分法的定义 下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是( ) 【思路探究】 【自主解答】 利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号.在B中,不满足f(a)·f(b)<0,不能用二分法求零点,由于A、C、D中零点两侧函数值异号,故可采用二分法求零点.故选B. 【答案】 B 判断一个函数能否用二分法求零点的依据是: 函数图象在零点附近是连续不断的,且该零点是变号零点. 下列函数中不能用二分法求零点的是( ) A.f(x)=3x-1 B.f(x)=x3 C.f(x)=|x|D.f(x)=lnx 【解析】 结合函数f(x)=|x|的图象可知,该函数在x=0的左右两侧函数值的符号均为正,故其不能用二分法求零点. 【答案】 C 用二分法求函数的零点 用二分法求函数f(x)=x3-x-1在区间[1,1.5]内的一个零点(精确度0.01). 【思路探究】 → 【自主解答】 经计算,f (1)<0,f(1.5)>0,所以函数在[1,1.5]内存在零点x0. 取区间(1,1.5)的中点x1=1.25,经计算f(1.25)<0,因为f(1.5)·f(1.25)<0,所以x0∈(1.25,1.5). 如此继续下去,得到函数的一个零点所在的区间,如下表: (a,b) (a,b)的中点 f(a) f(b) f (1,1.5) 1.25 f (1)<0 f(1.5)>0 f(1.25)<0 (1.25,1.5) 1.375 f(1.25)<0 f(1.5)>0 f(1.375)>0 (1.25,1.375) 1.3125 f(1.25)<0 f(1.375)>0 f(1.3125)<0 (1.3125,1.375) 1.34375 f(1.3125)<0 f(1.375)>0 f(1.34375)>0 (1.3125,1.34375) 1.328125 f(1.3125)<0 f(1.34375)>0 f(1.328125)>0 (1.3125,1.328125) 1.3203125 f(1.3125)<0 f(1.328125)>0 f(1.3203125)<0 因为|1.328125-1.3203125|=0.0078125<0.01,所以函数f(x)=x3-x-1的一个精确度为0.01的近似零点可取为1.328125. 1.用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则 (1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m,n](一般采用估计值的方法完成). (2)取区间端点的平均数c,计算f(c),确定有解区间是[m,c]还是[c,n],逐步缩小区间的“长度”,直到区间的两个端点符合精确度要求,终止计算,得到函数零点的近似值. 2.二分法求函数零点步骤的记忆口诀 定区间,找中点,中值计算两边看. 同号丢,异号算,零点落在异号间. 重复做,何时止,精确度来把关口. 已知f(x)= -lnx在区间(1,2)内有一个零点x0,若用二分法求x0的近似值(精确度0.2),则最多需要将区间等分的次数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】 由用二分法求函数零点近似值的步骤可知分一次f >0,区间长度 =0.5>0.2,分二次,f >0,区间长度 =0.25>0.2, 分三次f <0,区间长度 = <0.2, 所以最多分三次可以使x0的近似值达到精确度0.2. 【答案】 A 用二分法求方程的近似解 用二分法求方程2x3+3x-3=0的一个正实数近似解(精确度0.1). 【思路探究】 构造函数f(x)=2x3+3x-3→确定初始区间(a,b)→二分法求方程的近似解→验证|a-b|<0.1是否成立→下结论 【自主解答】 令f(x)=2x3+3x-3,经计算,f(0)=-3<0,f (1)=2>0,f(0)·f (1)<0, 所以函数f(x)在(0,1)内存在零点,即方程2x3+3x=3在(0,1)内有解. 取(0,1)的中点0.5,经计算f(0.5)<0,又f (1)>0, 所以方程2x3+3x-3=0在(0.5,1)内有解. 如此继续下去,得到方程的正实数根所在的区间,如表: (a,b) 中点c f(a) f(b) f( ) (0,1) 0.5 f(0)<0 f (1)>0 f(0.5)<0 (0.5,1) 0.75 f(0.5)<0 f (1)>0 f(0.75)>0 (0.5,0.75) 0.625 f(0.5)<0 f(0.75)>0 f(0.625)<0 (0.625,0.75) 0.6875 f(0.625)<0 f(0.75)>0 f(0.6875)<0 由于|0.6875-0.75|=0.0625<0.1, 所以方程2x3+3x-3=0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.6875. 根据函数的零点与相应方程的解的关系,求函数的零点与求相应方程的解是等价的.求方程f(x)=0的近似解,即按照用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤求解. 用二分法求2x+x=4在[1,2]内的近似解(精确度为0.2).参考数据: x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875 2x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67 【解】 令f(x)=2x+x-4,则f (1)=2+1-4<0,f (2)=22+2-4>0. 区间 区间中点值xn f(xn)的值及符号 (1,2) x1=1.5 f(x1)=0.33>0 (1,1.5) x2=1.25 f(x2)=-0.37<0 (1.25,1.5) x3=1.375 f(x3)=-0.035<0 (1.375,1.5) ∵|1.375-1.5|=0.125<0.2,∴2x+x=4在(1,2)内的近似解可取为1.375. 巧用二分法求根式的近似值 (12分)求 的近似值(精确到0.01). 【思路点拨】 → → 【规范解答】 设x= ,则x3-2=0,令f(x)=x3-2,则函数f(x)的零点的近似值就是 的近似值.2分 以下用二分法求其零点的近似值.由于f (1)=-1<0,f (2)=6>0,故可以取区间[1,2]为计算的初始区间.4分 用二分法逐步计算,列表如下: 区间 中点 中点函数值 [1,2] 1.5 1.375 [1,1.5] 1.25 -0.0469 [1.25,1.5] 1.375 0.5996 [1.25,1.375] 1.3125 0.2610 [1.25,1.3125] 1.28125 0.1033 [1.25,1.28125] 1.265625 0.0273 [1.25,1.265625] 1.25781 -0.01 [1.25781,1.265625] 由于区间[1.25781,1.265625]的长度1.265625-1.25781=0.007815<0.01,所以这个区间的中点1.26可以作为函数f(x)零点的近似值,即 的近似值是1.26.12分 1.求根式的近似值,实质上就是将根式转化为方程的无理根,利用函数零点的性质,通过二分法求解. 2.二分法思想实质上是一种逼近思想,所求值与近似值间的差异程度取决于精确度ε. 1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,直至找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点. 2.并非所有函数都可以用二分法求其零点,只有满足: (1)在区间[a,b]上连续不断; (2)f(a)·f(b)<0. 上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值. 1.已知函数f(x)的图象如图3-1-1,其中零点的个数及可以用二分法求解的个数分别为( ) 图3-1-1 A.4,4 B.3,4 C.5,4D.4,3 【解析】 由图象知函数f(x)与x轴有4个交点,因此零点个数为4,从左往右数第4个交点两侧不满足f(a)·f(b)<0,因此不能用二分法求零点,而其余3个均可使用二分法求零点. 【答案】 D 2.用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间为( ) A.[-2,1]B.[-1,0] C.[0,1]D.[1,2] 【解析】 由f(-2)·f (1)<0知初始区间可以取[-2,1]. 【答案】 A 3.用二分法求函数y=f(x)在区间[2,4]上零点的近似解,经验证有f (2)·f(4)<0.取区间的中点x1= =3,计算得f (2)·f(x1)<0,则此时零点x0∈________(填区间). 【解析】 ∵x1=3,且f (2)·f(3)<0,∴x0∈(2,3). 【答案】 (2,3) 4.求方程x2=2x+1的一个近似解(精确度为0.1). 【解】 设f(x)=x2-2x-1,因为f (2)=-1<0,f(3)=2>0,所以可以确定区间(2,3)作为计算的初始区间.用二分法逐步计算,列表如下: 端点(中点) 端点或中点的 函数值的符号 取值区间 f (2)<0,f(3)>0 (2,3) x1= =2.5 f(2.5)>0 (2,2.5) x2= =2.25 f(2.25)<0 (2.25,2.5) x3= =2.375 f(2.375)<0 (2.375,2.5) x4= =2.4375 f(2.4375)>0 (2.375,2.4375) 由上表的计算可知,|2.375-2.4375|=0.0625<0.1.因此方程x2=2x+1的一个近似解为2.4375. 一、选择题 1.以下每个图象表示的函数都有零点,但不能用二分法求函数零点的是( ) 【解析】 根据二分法的思想,函数f(x)在区间[a,b]上的图象连续不断,且f(a)·f(b)<0,即函数的零点是变号零点,才能将区间[a,b]一分为二,逐步得到零点的近似值,对各图象分析可知,A,B,D都符合条件,而选项C不符合,因为图象经过零点时函数值不变号,因此不能用二分法求函数零点. 【答案】 C 2.为了求函数f(x)=2x-x2的一个零点,某同学利用计算器,得到自变量x和函数值f(x)的部分对应值[f(x)的值精确到0.01]如下表所示: x 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 f(x) 1.16 1.00 0.68 0.24 -0.25 -0.70 -1.00 则函数f(x)的一个零点所在的区间是( ) A.(0.6,1.0)B.(1.4,1.8) C.(1.8,2.2)D.(2.6,3.0) 【解析】 ∵f(1.8)·f(2.2)=0.24×(-0.25)<0,∴零点在区间(1.8,2.2)上.故选C. 【答案】 C 3.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时,第一次经计算得f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点x0∈________,第二次应计算________.以上横线上应填的内容分别为( ) A.(0,0.5),f(0.25)B.(0,1),f(0.25) C.(0.5,1),f(0.25)D.(0,0.5),f(0.125) 【解析】 ∵f(0)<0,f(0.5)>0,∴f(0)·f(0.5)<0,故f(x)的一个零点x0∈(0,0.5),利用二分法,则第二次应计算f =f(0.25). 【答案】 A 4.下面关于二分法的叙述,正确的是( ) A.用二分法可求所有函数零点的近似值 B.用二分法求方程的近似解时,可以精确到小数点后的任一位 C.二分法无规律可循 D.只有在求函数零点时才用二分法 【解析】 A不正确,二分法只能求变号零点的近似值. B正确,因为二分法的近似解取决于精确度ε. C不正确,二分法每次均是取(a,b)的中点,并验证|a-b|<ε是否成立,故二分法有规律可循. D不正确,二分法思想应用广泛,可以应用于生产实际中. 【答案】 B 5.(2014·合肥高一检测)函数f(x)=2x+m的零点落在(-1,0)内,则m的取值范围为( ) A.(-2,0)B.(0,2) C.[-2,0]D.[0,2] 【解析】 由题意f(-1)·f(0)=(m-2)m<0∴0 【答案】 B 二、填空题 6.用二分法求方程lnx-2+x=0在区间[1,2]上零点的近似值,先取区间中点c= ,则下一个含根的区间是________. 【解析】 令f(x)=lnx-2+x,∵f (1)=-1<0,f (2)=ln2>0,f =ln - >0,∴下一个含根的区间是 . 【答案】 7.在用二分法求方程f(x)=0在[0,1]上的近似解时,经计算f(0.625)<0,f(0.75)>0,f(0.6875)<0,则可得出方程的一个近似解为________(精确度为0.1). 【解析】 因为|0.75-0.6875|=0.0625<0.1, 所以[0.75,0.6875]内的任意一个值都可作为方程的近似解. 【答案】 0.75(答案不唯一) 8.(2014·广州高一检测)一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(如图所示),如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致,要想检验出哪一处的焊口脱落,则至多需要检测______次. 图3-1-2 【解析】 第1次取中点把焊点数减半为 =32(个),第2次取中点把焊点数减半为 =16(个),第3次取中点把焊点数减半为 =8(个),第4次取中点把焊点数减半为 =4(个),第5次取中点把焊点数减半为 =2(个),第6次取中点把焊点数减半为 =1(个),所以至多需要检测的次数是6. 【答案】 6 三、解答题 9.用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个近似零点,其参考数据如下: f(1.6000) =0.200 f(1.5875) =0.133 f(1.5750) =0.067 f(1.5625) =0.003 f(1.5562) =-0.029 f(1.5500) =-0.060 根据此数据,求方程3x-x-4=0的一个近似解(精解度0.01). 【解】 因为f(1.5625)·f(1.5562)<0,所以函数的零点在区间(1.5562,15625)内, 因为|1.5625-1.5562|=0.0063<0.01, 所以方程3x-x-4=0的一个近似解可取为1.5625. 10.画出函数f(x)=x2-x-1的图象,并利用二分法说明方程x2-x-1=0在[0,2]内的根的情况. 【解】 图象如图所示, 因为f(0)=-1<0,f (2)=1>0,所以方程x2-x-1=0在(0,2)内有根x0;取(0,2)的中点1,因为f (1)=-1<0,所以f (1)·f (2)<0,根x0在区间(1,2)内;再取(1,2)的中点1.5,f(1.5)=-0.25<0,所以f(1.5)·f (2)<0,根x0在区间(1.5,2)内;取(1.5,2)的中点1.75,f(1.75)=0.3125>0,所以f(1.5)·f(1.75)<0,根x0在区间(1.5,1.75)内.这样继续下去,可以得到满足一定精确度的方程的近似根. 11.在26个钢珠中,混入了一个外表和它们完全相同的铜珠(铜珠稍重),现只有一台天平,你能否设计一个方案,称最少的次数把铜珠找出来. 【解】 把26个钢珠等分成两份,放在天平里,铜珠一定在较重的13个中,把这13个钢珠随便拿出一个,再将剩下的12个等分成两份,放在天平上,若质量相等,则拿出的那个就是铜珠;否则,在质量较重的6个中,再等分为两份放在天平上,铜珠还是在稍重的3个中,再拿出一个,其余的两个放在天平上,若天平平衡,则拿出的一个便是铜珠,否则天平上稍重的那个便是,因而最少称4次便可把铜珠找出来.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 312 二分法 方程 近似 教案 必修