初中数学初中数学中考八大题型典中典专题复习8份通用3.docx
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初中数学初中数学中考八大题型典中典专题复习8份通用3
【初中数学】初中数学2016年中考八大题型典中典专题复习(8份)-通用3
专题复习
(二)——规律猜想问题
题型概述
给出一列数字、等式或者一组图形,通过观察、分析、猜想、探索归纳其规律的一类题目就是规律与猜想的探究性试题,这类问题要求大家都有较为敏锐的观察思考、分析、推理、演绎、归纳能力,从具体、特殊的事实中探究其存在的规律,把潜在的表面现象中的本质挖掘出来,是一种发现、创新。
题型例析
类型1:
数字规律
数字变化类的问题,一般在解答时先从数阵前面简单的情形入手,通过观察同一行、同一列的数据排列关系,同时注意这个数据艘所在行数序号之间有何深层次的变化规律,发现这个规律问题就等于解决了。
【例题】(2015•山东泰安,第18题3分)下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的:
根据此规律确定x的值为( )
【变式练习】
(1)(2015湖北荆州第10题3分)把所有正奇数从小到大排列,并按如下规律分组:
(1),(3,5,7),(9,11,13,15,17),(19,21,23,25,27,29,31),…,现有等式Am=(i,j)表示正奇数m是第i组第j个数(从左往右数),如A7=(2,3),则A2015=( )
A.(31,50)B.(32,47)C.(33,46)D.(34,42)
考点:
规律型:
数字的变化类.
分析:
先计算出2015是第1008个数,然后判断第1008个数在第几组,再判断是这一组的第几个数即可.
解答:
解:
2015是第
=1008个数,
设2015在第n组,则1+3+5+7+…+(2n﹣1)≥1008,
即
≥1008,
解得:
n≥
,
当n=31时,1+3+5+7+…+61=961;
当n=32时,1+3+5+7+…+63=1024;
故第1008个数在第32组,
第1024个数为:
2×1024﹣1=2047,
第32组的第一个数为:
2×962﹣1=1923,
则2015是(
+1)=47个数.
故A2015=(32,47).
故选B.
点评:
此题考查数字的变化规律,找出数字之间的运算规律,利用规律解决问题.
(2)(2015•甘肃武威,第18题3分)古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,…叫做三角形数,其中1是第一个三角形数,3是第2个三角形数,6是第3个三角形数,…依此类推,那么第9个三角形数是,2016是第个三角形数.
考点:
数字的变化类.
专题:
规律型:
分析:
根据所给的数据发现:
第n个三角形数是1+2+3+…+n,由此代入分别求得答案即可.
解答:
第9个三角形数是1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,
1+2+3+4+…+n=2016,
n(n+1)=4032,
解得:
n=63.
故答案为:
45,63.
点评:
此题考查数字的变化规律,找出数字之间的运算规律,利用规律解决问题.
类型2:
图形规律
对于图形的问题,要注意仔细观察,找到图形之间能够相互循环的关键点,然后把每一个循环组看作一个整体再来研究就可以了。
【例题】(2015•山东威海,第12题3分)如图,正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2,正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切,正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切,…按这样的规律进行下去,A10B10C10D10E10F10的边长为( )
A.
B.
C.
D.
考点:
正多边形和圆..
专题:
规律型.
分析:
连结OE1,OD1,OD2,如图,根据正六边形的性质得∠E1OD1=60°,则△E1OD1为等边三角形,再根据切线的性质得OD2⊥E1D1,于是可得OD2=
E1D1=
×2,利用正六边形的边长等于它的半径得到正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=
×2,同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=(
)2×2,依此规律可得正六边形A10B10C10D10E10F10的边长=(
)9×2,然后化简即可.
解答:
连结OE1,OD1,OD2,如图,
∵六边形A1B1C1D1E1F1为正六边形,
∴∠E1OD1=60°,
∴△E1OD1为等边三角形,
∵正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切,
∴OD2⊥E1D1,
∴OD2=
E1D1=
×2,
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=
×2,
同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=(
)2×2,
则正六边形A10B10C10D10E10F10的边长=(
)9×2=
.
故选D.
点评:
本题考查了正多边形与圆的关系:
把一个圆分成n(n是大于2的自然数)等份,依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形,这个圆叫做这个正多边形的外接圆.记住正六边形的边长等于它的半径.
【变式练习】
(1)(2015湖南邵阳第10题3分)如图,在矩形ABCD中,已知AB=4,BC=3,矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置,再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置,…,以此类推,这样连续旋转2015次后,顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是( )
A.2015πB.3019.5πC.3018πD.3024π
考点:
旋转的性质;弧长的计算.
专题:
规律型.
分析:
首先求得每一次转动的路线的长,发现每4次循环,找到规律然后计算即可.
解答:
转动一次A的路线长是:
,
转动第二次的路线长是:
,
转动第三次的路线长是:
,
转动第四次的路线长是:
0,
转动五次A的路线长是:
,
以此类推,每四次循环,
故顶点A转动四次经过的路线长为:
+2π=6π,
2015÷4=503余3
顶点A转动四次经过的路线长为:
6π×504=3024π.
故选:
D.
点评:
本题主要考查了探索规律问题和弧长公式的运用,发现规律是解决问题的关键.
(2)(2015•四川省内江市,第16题,5分)如图是由火柴棒搭成的几何图案,则第n个图案中有 根火柴棒.(用含n的代数式表示)
考点:
规律型:
图形的变化类.
专题:
压轴题.
分析:
本题可分别写出n=1,2,3,…,所对应的火柴棒的根数.然后进行归纳即可得出最终答案.
解答:
依题意得:
n=1,根数为:
4=2×1×(1+1);
n=2,根数为:
12=2×2×(2+1);
n=3,根数为:
24=2×3×(3+1);
…
n=n时,根数为:
2n(n+1).
点评:
本题是一道找规律的题目,这类题型在中考中经常出现.对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的.
跟踪检测:
1.(2015·南宁,第18题3分)如图9,在数轴上,点A表示1,现将点A沿
轴做如下移动,第一次点A向左移动3个单位长度到达点A1,第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2,第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3,按照这种移动规律移动下去,第
次移动到点AN,如果点AN与原点的距离不小于20,那么
的最小值是.
2..(2015·贵州六盘水,第17题4分)在正方形A1B1C1O和A2B2C2C1,按如图9所示方式放置,在直线
上,点C1,C2在x轴上,已知A1点的坐标是(0,1),则点B2的坐标为.
3.(2015·湖南省益阳市,第13题5分)如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成 1 的一组图案,第1个图案中有6根小棒,第2个图案中有11根小棒,…,则第n个图案中有 根小棒.
4.(2015•江苏徐州,第17题3分)如图,正方形ABCD的边长为1,以对角线AC为边作第二个正方形,再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH,如此下去,第n个正方形的边长为 .
5.(2015•山东聊城,第17题3分)如图,△ABC的三个顶点和它内部的点P1,把△ABC分成3个互不重叠的小三角形;△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2,把△ABC分成5个互不重叠的小三角形;△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2、P3,把△ABC分成7个互不重叠的小三角形;…△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2、P3、…、Pn,把△ABC分成 个互不重叠的小三角形.
6.(2015•四川甘孜、阿坝,第25题4分)如图,正方形A1A2A3A4,A5A6A7A8,A9A10A11A12,…,(每个正方形从第三象限的顶点开始,按顺时针方向顺序,依次记为A1,A2,A3,A4;A5,A6,A7,A8;A9,A10,A11,A12;…)的中心均在坐标原点O,各边均与x轴或y轴平行,若它们的边长依次是2,4,6…,则顶点A20的坐标为 .
7.(2015·山东潍坊第17题3分)如图,正△ABC的边长为2,以BC边上的高AB1为边作正△AB1C1,△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1;再以正△AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正△AB2C2,△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2;…,以此类推,则Sn= .(用含n的式子表示)
跟踪检测参考答案
1.(2015·南宁,第18题3分)如图9,在数轴上,点A表示1,现将点A沿
轴做如下移动,第一次点A向左移动3个单位长度到达点A1,第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2,第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3,按照这种移动规律移动下去,第
次移动到点AN,如果点AN与原点的距离不小于20,那么
的最小值是.
考点:
规律型:
图形的变化类;数轴..
分析:
序号为奇数的点在点A的左边,各点所表示的数依次减少3,序号为偶数的点在点A的右侧,各点所表示的数依次增加3,于是可得到A13表示的数为﹣17﹣3=﹣20,A12表示的数为16+3=19,则可判断点An与原点的距离不小于20时,n的最小值是13.
解答:
解:
第一次点A向左移动3个单位长度至点A1,则A1表示的数,1﹣3=﹣2﹣2;
第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2,则A2表示的数为﹣2+6=4;
第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3,则A3表示的数为4﹣9=﹣5;[中国#教~&@育%出版网]
第4次从点A3向右移动12个单位长度至点A4,则A4表示的数为﹣5+12=7;
第5次从点A4向左移动15个单位长度至点A5,则A5表示的数为7﹣15=﹣8;
…;
则A7表示的数为﹣8﹣3=﹣11,A9表示的数为﹣11﹣3=﹣14,A11表示的数为﹣14﹣3=﹣17,A13表示的数为﹣17﹣3=﹣20,
A6表示的数为7+3=10,A8表示的数为10+3=13,A10表示的数为13+3=16,A12表示的数为16+3=19,
所以点An与原点的距离不小于20,那么n的最小值是13.
故答案为:
13.
点评:
本题考查了规律型,认真观察、仔细思考,找出点表示的数的变化规律是解决本题的关键.
2..(2015·贵州六盘水,第17题4分)在正方形A1B1C1O和A2B2C2C1,按如图9所示方式放置,在直线
上,点C1,C2在x轴上,已知A1点的坐标是(0,1),则点B2的坐标为.
考点:
一次函数图象上点的坐标特征;正方形的性质..
专题:
规律型.
分析:
根据直线解析式先求出OA1=1,求得第一个正方形的边长,再求出第二个正方形的边长为2,即可求得B2的坐标.
解答:
解:
∵直线y=x+1,当x=0时,y=1,当y=0时,x=﹣1,
∴OA1=1,OD=1,
∴∠ODA1=45°,
∴∠A2A1B1=45°,
∴A2B1=A1B1=1,
∴A2C1=C1C2=2,
∴OC2=OC1+C1C2=1+2=3,
∴B2(3,2).
故答案为(3,2).
点评:
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质;求出第一个正方形、第二个正方形的边长是解决问题的关键.
3.(2015·湖南省益阳市,第13题5分)如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成 1 的一组图案,第1个图案中有6根小棒,第2个图案中有11根小棒,…,则第n个图案中有 5n+1 根小棒.
A.B.C.D.
考点:
图形的变化类.
专题:
规律型
分析:
由图可知:
第1个图案中有5+1=6根小棒,第2个图案中有2×5+2﹣1=11根小棒,第3个图案中有3×5+3﹣2=16根小棒,…由此得出第n个图案中有5n+n﹣(n﹣1)=5n+1根小棒.
解答:
∵第1个图案中有5+1=6根小棒,
第2个图案中有2×5+2﹣1=11根小棒,
第3个图案中有3×5+3﹣2=16根小棒,
…
∴第n个图案中有5n+n﹣(n﹣1)=5n+1根小棒.
故答案为:
5n+1.
点评:
此题考查图形的变化规律,找出图形之间的联系,得出数字之间的运算规律,利用规律解决问题.
4.(2015•江苏徐州,第17题3分)如图,正方形ABCD的边长为1,以对角线AC为边作第二个正方形,再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH,如此下去,第n个正方形的边长为 (
)n﹣1 .
考点:
正方形的性质.
专题:
规律型.
分析:
首先求出AC、AE、HE的长度,然后猜测命题中隐含的数学规律,即可解决问题.
解答:
∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=BC=1,∠B=90°,
∴AC2=12+12,AC=
;
同理可求:
AE=(
)2,HE=(
)3…,
∴第n个正方形的边长an=(
)n﹣1.
故答案为(
)n﹣1.
点评:
该题主要考查了正方形的性质、勾股定理及其应用问题;应牢固掌握正方形有关定理并能灵活运用.
5.(2015•山东聊城,第17题3分)如图,△ABC的三个顶点和它内部的点P1,把△ABC分成3个互不重叠的小三角形;△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2,把△ABC分成5个互不重叠的小三角形;△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2、P3,把△ABC分成7个互不重叠的小三角形;…△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2、P3、…、Pn,把△ABC分成 个互不重叠的小三角形.
考点:
图形的变化类..
专题:
规律型
分析:
利用图形得到,△ABC的三个顶点和它内部的点P1,把△ABC分成互不重叠的小三角形的个数=3+2×0;△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2,把△ABC分成互不重叠的小三角形的个数=3+2×1;△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2、P3,把△ABC分成互不重叠的小三角形的个数=3+2×2,即分成的互不重叠的小三角形的个数为3加上P点的个数与1的差的2倍,从而得到△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2、P3、…、Pn,把△ABC分成的互不重叠的小三角形的个数.
解答:
如图,△ABC的三个顶点和它内部的点P1,把△ABC分成的互不重叠的小三角形的个数=3+2×0,
△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2,把△ABC分成的互不重叠的小三角形的个数=3+2×1,
△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2、P3,把△ABC分成的互不重叠的小三角形的个数=3+2×2,
所以△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2、P3、…、Pn,把△ABC分成的互不重叠的小三角形的个数=3+2(n﹣1).
故答案为3+2(n﹣1).
点评:
本题考查了规律型:
图形的变化类:
对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的,然后通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解.
6.(2015•四川甘孜、阿坝,第25题4分)如图,正方形A1A2A3A4,A5A6A7A8,A9A10A11A12,…,(每个正方形从第三象限的顶点开始,按顺时针方向顺序,依次记为A1,A2,A3,A4;A5,A6,A7,A8;A9,A10,A11,A12;…)的中心均在坐标原点O,各边均与x轴或y轴平行,若它们的边长依次是2,4,6…,则顶点A20的坐标为 .
考点:
点的坐标.
专题:
规律型
分析:
由
=5易得A20在第二象限,根据A4的坐标,A8的坐标,A12的坐标不难推出A20的坐标.
解答:
∵
=5,
∴A20在第二象限,
∵A4所在正方形的边长为2,
A4的坐标为(1,﹣1),
同理可得:
A8的坐标为(2,﹣2),A12的坐标为(3,﹣3),
∴A20的坐标为(5,﹣5),
故答案为:
(5,﹣5).
点评:
本题考查坐标与图形的性质,解题关键是首先找出A20所在的象限.
7.(2015·山东潍坊第17题3分)如图,正△ABC的边长为2,以BC边上的高AB1为边作正△AB1C1,△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1;再以正△AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正△AB2C2,△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2;…,以此类推,则Sn= .(用含n的式子表示)
考点:
等边三角形的性质.
专题:
规律型.
分析:
由AB1为边长为2的等边三角形ABC的高,利用三线合一得到B1为BC的中点,求出BB1的长,利用勾股定理求出AB1的长,进而求出S1,同理求出S2,依此类推,得到Sn.
解答:
∵等边三角形ABC的边长为2,AB1⊥BC,
∴BB1=1,AB=2,
根据勾股定理得:
AB1=
,
∴S1=×
×(
)2=
(
)1;
∵等边三角形AB1C1的边长为
,AB2⊥B1C1,
∴B1B2=
,AB1=
,
根据勾股定理得:
AB2=
,
∴S2=
×
×(
)2=
(
)2;
依此类推,Sn=
(
)n.
故答案为:
(
)n.
点评:
此题考查了等边三角形的性质,属于规律型试题,熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键.
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