专题05 平面解析几何高考文科数学备考复习资料.docx
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专题05平面解析几何高考文科数学备考复习资料
1.设,则“”是“直线平行”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由直线平行,得得或,则“”是“直线平行”的充分不必要条件,故选A.
由两直线平行或垂直求参数的值:
在解这类问题时,一定要“前思后想”.“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性,是否需要分情况讨论;“后想”就是在解题后,检验答案的正确性,看是否出现增解或漏解.
2.直线与圆相交于点,点是坐标原点,若是正三角形,则实数的值为
A.1B.−1
C.D.
【答案】C
【解析】由题意得圆的半径;圆心到直线的距离;因为是正三角形,所以,即,解得.故选C.
3.已知椭圆的焦距为,且,圆与轴交于点为椭圆上的动点,,面积最大值为.
(1)求圆与椭圆的方程;
(2)设圆的切线交椭圆于点,求的取值范围.
【解析】
(1)因为,所以.①
因为,所以点为椭圆的焦点,所以,.
设,则,所以,
当时,,②
由①,②解得,所以,,
所以圆的方程为,椭圆的方程为.
(2)①当直线的斜率不存在时,不妨取直线的方程为,点A在x轴上方,解得,,.
②当直线的斜率存在时,设直线的方程为,,.
因为直线与圆相切,所以,即,
联立,消去可得,
,,.
.
令,则,所以,,
所以,所以.
综上,的取值范围是.
1.涉及直线被圆截得的弦长问题,一般有两种求解方法:
一是利用半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形,结合勾股定理
求解;二是若斜率为k的直线l与圆C交于
两点,则
.
2.求两圆公共弦长一般有两种方法:
一是联立两圆的方程求出交点坐标,再利用两点间的距离公式求解;二是求出两圆公共弦所在直线的方程,转化为直线被圆截得的弦长问题.
4.已知是椭圆的左、右焦点,点在椭圆上,线段与圆相切于点,且点为线段的中点,则(其中为椭圆的离心率)的最小值为
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】如图,连接在中,分别为的中点,
则
,又,
由椭圆定义可得,
又是圆的切线,,,
在中,由,得,则,,
(当且仅当
时取等号).
故选C.
5.已知动点满足:
.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)设是轨迹上的两个动点,线段的中点在直线上,线段的中垂线与交于两点,是否存在点,使以为直径的圆经过点,若存在,求出点坐标,若不存在,请说明理由.
【解析】
(1)由于动点满足:
,所以动点的轨迹的方程为.
(2)记
的坐标为
当直线垂直于轴时,直线方程为,
此时,不合题意;
当直线不垂直于轴时,设存在点,直线的斜率为,
设,
由得:
则,
故,此时,直线斜率为的直线方程为,
即.
联立消去,整理得:
设
,
所以,
由题意,得,于是
==,
因为在椭圆内,符合条件;
综上:
存在两点符合条件,坐标为或.
椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种方法:
(1)求出a,c,代入公式
.
(2)只需要根据一个条件得到关于
的齐次式,结合
转化为a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).
6.双曲线的渐近线方程为
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】由双曲线的方程可得,所以是双曲线的渐近线方程.
7.已知是双曲线的左,右焦点,以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点,与双曲线交于点,且均在第一象限,当直线时,双曲线的离心率为,若函数,则
A.1B.
C.2D.
【答案】C
【解析】易知双曲线的渐近线方程为与圆x2+y2=c2联立,解得M(a,b),圆x2+y2=c2与双曲线方程联立,解得,即为N(),时,既有,即,所以,即,故选C.
求双曲线的离心率一般有两种方法
(1)由条件寻找
满足的等式或不等式,一般利用双曲线中
的关系
将双曲线的离心率公式变形,即
,注意区分双曲线中
的关系与椭圆中
的关系,在椭圆中
,而在双曲线中
.
(2)根据条件列含
的齐次方程,利用双曲线的离心率公式
转化为含
或
的方程,求解可得,注意根据双曲线离心率的范围
对解进行取舍.
8.已知抛物线,过点作抛物线的两条切线为切点,若直线经过抛物线的焦点,
CAB的面积为24,则以直线AB为准线的抛物线标准方程是
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】由抛物线的对称性得与抛物线的对称轴垂直,不妨设,则,解得,则以直线为准线的抛物线标准方程是,故选D.
9.抛物线:
上的点到其焦点的距离是.
(1)求的方程.
(2)过点作圆:
的两条切线,分别交于两点,若直线的斜率是,求实数的值.
【解析】
(1)由于抛物线的准线是,根据抛物线定义知,.故抛物线的方程是.
(2)设,,则,所以.
因为,所以斜率,同理斜率,
所以.
可设经过点的圆切线方程是,即,
则,得,
故.
因此,.
用待定系数法求抛物线标准方程的步骤:
若无法确定抛物线的位置,则需分类讨论.特别地,已知抛物线上一点的坐标,一般有两种标准方程.
1.若曲线在与处的切线互相垂直,则正数的值为 .
【答案】
【解析】,则;由题意得,即,解得.
两条直线的位置关系
斜截式
一般式
与
相交
与
垂直
与
平行
且
或
与
重合
且
2.已知圆C:
(x-3)2+(y-4)2=4,直线l1过定点A(1,0).
(1)若l1与圆相切,求l1的方程;
(2)若l1与圆相交于P、Q两点,线段PQ的中点为M,又l1与l2:
x+2y+2=0的交点为N,判断|AM|·|AN|是否为定值?
若是,则求出定值;若不是,请说明理由.
【解析】
(1)①若直线l1的斜率不存在,即直线是x=1,符合题意.
②若直线l1斜率存在,设直线l1为y=k(x-1),即kx-y-k=0.
由题意知,圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径2,即=2,解得k=.
∴所求直线方程是x=1或3x-4y-3=0.
(2)(解法1)直线l1与圆相交,斜率必定存在,且不为0,可设直线l1的方程为
由得N.又直线CM与l1垂直,
由得M.
∴
·
=
为定值.
故|AM|·|AN|是定值,且为6.
(解法2)直线l1与圆相交,斜率必定存在,且不为0,可设直线l1方程为kx-y-k=0.
由得N.再由
得
.
∴x1+x2=,得M.
以下同解法1.
(解法3)用几何法
连接CA并延长交l2于点B,kAC=2,
,
∴CB⊥l2.如图所示,
,则,
可得
·=6,是定值.
1.求过圆上的一点
的切线方程:
先求切点与圆心连线的斜率k,若k不存在,则由图形可写出切线方程为
;若
则由图形可写出切线方程为
;若k存在且k≠0,则由垂直关系知切线的斜率为
,由点斜式方程可求切线方程.
2.求过圆外一点
的圆的切线方程:
(1)几何方法
当斜率存在时,设为k,则切线方程为
,即
.由圆心到直线的距离等于半径长,即可得出切线方程.
(2)代数方法
当斜率存在时,设为k,则切线方程为
,即
代入圆的方程,得到一个关于x的一元二次方程,由
求得k,切线方程即可求出.
3.在求过一定点的圆的切线方程时,应首先判断定点与圆的位置关系,若点在圆上,则该点为切点,切线只有一条;若点在圆外,切线有两条;若点在圆内,则切线不存在.
3.如图,已知F1、F2分别为双曲线C:
的左、右焦点,P为第一象限内一点,且满足|F2P|=a,(+)·=0,线段F2P与双曲线C交于点Q,若|F2P|=5|F2Q|,则双曲线C的渐近线方程为
A.y=±
xB.y=±
x
C.y=±
xD.y=±
x
【答案】B
【解析】取线段F2P的中点E,连接F1E,因为(+)·=0,所以F1E⊥F2P,故三角形PF1F2为等腰三角形,且|F1P|=|F1F2|=2c.
在
中,
连接F1Q,又|F2Q|=,点Q在双曲线C上,所以由双曲线的定义可得,|QF1|-|QF2|=2a,
故|QF1|=2a+=.
在
中,由余弦定理得,
整理可得4c2=5a2,所以==-1=,故双曲线C的渐近线方程为y=±
x.故选B.
对于双曲线的渐近线,有下面两种考查方式:
(1)已知双曲线的方程求其渐近线方程;
(2)给出双曲线的渐近线方程求双曲线方程,由渐近线方程可确定a,b的关系,结合已知条件可解.
4.已知椭圆E:
与y轴的正半轴相交于点M,点F1,F2为椭圆的焦点,且
是边长为2的等边三角形,若直线l:
y=kx+2与椭圆E交于不同的两点A,B.
(1)直线MA,MB的斜率之积是否为定值?
若是,请求出该定值,若不是,请说明理由;
(2)求
的面积的最大值.
【解析】
(1)因为
是边长为2的等边三角形,所以2c=2,b=c,a=2,所以a=2,b=,
所以椭圆E:
+=1,点M(0,).
将直线l:
y=kx+2代入椭圆E的方程,整理得(3+4k2)x2+16kx+36=0. (*)
设A(x1,y1),B(x2,y2),则由(*)式可得Δ=(16k)2-4(3+4k2)×36=48(4k2-9)>0,
所以k∈(-∞,-)∪(,+∞),x1+x2=
x1x2=
.
则直线MA,MB的斜率之积为kMA·kMB=
=k2+,
所以直线MA,MB的斜率之积是定值
.
(2)记直线l:
y=kx+2与y轴的交点为N(0,2),
则S△ABM=|S△ANM-S△BNM|=|MN|·|x2-x1|=
当且仅当4k2-9=12,即k=±
∈(-∞,-)∪(,+∞)时等号成立,
所以
的面积的最大值为
.
5.如图,已知抛物线
,点A
,
,抛物线上的点
.过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.
(1)求直线AP斜率的取值范围;
(2)求
的最大值.
【解析】
(1)设直线AP的斜率为k,
,
因为
,所以直线AP斜率的取值范围是
.
(2)联立直线AP与BQ的方程
解得点Q的横坐标是
.
因为|PA|=
=
,
|PQ|=
,
所以
.
令
,
因为
,
所以f(k)在区间
上单调递增,
上单调递减,
因此当k=
时,
取得最大值
.
定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景,常与函数与方程、向量等知识交汇,形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题,根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况,找出定点或定值,再视具体情况进行研究.同时,也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题,如将过焦点的弦特殊化,变成垂直于对称轴的弦来研究等.
1.过点
且倾斜角为的直线
被圆所截得的弦长为
A.B.1
C.D.
2.已知是双曲线C:
的右焦点,是上一点,且与轴垂直,点的坐标是,则
的面积为
A.B.
C.D.
3.已知椭圆的左、右焦点分别为、,过且斜率为的直线交椭圆于、两点,则的内切圆半径为
A.B.
C.D.
4.已知双曲线的焦点在圆上,则双曲线的渐近线方程为
A.B.
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