初等数论教案.docx
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初等数论教案
初等数论教案
一、数论发展史
数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支,其初等部分是以整数的整除性为中心的,包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数(即整数)分布以及数论函数等内容,统称初等数论(ElementaryNumberTheory)。
初等数论的大部分内容早在古希腊欧几里德的《几何原本》中就已出现。
欧几里得证明了素数有无穷多个,他还给出求两个自然数的最大公约数的方法,即所谓欧几里得算法。
我国古代在数论方面亦有杰出之贡献,现在一般数论书中的“中国剩余定理”正是我国古代《孙子算经》中的下卷第26题,我国称之为“孙子定理”。
近代初等数论的发展得益于费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等人的工作。
1801年,高斯的《算术探究》是数论的划时代杰作。
“数学是科学之王,数论是数学之王”。
-----高斯
由于自20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧妙工具,数论得到进一步的发展,从而开阔了新的研究领域,出现了代数数论、解析数论、几何数论等新分支。
而且近年来初等数论在计算器科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域内更得到了广泛的应用,无疑同时间促进着数论的发展。
二几个著名数论难题
初等数论是研究整数性质的一门学科,历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂,容易引起人的兴趣,但是解决它们却非常困难。
其中,非常著名的问题有:
哥德巴赫猜想;费尔马大定理;孪生素数问题;完全数问题等。
1、哥德巴赫猜想:
1742年,由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先发现的。
1742年6月7日,哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉,正式提出了以下的猜想:
一个大于6的偶数可以表示为不同的两个质数之和。
陈景润在1966年证明了“哥德巴赫猜想”的“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”〔所谓的1+2〕,是筛法的光辉顶点,至今仍是“哥德巴赫猜想”的最好结果。
2、xx大定理:
费马是十七世纪最卓越的数学家之一,他在数学许多领域中都有极大的贡献,因为他的本行是专业的律师,世人冠以“业余王子”之美称。
在三百七十多年前的某一天,费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥芬多斯的数学书时,突然心血来潮在书页的空白处,写下一个看起来很简单的定理。
nnn
经过8年的努力,英国数学家安德鲁·怀尔斯终于在1995年完成了该定理的证明。
3、孪生素数问题
存在无穷多个素数p,使得p+2也是素数。
究竟谁最早明确提出这一猜想已无法考证,但是1849年法国数学AlphonsedePolignac提出猜想:
对于任何偶数2k,存在无穷多组以2k为间隔的素数。
对于k=1,这就是孪生素数猜想,因此人们有时把AlphonsedePolignac作为孪生素数猜想的提出者。
不同的k对应的素数对的命名也很有趣,k=1我们已经知道叫做孪生素数;k=2(即间隔为4)的素数对被称为cousinprime;而k=3(即间隔为6)的素数对竟然被称为sexyprime(不过别想方程x+y=z(n³3)无非0整数解歪了,之所以称为sexyprime其实是因为sex正好是拉丁文中的6。
)
4、最完美的数——完全数问题
完美数又称为完全数,最初是由毕达哥拉斯的信徒发现的,他们注意到,数6有一个特性,它等于它自己的因子(不包括它自身)的和,如:
6=1+2+
3.下一个具有同样性质的数是28,28=1+2+4+7+
14.接着是496和
8128.他们称这类数为完美数.
欧几里德在大约公元前350-300年间证明了:
若2n-1是素数,则2n-1(2n-1)是完全数
注意以上谈到的完全数都是偶完全数,至今仍然不知道有没有奇完全数。
三、我国古代数学的伟大成就
1、xx髀算经
公元前100多年,汉朝人撰,是一部既谈天体又谈数学的天文历算著作,主要讨论盖天说,提出了著名的“勾三股四弦五”这个勾股定理的一个特例。
2、xx算经
约成书于四、五世纪,作者生平和编写年代都不清楚。
现在传本的《孙子算经》共三卷。
卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法则,卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法。
卷下第31题,可谓是后世“鸡兔同笼”题的始祖,后来传到日本,变成“鹤龟算”。
具有xx的是卷下第26题:
今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?
《孙子算经》不但提供了答案,而且还给出了解法。
南宋大数学家秦九韶则进一步开创了对一次同余式理论的研究工作,推广“物不知数”的问题。
德国数学家高斯﹝1777-1855﹞于1801年出版的《算术探究》中明确地写出了上述定理。
1852年,英国基督教士伟烈亚士将《孙子算经》中物不知数问题的解法传到欧洲,1874年马蒂生指出孙子的解法符合高斯的定理,从而在西方的数学史里将这一个定理称为“中国剩余定理”。
3、算数书
1983年在湖北省江陵县张家山,出土了一批西汉初年,即吕后至文帝初年的竹简,共千余支。
经初步整理,其中有律令、《脉书》、《引书》、历谱、日书等多种古代珍贵的文献,还有一部数学著作,据写在一支竹简背面的字迹辨认,这部竹简算书的书名叫《算数书》。
《算数书》是中国现已发现的最古的一部算书,大约比现有传本的《九章算术》还要早近二百年,而且《九章算术》是传世抄本或刊书,《算数书》则是出土的竹筒算书,属于更可珍贵的第一手资料,所以《算数书》引起了国内外学者的广泛关注,目前正在被深入研究之中。
4、数术记遗
《数术记遗》相传是汉末徐岳所作,亦有数学史家认为本书是北周甄鸾自著。
《数术记遗》把大数的名称按不同的涵义排列三个不同的数列,另一部份是关于一个幻方的清楚的说明,它成为数论中这一发现的最古的文字记载之一,书中至少提到了四种算盘,因此它是谈到算盘的最古老的书籍。
5、九章算术
根据研究,西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补和整理,其时大体已成定本。
最后成书最迟在东汉前期。
九章算术将书中的所有数学问题分为九大类,就是“九章”。
三国时期的刘徽为《九章》作注,加上自己心得体会,使其便于了解,可以流传下来。
唐代的李淳风又重新做注(656年),作为《算数十经》之一,版刻印刷,作为通用教材。
《九章算术》的出现,标志着我国古代数学体系的正式确立,当中有以下的一些特点:
1.是一个应用数学体系,全书表述为应用问题集的形式;
2.以算法为主要内容,全书以问、答、术构成,“术”是主要需阐述的内容;
3.以算筹为工具。
《九章算术》取得了多方面的数学成就,包括:
分数运算、比例问题、双设法、一些面积、体积计算、一次方程组解法、负数概念的引入及负数加减法则、开平方、开立方、一般二次方程解法等。
《九章算术》的思想方法对我国古代数学产生了巨大的影响。
自隋唐之际,《九章算术》已传入朝鲜、日本,现在更被译成多种文字。
6、xx算经
《海岛算经》由三国刘徽所着,最初是附于他所注的《九章算术》
(263)之后,唐初开始单行,体例亦是以应用问题集的形式。
全书共9题,全是利用测量来计算高深广远的问题,首题测算海岛的高、远,故得名。
《海岛算经》是中国最早的一部测量数学事着,亦为地图学提供了数学基础。
7、算经十书
唐代国子监内设立算学馆,置博士、助教指导学生学习数学,规定《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《缀术》、《缉古算经》十部算经为课本,用以进行数学教育和考试,后世通称为算经十书.算经十书是中国汉唐千余年间陆续出现的十部数学著作.北宋时期(1084年),曾将一部算经刊刻发行,这是世界上最早的印刷本数学书.(此时《缀术》已经失传,实际刊刻的只有九种)。
8、测圆海镜
《测圆海镜》由中国金、元时期数学家李冶所著,成书于1248年。
全书共有12卷,170问。
这是中国古代论述容圆的一部专箸,也是天元术的代表作。
《测圆海镜》所讨论的问题大都是已知勾股形而求其内切圆、旁切圆等的直径一类的问题。
在《测圆海镜》问世之前,我国虽有文字代表未知数用以列方程和多项式的工作,但是没有留下很有系统的记载。
李冶在《测圆海镜》中系统而概栝地总结了天元术,使文词代数开始演变成符号代数。
所谓天元术,就是设“天元一”为未知数,根据问题的已知条件,列出两个相等的多项式,经相减后得出一个高次方式程,称为天元开方式,这与现代设x为未知数列方程一样。
欧洲的数学家,到了16世纪以后才完全作到这一点。
数论是以严格和简洁著称,内容既丰富又深刻。
我将会介绍数论中最基本的概念和理论,希望大家能对这门学问产生兴趣,并且对中小学时代学习过的一些基本概念,例如整除性、最大公因子、最小公倍数、辗转相除法等,有较深入的了解。
第一章整数的整除性
第一节整除的概念
•一、基本概念
1、自然数、整数
2、正整数、负整数
3、奇数、偶数
关于奇数和偶数性质:
1.奇数+奇数=偶数;
奇数+偶数=奇数;
偶数+偶数=偶数;
2.两个数之和是奇(偶)数,则这两个数的奇偶性相反(同)。
3.若干个整数之和为奇数,则这些数中必有奇数,且奇数的个数为奇数个;若干个整数之和为偶数,则这些数中若有奇数,奇数的个数必为偶数个。
关于奇数和偶数性质:
4.奇数×奇数=奇数;奇数×偶数=偶数;
偶数×偶数=偶数;
5.若干个整数之积为奇数,则这些数必为奇数;若干个整数之积为偶数,则这些数中至少有一个是偶数。
6.若a是整数,则|a|与a有相同的奇偶性。
7.若a,b是整数,则a+b与a-b奇偶性相同。
例1在1,2,3,L,1998,1999这1999个数的前面任意添加一个正号或负号,问它们的代数和是奇数还是偶数?
例2设n为奇数,
12n是1,2,L,n的任意一个排列,证明(a
1-1)((a
n-n)必是偶数。
a2-2)L
例3将正方形ABCD分割成n2个相等的小方格(n是正整数),把相对的顶点A,C染成红色,B,D染成蓝色,其他交点任意染成红蓝两色中的一种颜色,证明:
恰有三个顶点同颜色的小方格的数目必是偶数。
例4设正整数d不等于2,5,13,证明集合d}
中可以找到两个数a,b,使得{
2,5,
13.
ab-1不是完全平方数。
a,a,L,a•一个性质:
整数+整数=整数
整数-整数=整数
整数*整数=整数
二、整除•1、定义:
设a,b是整数,b≠0。
如果存在一个整数q使得等式:
a=bq
成立,则称b能整除a或a能被b整除,记b∣a;
如果这样的q不存在,则称b不能整除a,记为ba。
注:
显然每个非零整数a都有约数±1,±a,称这四个数为a的平凡约数,a的另外的约数称为非平凡约数。
素数:
定义设整数n≠0,±
1.如果除了显然因数±1,±n以外,n没有其他因数,那么,n叫做素数(或质数或不可约数),否则,n叫做合数.
规定:
若没有特殊说明,素数总是指正整数,通常写成p或p1,p2,„,pn.例整数2,3,5,7都是素数,而整数4,6,8,10,21都是合数.
2、整除的性质
设a,b,c是整数
(1)a∣a
(2)如果a∣b,b∣c,则a∣c
(4)如果a∣c,则对任何整数b,a∣bc.
(5)若(a,b)=1,且a∣bc,则a∣c
(6)若(a,b)=1,且a∣c,b∣c则ab∣c
(7)若(a,b)=1,且ab∣c,则a∣c,b∣c
mnai=bj(8)若在等式
ij=1中,除某一项外,其余各项都能被c整除,则这=1
一项也能被c整除。
常用结论:
(1)设p为素数,若p∣ba,则p∣a或p∣b.
(2)p|a或(p,a)=1.
åå
p½a2Þp½a
例6证明:
121n2++12,nÎZ。
2n
(3)素数判定法则:
设n是一个正整数,如果对所有的素数p≤,都有pn,则n一定是素数.
(4)任何大于1的整数a都至少有一个素约数。
推论任何大于1的合数a必有一个不超过
a的素约数。
10以内的素数是2,3,5,7,用它们除100以内大于10的数,删去所有能被它们整除的数,剩下的(含2,3,5,7在内)就是100以内的所有素数.
最后剩下2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89和
97.这25个数就是100以内的全部素数.
再用这25个素数除1002=100以内大于100的数,删去所有能被它们整除的数,可以得到100以内的所有素数.
重复这个做法可以得到任意给定的正整数以内的所有素数.这个方法叫做埃拉托斯特尼(Eratosthene)筛法.
人们一直在寻找更大的素数。
近代已知的最大素数差不多总是形如2n–1的数。
当n是合数时,2n–1一定是合数.
设n=ab,其中a>1,b>1,有
ab
2-1=(2b-1)(2a(b-1)+2a(b-2)+...+2a+1)
当n为素数时,22–1=3,23–1=7,24–1=31,27–1=127都是素数,
而211–1=2047=23x89是合数.
设P为素数,称如2p–1的数为梅森(MatinMerdenne)数.
到2002年为止找到的最大梅森素数是7–1,这个数有4百万位.
可除性判别方法
•判别方法1:
(整数被2整除)
如果一个整数的末尾数字能被2整除,则该数能被2整除。
即:
若2∣a0,,则2∣N.
•判别方法2:
(整数被5整除)
如果一个整数的末尾数字能被5整除,则该数能被5整除。
即:
若5∣a0,,则5∣N.
•判别方法3:
(整数被3整除)
如果一个整数的各位数字之和能被3整除,则该数能被3整除。
即:
若3∣an+an-1+…a1+a0,,则3∣N.
•判别方法4:
(整数被9整除)
如果一个整数的各位数字之和能被9整除,则该数能被9整除。
即:
若9∣an+an-1+…a1+a0,,则9∣N.
例6有一个自然数乘以9后,得到一个仅由数字1组成的多位数,求这个自然数最小为多少?
n
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