初中数学动点问题专题复习及答案.docx
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初中数学动点问题专题复习及答案
初中数学动点问题练习题
1、(宁夏回族自治区)已知:
等边三角形ABC的边长为4厘米,长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动(运动开始时,点M与点A重合,点N到达点B
时运动终止),过点M、N分别作AB边的垂线,与△ABC的其它边交于P、Q两点,线段MN运动的时间为t秒.
1、线段MN在运动的过程中,t为何值时,四边形MNQP恰为矩形?
并求出该矩形的面积;
(2)线段MN在运动的过程中,四边形MNQP的面积为S,运动的时间为t.求四边形MNQP的面C
积S随运动时间t变化的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.
Q
P
AMNB
2、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD3,DC5,AB42,∠B45.动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动;动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动.设运动的时间为t秒.
1)求BC的长.
2)当MN∥AB时,求t的值.
3)试探究:
t为何值时,△MNC为等腰三角形.
3、如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是梯形,OA∥BC,点A的坐标为(6,0),点B
的坐标为(4,3),点C在y轴的正半轴上.动点M在OA上运动,从O点出发到A点;动点N在AB上运动,从A点出发到B点.两个动点同时出发,速度都是每秒1个单位长度,当其中一个点到达终点时,另一个点也随即停止,设两个点的运动时间为t(秒).
(1)求线段AB的长;当t为何值时,MN∥OC?
(2)设△CMN的面积为S,求S与t之间的函数解析式,并指出自变量t的取值范围;S是否有最小值?
若有最小值,最小值是多少?
(3)连接AC,那么是否存在这样的t,使MN与AC互相垂直?
若存在,求出这时的t值;若不存在,请说明理由.
4、(河北卷)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=16,动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动,动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动.P,Q分别从点A,C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动.在运动过程中,△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ.设运动时间为t(秒).
(1)设四边形PCQD的面积为y,求y与t的函数关系式;
(2)t为何值时,四边形PQBA是梯形?
(3)是否存在时刻t,使得PD∥AB?
若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;
(4)通过观察、画图或折纸等方法,猜想是否存在时刻t,使得PD⊥AB?
若存在,请估计
t的值在括号中的哪个时间段内(0≤t≤1;1 要说明理由. 5、(山东济宁)如图,A、B分别为x轴和y轴正半轴上的点。 OA、OB的长分别是方程x2-14x+48=0的两根(OA>OB),直线BC平分∠ABO交x轴于C点,P为BC上一动点,P点以每秒1个单位的速度从B点开始沿BC方向移动。 (1)设△APB和△OPB的面积分别为S1、S2,求S1∶S2的值; (2)求直线BC的解析式; (3)设PA-PO=m,P点的移动时间为t。 ①当0 论)? 6、在ABC中,CRt,AC4cm,BC5cm,点D在BC上,且以CD=3cm,现有 两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发,其中点P以1cm/s的速度,沿AC向终点C移动;点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C移动。 过点P作PE∥BC交AD于点E,连结EQ。 设动点运动时间为x秒。 1)用含x的代数式表示AE、DE的长度; 2 2)当点Q在BD(不包括点B、D)上移动时,设 EDQ的面积为y(cm),求y与月份x 的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; (3)当x为何值时,EDQ为直角三角形。 7(杭州)在直角梯形ABCD中,C90,高CD6cm(如图1)。 动点P,Q同时从点B出发,点P沿BA,AD,DC运动到点C停止,点Q沿BC运动到点C停止,两点运动时的速度都是1cm/s。 而当点P到达点A时,点Q正好到达点C。 设P,Q同时从点B出发,经过 2 的时间为ts时,BPQ的面积为ycm(如图2)。 分别以t,y为横、纵坐标建立直角坐标系,已知点P在AD边上从A到D运动时,y与t的函数图象是图3中的线段MN。 (1)分别求出梯形中BA,AD的长度; (2)写出图3中M,N两点的坐标; (3)分别写出点P在BA边上和DC边上运动时,y与t的函数关系式(注明自变量的取值范围),并在图3中补全整个运动中y关于t的函数关系的大致图象。 ∠ABO30o.动点P在线段AB上从点A向点B以每秒3个单位的速度运动,设运动时间为t秒.在x轴上取两点M,N作等边△PMN. (1)求直线AB的解析式; (2)求等边△PMN的边长(用t的代数式表示),并求出当等边△PMN的顶点M运动到与原点O重合时t的值; (3)如果取OB的中点D,以OD为边在Rt△AOB内部作如图2所示的矩形ODCE,点C在线段AB上.设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S,请求出当 0≤t≤2秒时S与t的函数关系式,并求出S的最大值. 直线D2B(AB)方向平移(点A,D1,D2,B始终在同一直线上),当点D1于点B重合时,停止平移.在平移过程中,C1D1与BC2交于点E,AC1与C2D2、BC2分别交于点F、P. (1)当AC1D1平移到如图3所示的位置时,猜想图中的D1E与D2F的数量关系,并证明你的猜想; (2)设平移距离D2D1为x,AC1D1与BC2D2重叠部分面积为y,请写出y与x的函数关系式,以及自变量的取值范围; (3)对于 (2)中的结论是否存在这样的x的值;使得重叠部分的面积等于原ABC面积 1 的4? 若不存在,请说明理由 B=90°,AD图=242cm 图1 1.梯形ABCD中,AD∥BC,∠ 沿AD边,以1厘米/秒的速度向点D运动;动点Q从点C开始,沿CB边,以3厘米/秒的速度向B点运动。 已知P、Q两点分别从A、假设运动时间为t秒,问: (1) (2) (3) (4) ,AB=8cm,BC=26cm,图动3点P从点A开始, C同时出发,,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动。 t为何值时,四边形在某个时刻,四边形t为何值时,四边形t为何值时,四边形 PQCD是平行四边形? PQCD可能是菱形吗? 为什么? PQCD是直角梯形? PQCD是等腰梯形? 2.如右图,在矩形ABCD中,AB=20cm,BC=4cm,P从A开始沿折线A—B—C—D以4cm/s的速度运动,点开始沿CD边1cm/s的速度移动,如果点P、Q分别从A、C同时出发,当其中一点到达点D时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t(s),t为何值时,四边形APQD也为矩形? 3.如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,ADBC5cm,AB=12cm,CD=6cm,点P从 A开始沿AB边向B以每秒3cm的速度移动,点Q从C开始沿CD边向D以每秒1cm的速度移动,如果点P、Q分别从A、C同时出发,当其中一点到达终点时运动停止。 设运动时间为t秒。 1)求证: 当t=2时,四边形APQD是平行四边形; PQ平分BD;若不能,请说明 (2)PQ是否可能平分对角线BD? 若能,求出当t为何值时理由; (3)若△DPQ是以PQ为腰的等腰三角形,求t的值。 4.过点 如图所示,△ABC中,点O是AC边上的一个动点,O作直线MN//BC,设MN交BCA的平分线于E,交BCA的外角平分线于F。 (1)求让: EOFO; 3)若AC边上存在点O,使四边形AECF是正方形, 26,求B的大小。 5.如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠,落在点D'处,求重叠部分⊿AFC的面积. 6.如图所示,有四个动点 CD、DA以同样的速度向 (1)试判断四边形 (2)PE是否总过某一定点,并说明理由。 (3)四边形PQEF的顶点位于何处时,其面积最小,最大? 各是多少? 7. F,EG∥AC交BD于点G. AB=DC”改为另一种四边形,其他条 已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,对角线AC和BD相交于点O,E是BC边上一个动点(E点不与B、C两点重合),EF∥BD交AC于点⑴求证: 四边形EFOG的周长等于2OB;⑵请你将上述题目的条件“梯形ABCD中,AD∥BC,件不变,使得结论“四边形EFOG的周长等于2OB”仍成立,并将改编后的题目画出图形,写出已知、求证、不必证明. BC向点C作匀速运动;动点Q从点 AD的射线交AC于点M,交BC于点 1个单位长度.当Q点运动到A点,P、Q两点同时 如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,已知AD=AB=3,BC=4,动点P从B点出发,沿线段D出发,沿线段DA向点A作匀速运动.过Q点垂直于N.P、Q两点同时出发,速度都为每秒停止运动.设点Q运动的时间为t秒. (1)求NC,MC的长(用t的代数式表示); (2)当t为何值时,四边形PCDQ构成平行四边形? (3)是否存在某一时刻,使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分? 若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由;(4)探究: t为何值时,△PMC为等腰三角形? (1)NC=t+1,PN=|5-(t+1)-t|=|4-2t| (2)若t时刻满足条件,则满足矩形ABNQ面积=3×(3-t))=1/2*(3+4)*3/2=21/4,则t=5/4此时AB+BN+QA=3+2(3-t)=13/2,而梯形总周长为10+10^0.5,不满足条件。 故不存在这样 (1) NC=t+1,PN=|5-(t+1)-t|=|4-2t| (2) 若t时刻满足条件,则满足矩形ABNQ面积=3×(3-t))=1/2*(3+4)*3/2=21/4,则t=5/4 此时AB+BN+QA=3+2(3-t)=13/2,而梯形总周长为10+10^0.5,不满足条件。 故不存在这样的t。 t。 9、(山东青岛课改卷)如图①,有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起 (点A与点E重合),已知AC=8cm,BC=6cm,∠C=90°,EG=4cm,∠EGF=90°,O是△EFG斜边上的中点. 如图②,若整个△EFG从图①的位置出发,以1cm/s的速度沿射线AB方向平移,在△EFG平移的同时,点P从△EFG的顶点G出发,以1cm/s的速度在直角边GF上向点F运动,当点P到达点F时,点P停止运动,△EFG也随之停止平移.设运动时间为x(s),FG的延长线 交AC于H,四边形OAHP的面积为y(cm2)(不考虑点P与G、F重合的情况). (1)当x为何值时,OP∥AC? (2)求y与x之间的函数关系式,并确定自变量x的取值范围. (3)是否存在某一时刻,使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24? 若存在,求出x的值;若不存在,说明理由. C (参考数据: 1142=12996,1152=13225,1162=13456或4.42=19.36,4.52=20.25,4.62=21.16) 10、已知: 如图,△ABC是边长3cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC方向匀速移动,它们的速度都是1cm/s,当点P到达点B时,P、Q两点停止运动.设点P的运动时间为t(s),解答下列问题: (1)当t为何值时,△PBQ是直角三角形? (2)设四边形APQC的面积为y(cm2),求y与t的 关系式;是否存在某一时刻t,使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二? 如果存在,求出相应的t值;不存在,说明理由; (2005? 宁德)如图,已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,DB=90°,AB=12cm,BC=8cm,DC=13cm,动点P沿A→D→C线路以2cm/秒的速度向C运动,动点Q沿B→C线路以1cm/秒的速度向C运动.P、Q两点分别从A、B同时出发,当其中一点到达C点时,另一点也随之停止.设运动时间为t秒,△PQB的面积为ym2. (1)求AD的长及t的取值范围; 2)当1.5≤t≤t0(t0为 (1)中t的最大值)时,求y关于t的函数关系式; 3)请具体描述: 在动点P、Q的运动过程中,△PQB的面积随着t的变化而变化的规律. ∴AD=BE=BC-=EC=3cm(2分) 点P从出发到点C共需=8(秒), 点Q从出发到点C共需=8秒(3分),又∵t≥0, ∴0≤t≤8(4分); (2)当t=1.5(秒)时,AP=3,即P运动到D点(5分)∴当1.5≤t≤8时,点P在DC边上 ∴PC=16-2t过点P作PM⊥BC于M,如图所示 ∴PM∥DE ∴=即= ∴PM=(16-2t)(7分) 又∵BQ=t∴y=BQ? PM =t? (16-2t) =-t2+t(3分), (3)当0≤t≤1.5时,△PQB的面积随着t的增大而增大; 当1.5 当4 ①上述不等式中,“1.5 当点P在AD上运动时,△PQB的面积先随着t的增大而增大,当点P在DC上运动时,△PQB的面积先随着t的增大而(继续)增大,之后又随着t的增大而减小.给(2分) ③若学生答: △PQB的面积先随着t的增大而减小给(1分) i.∠C=∠NMC ∠MNC=180-2∠C CM/sin∠MNC=CN/sin∠C (10-2T)/(24/25)=T/(4/5) T=25/7 ii.∠C=∠MNC同理,得: (10-2T)/(4/5)=T/(24/25) T=60/17 iii.∠MNC=∠NMC 此时,CM=CN 10-2T=T T=10/3 3.求线段AB的长可通过构建直角三角形进行求解.过B作BD⊥OA于D,那么AD=3,BD=4,根据勾股定理即可求出AB的长.如果MN∥OC,那么△AMN∽△ABD,可的关于AN,AB,AM,AD的比例关系,其中AN=t,AM=6-t,AD=3,AB=5,由此可求出t的值. (2)由于三角形CMN的面积无法直接求出,因此可用其他图形的面积的“和,差”关系来求.△CMN的面积=梯形AOCB的面积-△OCM的面积-△AMN的面积-△CBN的面积.可据此来得出S,t的函数关系式.然后根据函数的性质即可得出S的最小值.(3)易得△NME∽△ACO,利用 相似三角形的对应边成比例得出的等量关系即可得出此时t的值. 解: (1)过点B作BD⊥OA于点D,则四边形CODB是矩形,BD=CO=4,OD=CB=3,DA=3.在Rt△ABD中,AB=32+42=5.当MN∥OC时,MN∥BD,∴△AMN∽△ADB,AN/AB=AM/AD.∵AN=OM=t,AM=6-t,AD=3,∴t5=6-t3,即t=154(秒). (2)过点N作NE⊥x轴于点E,交CB的延长线于点F,∵NE∥BD,∴△AEN∽△ADB,EN/DB=AN/AB.即EN4=t5,EN=45t.∵EF=CO=4,∴FN=4-45t.∵S=S梯形OABC-S△COM-S△MNA-S△CBN,∴S=12CO(OA+CB)-12CO? OM-12AM? EN-12CB? FN,=12×4×(6+3)-12×4t-12(×6-t)×45t-12×(3×4-45t).即S=25t2-165t+12(0≤t≤)5.由S=25t2-165t+12,得S=25(t-4)2+285.∴当t=4时,S有最小值,且S最小=285.(3)设存在点P使MN⊥AC于点P由 (2)得AE=35tNE=45t∴ME=AM-AE=6-t-35t=6-85t,∵∠MPA=9°0, ∴∠PMA+∠PAM=90,°∵∠PAM+∠OCA=90,°∴∠PMA=∠OCA,∴△NME∽△ACO∴NE: OA=ME: OC∴45t6=6-85t4解得t=4516∴存在这样的t,且t=4516. S△PCQ=PC*CQ2/=2t(12-3t)=24t-6t2 SPCQD=48t-12t2 (2)PQ//ABCP: CA=CQ: CB即(12-3t): 4t=3: 4t=2 <3>存 在 t=12/11 设在时刻t,PD//AB, 延长 QD交AB于E, 过P作PF⊥AB(如图1, 下面只给出计算,证明 过 程 略 ) ∵△APF∽△ABC ∴PF/AP=BC/AB=16/20=4/5 PF=AP*4/5=3t*4/5=2.4t 过程略同 ( 16-4t ) *3/5 DFEP 为 矩 形 12-3t ) 16-4t ) *3/5 )+ (16-4t ) *3/5=2.4t PD=PC= ( DF=QE= ( PF=PD+DF=PC+QE= ( 12-3t t=36/13。 1)PC=12-3tCQ=4t ∵△QBE∽△ABC∴QE/QB=AC/AB即QE=QB*AC/AB=△PDQ≌△PCQ, S△PCQ=PC*CQ2/=2t(12-3t)=24t-6t20<=t<=4 SPCQD=48t-12t20<=t<=4 (2)PQ//ABCP: CA=CQ: CB即(12-3t): 4t=3: 4t=2回答者: teacher024 <3>存在,t=12/11。 设在时刻t,PD//AB,延长QD交AB于E,过P作PF⊥AB(如图1,下面只给出计算,证明过程略)。 ∵△APF∽△ABC∴PF/AP=BC/AB=16/20=4/5 PF=AP*4/5=3t*4/5=2.4t△PDQ≌△PCQ,DEFP为矩形 QE=DQ+DE=CQ+PF=4t+2.4t=6.4t ∵△QBE∽△ABC ∴QE/QB=AC/AB 即6.4t/(16-4t)=3/5 t=12/11 <4>存在,t=36/13,2 3 设在时刻t,PD⊥AB,延长PD交AB于F,过Q作QE⊥AB(如图2,下面只给出计算,证明过程略)。 同<1>PF=2.4t ∵△QBE∽△ABC ∴QE/QB=AC/AB 即QE=QB*AC/AB=(16-4t)*3/5 △PDQ≌△PCQ,DFEP为矩形 PD=PC=(12-3t) DF=QE=(16-4t)*3/5 PF=PD+DF=PC+QE(=12-3t)+(16-4t)*3/5=2.4tt=36/13。 5. (1)如图①,过P点作PD⊥BO,PH⊥AB,垂足分别为D、H,∵BC为∠ABO的平分线, ∴PH=PD,∴S1: S2=AB: OB,又∵OA、OB的长是方程x2-14x+48=0的两根(OA>OB),解方程得: x1=8,x2=6, ∴OA=8,OB=6, ∴AB=10,∴S1: S2=AB: OB=5: 3; (2)过C点作CK⊥AB,垂足为K, ∴OC=CK,∴S△AOB=OC(OB+AB)=8OC=24, ∴OC=3, ∴C(3,0), ∴y=-2x+6; (3)①当O、P、E三点共线时,(P在OE与BC交点时)有S△AOP=S△AEP,过E点作EG⊥OA,垂足为G, ∵OE⊥BC,BC平分∠ABO, ∴P是OE的中点, ∴PF是△OEG的中位线, ∵△AGE∽△AOB, EGEA2 BOAB5 ∴EG=,yP=, 把yP=,代入y=-2x+6中,求得xP=, ∴P1(); ②当PA∥OE时,有S△AOP=S△AEP,∴P2(4,-2). 或用代数方法: 设E点坐标为(x,y),根据勾股定理求出,再将代入y=-2x+6,同样求出P1()、P2(4,-2).
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