版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函.docx
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版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函
(浙江专用)2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.1函数及其表示教师用书
1.函数与映射
函数
映射
两集合A、B
设A,B是两个非空数集
设A,B是两个非空集合
对应
关系
f:
A→B
如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f:
A→B为从集合A到集合B的一个函数
称对应f:
A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y=f(x),x∈A
对应f:
A→B是一个映射
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
(2)函数的三要素:
定义域、对应关系和值域.
(3)函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
3.分段函数
若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.
【知识拓展】
1.函数实质上就是数集上的一种映射,即函数是一种特殊的映射,而映射可以看作函数概念的推广.
2.函数图象的特征:
与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点.利用这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象.
3.分段函数有几段,它的图象就由几条曲线组成,同时要注意每段曲线端点的虚实,而且横坐标相同的地方不能有两个及两个以上的点.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于函数f:
A→B,其值域是集合B.( × )
(2)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数是相等函数.( × )
(3)映射是特殊的函数.( × )
(4)若A=R,B={x|x>0},f:
x→y=|x|,其对应是从A到B的映射.( × )
(5)分段函数是由两个或几个函数组成的.( × )
1.(教材改编)若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是( )
答案 B
解析 A中函数的定义域不是[-2,2],C中图象不表示函数,D中函数值域不是[0,2],故选B.
2.(2016·全国甲卷)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是( )
A.y=xB.y=lgxC.y=2xD.y=
答案 D
解析 函数y=10lgx的定义域为{x|x>0},值域为{y|y>0},所以与其定义域和值域分别相同的函数为y=
,故选D.
3.已知f(
)=x2+5x,则f(x)=________.
答案
(x≠0)
解析 令
=t(t≠0),
则f(t)=
+5
=
,
∴f(x)=
(x≠0).
4.(2016·诸暨期末)已知函数f(x)=
则f[f(0)]=________;若f[f(x0)]=2,则x0=________.
答案 6 2或-2
解析 由题意知f(0)=4,f(4)=6,设f(x0)=t,则f(t)=2,当t>0时,-t+10=2,得t=8,当t<0时,t2+4=2,无解,当x0>0时,由-x0+10=8,得x0=2,当x0≤0时,由x
+4=8,得x0=-2,所以x0=2或-2.
题型一 函数的概念
例1 有以下判断:
①f(x)=
与g(x)=
表示同一函数;
②函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点最多有1个;
③f(x)=x2-2x+1与g(t)=t2-2t+1是同一函数;
④若f(x)=|x-1|-|x|,则f
=0.
其中正确判断的序号是________.
答案 ②③
解析 对于①,由于函数f(x)=
的定义域为{x|x∈R且x≠0},而函数g(x)=
的定义域是R,所以二者不是同一函数;对于②,若x=1不是y=f(x)定义域内的值,则直线x=1与y=f(x)的图象没有交点,如果x=1是y=f(x)定义域内的值,由函数定义可知,直线x=1与y=f(x)的图象只有一个交点,即y=f(x)的图象与直线x=1最多有一个交点;对于③,f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同,所以f(x)和g(t)表示同一函数;对于④,由于f
=
-
=0,所以f
=f(0)=1.
综上可知,正确的判断是②③.
思维升华 函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定,当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数.值得注意的是,函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同,只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值,按照这两个对应关系算出的函数值是否相同).
(1)下列所给图象中函数图象的个数为( )
A.1B.2
C.3D.4
(2)下列各组函数中,表示同一个函数的是( )
A.y=x-1和y=
B.y=x0和y=1
C.f(x)=x2和g(x)=(x+1)2
D.f(x)=
和g(x)=
答案
(1)B
(2)D
解析
(1)①中当x>0时,每一个x的值对应两个不同的y值,因此不是函数图象,②中当x=x0时,y的值有两个,因此不是函数图象,③④中每一个x的值对应唯一的y值,因此是函数图象,故选B.
(2)A中两个函数的定义域不同;B中y=x0的x不能取0;C中两函数的对应关系不同.故选D.
题型二 函数的定义域问题
命题点1 求函数的定义域
例2 (2016·临安中学一模)
(1)函数f(x)=
+
的定义域为( )
A.(-3,0]B.(-3,1]
C.(-∞,-3)∪(-3,0]D.(-∞,-3)∪(-3,1]
(2)若函数y=f(x)的定义域为[0,2],则函数g(x)=
的定义域是________.
答案
(1)A
(2)[0,1)
解析
(1)由题意得
解得-3<x≤0.
所以函数f(x)的定义域为(-3,0].
(2)由0≤2x≤2,得0≤x≤1,
又x-1≠0,即x≠1,
所以0≤x<1,即g(x)的定义域为[0,1).
引申探究
例2
(2)中,若将“函数y=f(x)的定义域为[0,2]”改为“函数y=f(x+1)的定义域为[0,2]”,则函数g(x)=
的定义域为________________.
答案 [
,1)∪(1,
]
解析 由函数y=f(x+1)的定义域为[0,2],
得函数y=f(x)的定义域为[1,3],
令
得
≤x≤
且x≠1,
∴g(x)的定义域为[
,1)∪(1,
].
命题点2 已知函数的定义域求参数范围
例3
(1)若函数f(x)=
的定义域为R,则a的取值范围为________.
(2)若函数y=
的定义域为R,则实数a的取值范围是________.
答案
(1)[-1,0]
(2)[0,3)
解析
(1)因为函数f(x)的定义域为R,
所以
对x∈R恒成立,
即
,x2+2ax-a≥0恒成立,
因此有Δ=(2a)2+4a≤0,解得-1≤a≤0.
(2)因为函数y=
的定义域为R,
所以ax2+2ax+3=0无实数解,
即函数y=ax2+2ax+3的图象与x轴无交点.
当a=0时,函数y=3的图象与x轴无交点;
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- 高考 数学 一轮 复习 第二 函数 概念 基本 初等