广州市西关培英中学学年高二月考数学试题解析.docx
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广州市西关培英中学学年高二月考数学试题解析
广州市西关培英中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析
班级__________座号_____姓名__________分数__________
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.已知数列
的首项为
,且满足
,则此数列的第4项是()
A.1B.
C.
D.
2.给出下列命题:
①多面体是若干个平面多边形所围成的图形;②有一个平面是多边形,其余各
面是三角形的几何体是棱锥;③有两个面是相同边数的多边形,其余各面是梯形的多面体是棱台.其中
正确命题的个数是()
A.0B.1C.2D.3
3.已知函数
,其中
,
对任意的
都成立,在1
和两数间插入2015个数,使之与1,构成等比数列,设插入的这2015个数的成绩为
,则
()
A.
B.
C.
D.
4.拋物线E:
y2=2px(p>0)的焦点与双曲线C:
x2-y2=2的焦点重合,C的渐近线与拋物线E交于非原点的P点,则点P到E的准线的距离为()
A.4B.6
C.8D.10
5.函数
在区间
上的最大值为5,最小值为1,则
的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
6.底面为矩形的四棱锥PABCD的顶点都在球O的表面上,且O在底面ABCD内,PO⊥平面ABCD,当四棱锥PABCD的体积的最大值为18时,球O的表面积为()
A.36πB.48π
C.60πD.72π
7.若函数
则函数
的零点个数为()
A.1B.2C.3D.4
8.在
中,
分别为角
所对的边,若
,则此三角形一定是()
A.等腰直角三角形B.直角三角形
C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形
9.复数
(
为虚数单位),则
的共轭复数为()
A.
B.
C.
D.
【命题意图】本题考查复数的运算和复数的概念等基础知识,意在考查基本运算能力.
10.四棱锥
的底面
为正方形,
底面
,
,若该四棱锥的所有顶点都在体积为
同一球面上,则
()
A.3 B.
C.
D.
【命题意图】本题考查空间直线与平面间的垂直和平行关系、球的体积,意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力.
11.已知两条直线
,其中为实数,当这两条直线的夹角在
内变动
时,的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
12.设复数
(
是虚数单位),则复数
()
A.
B.
C.
D.
【命题意图】本题考查复数的有关概念,复数的四则运算等基础知识,意在考查学生的基本运算能力.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填写在横线上)
13.在
中,已知角
的对边分别为
,且
,则角
为.
14.等差数列
中,
,公差
,则使前项和
取得最大值的自然数是________.
15.已知实数
,
满足
,目标函数
的最大值为4,则
______.
【命题意图】本题考查线性规划问题,意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力.
16.已知
为常数,若
则
_________.
三、解答题(本大共6小题,共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
)
17.已知函数
.
(1)用分段函数的形式表示该函数;
(2)画出该函数的图象;
(3)写出该函数的值域.
18.某中学为了普及法律知识,举行了一次法律知识竞赛活动.下面的茎叶图记录了男生、女生各
10名学生在该次竞赛活动中的成绩(单位:
分).
已知男、女生成绩的平均值相同.
(1)求的值;
(2)从成绩高于86分的学生中任意抽取3名学生,求恰有2名学生是女生的概率.
19.已知函数
,
.
(1)当
时,求函数
的单调区间;
(2)若关于的不等式
在
上有解,求实数的取值范围.
20.(本小题满分12分)已知等差数列
的前
项和为
,且
,
.
(1)求
的通项公式
和前
项和
;
(2)设
是等比数列,且
,求数列
的前n项和
.
【命题意图】本题考查等差数列与等比数列的通项与前
项和、数列求和等基础知识,意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、代数变形能力,以及分类讨论思想、方程思想、分组求和法的应用.
21.(本小题满分12分)
在等比数列
中,
.
(1)求数列
的通项公式;
(2)设
,且
为递增数列,若
,求证:
.
22.(本小题满分10分)选修
:
几何证明选讲
如图所示,已知
与⊙
相切,
为切点,过点
的割线交圆于
两点,弦
,
相
交于点
,
为
上一点,且
.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)若
,求
的长.
广州市西关培英中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析(参考答案)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.【答案】B
【解析】
2.【答案】B
【解析】111]
试题分析:
由题意得,根据几何体的性质和结构特征可知,多面体是若干个平面多边形所围成的图形是正确的,故选B.
考点:
几何体的结构特征.
3.【答案】C
【解析】
试题分析:
因为函数
,
对任意的
都成立,所以
,解得
或
,又因为
,所以
,在和两数间插入
共
个数,使之与,构成等比数列,
,
,两式相乘,根据等比数列的性质得
,
,故选C.
考点:
1、不等式恒成立问题;2、等比数列的性质及倒序相乘的应用.
4.【答案】
【解析】解析:
选D.双曲线C的方程为
-
=1,其焦点为(±2,0),由题意得
=2,
∴p=4,即拋物线方程为y2=8x,
双曲线C的渐近线方程为y=±x,
由
,解得x=0(舍去)或x=8,则P到E的准线的距离为8+2=10,故选D.
5.【答案】B
【解析】
试题分析:
画出函数图象如下图所示,要取得最小值为,由图可知
需从开始,要取得最大值为,由图可知
的右端点为,故
的取值范围是
.
考点:
二次函数图象与性质.
6.【答案】
【解析】选A.设球O的半径为R,矩形ABCD的长,宽分别为a,b,
则有a2+b2=4R2≥2ab,∴ab≤2R2,
又V四棱锥P-ABCD=
S矩形ABCD·PO
=
abR≤
R3.
∴
R3=18,则R=3,
∴球O的表面积为S=4πR2=36π,选A.
7.【答案】D
【解析】
考点:
函数的零点.
【易错点睛】函数零点个数的判断方法:
(1)直接求零点:
令
,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.
(2)零点存在性定理法:
要求函数在
上是连续的曲线,且
.还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.(3)图象法:
先把所求函数分解为两个简单函数,再画两个函数图象,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.
8.【答案】C
【解析】
试题分析:
因为
,由正弦定理得
,因为
,
所以
,
即
,所以
,所以
,所以三角形为等腰三角形,故选C.1
考点:
三角形形状的判定.
9.【答案】A
【解析】根据复数的运算可知
,可知
的共轭复数为
,故选A.
10.【答案】B
【解析】连结
交于点
,取
的中点
,连结
,则
,所以
底面
,则
到四棱锥的所有顶点的距离相等,即
球心,均为
,所以由球的体积可得
,解得
,故选B.
11.【答案】C
【解析】1111]
试题分析:
由直线方程
,可得直线的倾斜角为
,又因为这两条直线的夹角在
,所以直线
的倾斜角的取值范围是
且
,所以直线的斜率为
且
,即
或
,故选C.
考点:
直线的倾斜角与斜率.
12.【答案】A
【解析】
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填写在横线上)
13.【答案】
【解析】
考点:
正弦定理.
【方法点晴】本题考查正余弦定理,根据正弦定理,将所给的含有边和角的等式化为只含有角的等式,再利用三角形的三角和是
,消去多余的变量,从而解出
角.三角函数题目在高考中的难度逐渐增加,以考查三角函数的图象和性质,以及三角形中的正余弦定理为主,在
年全国卷()中以选择题的压轴题出现.
14.【答案】或
【解析】
试题分析:
因为
,且
,所以
,所以
,所以
,所以
,所以
,所以
取得最大值时的自然数是或.
考点:
等差数列的性质.
【方法点晴】本题主要考查了等差数列的性质,其中解答中涉及到等差数列的通项公式以及数列的单调性等知识点的应用,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力,属于中档试题,本题的解答中,根据数列的单调性,得出
,所以
是解答的关键,同时结论中自然数是或是结论的一个易错点.
15.【答案】
【解析】作出可行域如图所示:
作直线
:
,再作一组平行于
的直线
:
,当直线
经过点
时,
取得最大值,∴
,所以
,故
.
16.【答案】
【解析】
试题分析:
由
,得
,即
,比较系数得
,解得
或
,则
.
考点:
函数的性质及其应用.
【方法点晴】本题主要考查了函数的性质及其应用,其中解答中涉及到函数解析式的化简与运算,求解解析式中的代入法的应用和多项式相等问题等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力,试题有一定难度,属于中档试题,本题的解答中化简
的解析式是解答的关键.
三、解答题(本大共6小题,共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
)
17.【答案】
(1)
;
(2)图象见解析;(3)
.
试题解析:
(1)
(2)画图(如图).
(3)值域
.
考点:
分段函数图象与性质.
18.【答案】(1)
;(2)
.
【解析】
试题分析:
(1)由平均值相等很容易求得的值;(2)成绩高于
分的学生共五人,写出基本事件共
个,可得恰有两名为女生的基本事件的个数,则其比值为所求.
其中恰有2名学生是女生的结果是
,
,
共3种情况.
所以从成绩高于86分的学生中抽取了3名学生恰有2名是女生的概率
.1
考点:
平均数;古典概型.
【易错点睛】古典概型的两种破题方法:
(1)树状图是进行列举的一种常用方法,适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求.另外在确定基本事件时,
可以看成是有序的,如
与
不同;有时也可以看成是无序的,如
相同.
(2)含有“至多”、“至少”等类型的概率问题,从正面突破比较困难或者比较繁琐时,考虑其反面,即对立事件,应用
求解较好.
19.【答案】(1)
的单调递增区间是
和
,单调递减区间为
;(2)
.
【解析】
试题分析:
(1)
时,利用导数与单调性的关系,对函数求导,并与零作比较可得函数的单调区间;(2)对函数求导,对参数分类讨论,利用函数的单调性求函数的最小值,使最小值小于或等于零,可得的取值范围.
试题解析:
(1)当
时,
,
所以
,
由
,得
或
,
所以函数
的单调递减区间为
.
(2)要使
在
上有解,只要
在区间
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