届高考数学考点单元复习教案16.docx
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届高考数学考点单元复习教案16
考纲导读
解三角形
(一)正弦定理和余弦定理
掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.
(二)应用
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
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正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力.以化简、求值或判断三角形的形状为主.解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明.
基础过关
第1课时三角形中的有关问题
典型例题
变式训练1:
(1)
的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等比数列,且
,则
()
A.
B.
C.
D.
解:
B提示:
利用余弦定理
(2)在△ABC中,由已知条件解三角形,其中有两解的是()
A.
B.
C.
D.
解:
C提示:
在斜三角形中,用正弦定理求角时,若已知小角求大角,则有两解;若已知大角求小角,则只有一解
(3)在△ABC中,已知
,
,则
的值为()
A
B
C
或
D
解:
A提示:
在△ABC中,由
知角B为锐角
(4)若钝角三角形三边长为
、
、
,则
的取值范围是.
解:
提示:
由
可得
(5)在△ABC中,
=.
解:
提示:
由面积公式可求得
,由余弦定理可求得
例3.已知在△ABC中,sinA(sinB+cosB)-sinC=0,sinB+cos2C=0,求角A、B、C.
解:
由sinA(sinB+cosB)-sinC=0,得sinAsinB+sinAcosB-sin(A+B)=0,
所以sinB(sinA-cosA)=0
∵B∈(0,π),∴sinB≠0,∴cosA=sinA,由A∈(0,π),知A=
从而B+C=
,由sinB+cos2C=0得sinB+cos2(
-B)=0
cos=(
-2B)=cos[2π-(
+2B)]=cos(
+2B)=-sin2B
得sinB-sin2B=0,亦即sinB-2sinBcosB=0,由此各cosB=
,B=
,C=
∴A=
B=
C=
变式训练3:
已知△ABC中,2
(sin2A-sin2C)=(a-b)sinB,△ABC外接圆半径为
.
(1)求∠C;
(2)求△ABC面积的最大值.
解:
(1)由2
(sin2A-sin2C)=(a-b)·sinB得
2
(
-
)=(a-b)
.
又∵R=
,∴a2-c2=ab-b2.∴a2+b2-c2=ab.∴cosC=
=
.
又∵0°<C<180°,∴C=60°.
(2)S=
absinC=
×
ab=2
sinAsinB=2
sinAsin(120°-A)
=2
sinA(sin120°cosA-cos120°sinA)=3sinAcosA+
sin2A
=
sin2A-
cos2A+
=
sin(2A-30°)+
.
∴当2A=120°,即A=60°时,Smax=
.
小结归纳
小结归纳
基础过关
第2课时应用性问题
1.三角形中的有关公式(正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式等);
2.正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有:
测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等;
3.实际问题中有关术语、名称.
(1)仰角和俯角:
在目标视线和水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的角叫仰角;在水平视线下方的角叫俯角
(2)方位角:
指正北方向顺时针转到目标方向线水平角.
典型例题
例1.
(1)某人朝正东方走
km后,向左转1500,然后朝新方向走3km,结果它离出发点恰好
km,那么
等于()
(A)
(B)
(C)
或
(D)3
解:
C提示:
利用余弦定理
(2)甲、乙两楼相距
,从乙楼底望甲楼顶的仰角为
,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为
,则甲、乙两楼的高分别是()
A
B
C
D
解:
A
(3)一只汽球在
的高空飞行,汽球上的工件人员测得前方一座山顶上A点处的俯角为
,汽球向前飞行了
后,又测得A点处的俯角为
,则山的高度为()
A
B
C
D
解:
B
(4)已知轮船A和轮船B同时离开C岛,A向北偏东
方向,B向西偏北
方向,若A的航行速度为25nmi/h,B的速度是A的
,过三小时后,A、B的距离是.
解:
90.8nmi
(5)货轮在海上以40km/h的速度由B到C航行,
航向为方位角
,A处有灯塔,
其方位角
,在C处观测灯塔A的
方位角
,由B到C需航行半小时,
则C到灯塔A的距离是
解:
km提示:
由题意知
,利用余弦定理或解直角三角形可得
变式训练1:
如图,当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西30
,相距10海里C处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援(角度精确到1
)?
解:
连接BC,由余弦定理得BC2=202+102-2×20×10×cos120°=700.
于是,BC=10
.
∵
∴sin∠ACB=
∵∠ACB<90°∴∠ACB=41°
∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援.
例2.在某海滨城市附近海面有一台风,据检测,当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南
方向300km的海面P处,并以20km/h的速度向西偏北
的方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增加,问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?
持续多长时间?
解:
设在时刻t(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km)
若在时刻t城市O受到台风的侵袭,则
由余弦定理知
由于PO=300,PQ=20t
故
即
解得
答:
12小时后该城市受到台风的侵袭,侵袭的时间将持续12小时.
变式训练2:
如图所示,海岛A周围38海里内有暗礁,一艘船向正南方向航行,在B处测得岛A在船的南偏东
方向上,船航行30海里后,在C处测得岛A在船的南偏东
方向上,如果此船不改变航向,继续向南航行,有无触礁危险?
解:
由题意得,在△ABC中,BC=30,
,
所以
,由正弦定理可知:
所以
,
于是A到BC所在直线的距离为
所以船继续向南航行无触礁危险。
例3.如图所示,公园内有一块边长
的等边△ABC形状的三角地,
现修成草坪,图中DE把草坪分成面积相等的两部分,D在AB上,
E在AC上.
(1)设AD
,ED
,求用
表示
的函数关系式;
(2)如果DE是灌溉水管,为节约成本希望它最短,DE的位置
应该在哪里?
如果DE是参观线路,则希望它最长,DE的
位置又在哪里?
请给予证明.
解:
(1)在△ABC中,D在AB上,
S△ADE=
S△ABC
,在△ADE中,由余弦定理得:
(2)令
,则
则
令
,
则
;
有最小值
,此时DE∥BC,且
有最大值
,此时DE为△ABC
的边AB或AC的中线上.
变式训练3:
水渠道断面为等腰梯形,如图所示,渠道深为
,梯形面积为S,为了使渠道的渗水量达到最小,应使梯形两腰及下底之和达到最小,此时下底角
应该是多少?
解:
设
,则
,
所以
设两腰与下底之和为
,
则
当且仅当
时,上式取等号,即当
时,上式取等号
,所以下角
时,梯形两腰及下底之和达到最小.
例4.如图,半圆O的直径为2,A为直径延长线上的一点,OA=2,B为半圆上任意一点,以AB为一边作等边三角形ABC。
问:
点B在什么位置时,四边形OACB面积最大?
解:
设
,在△AOB中,由余弦定理得:
于是,四边形OACB的面积为
S=S△AOB+S△ABC
因为
,所以当
,
,即
时,
四边形OACB面积最大.
变式训练4:
如图所示,某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东
的C处,12时20分测得船在海岛北偏西
的B处,12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5km的E港口,如果轮船始终匀速直线前进,问船速多少?
解:
轮船从C到B用时80分钟,从B到E用时20分钟,
而船始终匀速前进,由此可见:
BC=4EB,设EB=
,则
则BC=4
,由已知得
在△AEC中,由正弦定理得:
在△ABC中,由正弦定理得:
在△ABE中,由余弦定理得:
所以船速
答:
该船的速度为
km/h
解三角形章节测试题
一、选择题
1.在
中,
,
,
,则
的面积是( )
A.
B.
C.
D.
2.在
中,若
,则
的值为( )
A.
B.
C.
D.
3.在
中,若
,则这个三角形中角
的值是( )
A.
或
B.
或
C.
或
D.
或
4.在
中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是( )
A.
,
,
B.
,
,
C.
,
,
D.
,
,
5.已知三角形的两边长分别为4,5,它们夹角的余弦是方程
的根,则第三边长是( )
A.
B.
C.
D.
6.在
中,如果
,那么角
等于( )
A.
B.
C.
D.
7.在
中,若
,
,此三角形面积
,则
的值是( )
A.
B.
C.
D.
8.在△ABC中,AB=3,BC=
,AC=4,则边AC上的高为()
A.
B.
C.
D.
9.在
中,若
,
,
,则( )
A.
B.
C.
D.
10.如果满足
,
,
的△ABC恰有一个,那么
的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
或
二、填空题
11.在
中,若
,则最大角的余弦值等于_________________.
12.在
中,
,
,
,则此三角形的最大边的长为____________________.
13.在
中,已知
,
,
,则
__________________.
14.在
中,
,
,
,则
_______________,
_______________.
三、解答题
15.△ABC中,D在边BC上,且BD=2,DC=1,∠B=60o,∠ADC=150o,求AC的长及△ABC的面积.
16.在△ABC中,已知角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosB+ccosC=acosA,试判断△ABC的形状.
17.如图,海中有一小岛,周围3.8海里内有暗礁。
一军舰从A地出发由西向东航行,望见小岛B在北偏东75°,航行8海里到达C处,望见小岛B在北端东60°。
若此舰不改变舰行的方向继续前进,问此舰有
没有角礁的危险?
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