三角形自学提纲.docx
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三角形自学提纲.docx
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三角形自学提纲
第七章《三角形》自学提纲一
【自学内容】三角形的概念、分类和三角形中的主要线段
【学习达成目标】
目标等级
目标内容
目标要求
A级
了解三角形的有关概念、三角形的稳定性
基本要求
B级
掌握三角形的分类、分类方法及有关概念
略高要求
B级
掌握三角形中的主要线段:
高线、中线、角平分线
略高要求
C级
会画给定三角形的主要线段
较高要求
D级
联系生活环境、创设情景,通过观察、操作、交流和反思,体验所学数学知识
较高要求
【学习过程】
一、阅读教材P63、P65-P68,总结你学到的知识,也可以写下你的疑惑:
二、动手操作,探究新知
问题1.动手画一个三角形,记作:
;三个内角为:
、、;
三条边为:
、、.
练习:
图
(1)中有几个三角形?
请用符号表示出来
图
(1)
问题2.盖房子时,在窗框未安装好之前,木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条,如图
(2),为什么要这样作呢?
图
(2)
练习:
下列图中哪些具有稳定性?
问题3.⑴已知等腰三角形的一边等于8cm,另一边等于6cm,求此三角形的周长;
⑵已知等腰三角形的一边等于5cm,另一边等于2cm,求此三角形的周长.
问题4.如图(3)在△ABC中,画出角平分线AD,中线CE,以及高BF,若△ABC的面积是16cm2,AC=6cm,求AC边上的高线BF的长.
图(3)
三、问题拓展
1.如图(4)画出下列三角形(锐角三角形、直角三角形、钝角三角形)的三条高,注意三条高的交点,你有什么发现?
类似的探讨三角形的三条中线、三条角平分线的交点.
图(4)
2.如图(5),现有一张锐角三角形纸片△ABC,不借助作图工具,你能作出它的高AD、中线AE和角平分线AF吗?
说说你的想法.
图(5)
【自我评价】
本节课,我已能达到_________级目标的要求.
我尚未解决的问题还有:
__________________________________________________________.
第七章《三角形》自学提纲二
【自学内容】与三角形有关的角
【学习达成目标】
目标等级
目标内容
目标要求
A级
掌握三角形内角和定理的内容
基本要求
B级
会证明三角形内角和定理
略高要求
C级
会应用三角形内角和定理
略高要求
D级
学会辅助线添加方法
较高要求
【学习过程】
一、阅读教材P72-P74,总结你学到的知识,也可以写下你的疑惑:
二、讨论:
用两种方法证明——三角形的内角和为180°
方法
(1)证明:
方法
(2)证明:
三、三角形内角和定理的应用
例1.已知;AB//CD,求证:
∠1=∠A+∠C(多种方法)
备用图1
备用图2
例2.(方程思想求内角度数)
已知:
△ABC
(1)如果∠A=90°,∠C=55°,则∠B=
(2)如果∠A=60°,∠B-∠C=24°,则∠B=,∠C=
(3)如果∠C=4∠A,∠A+∠B=100°,则∠A=,∠B=,∠C=
(4)如果∠A:
∠B:
∠C=1:
2:
3,则∠A=,∠B=,∠C=,此三角形为三角形.
例3.找出图中相等的角,互余的角.
例4.如图C岛在A岛的北偏东50°的方向,B岛在A岛的北偏东80°的方向,C岛在B岛的北偏西40°方向.从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度?
四、问题扩展
1.如图BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB,请你探索∠A和∠D的数量关系
2.已知,如图5,在
中,
是高
和
的交点,观察图形,试猜想
和
之间具有怎样的数量关系,并论证你的猜想.
【自我评价】
本节课,我已能达到_________级目标的要求.
我尚未解决的问题还有:
__________________________________________________________.
第七章《三角形》自学提纲三
【自学内容】三角形的外角性质定理
【学习达成目标】
目标等级
目标内容
目标要求
A级
掌握三角形外角性质定理的内容
基本要求
B级
会证明三角形的外角性质定理及其推论
略高要求
C级
会应用三角形外角的性质定理及其推论进行推理计算或证明
较高要求
【学习过程】
一、阅读教材P.74~P.75,总结你学到的知识,也可以写下你的疑惑:
二、动手操作,探究新知
例1.如图:
∵∠A+∠B+=180°
∴∠A+∠B=180°-
又∵∠ACD为三角形的一个外角
∴+∠ACD=180°(邻补角定义)
∴∠ACD=180°-
∴∠ACD=∠A+∠B
在图中作图:
延长CA到E,延长AB到F,类似的可以得到:
;
相信同学们都已经发现了其中的规律,那么,你能用文字语言来表述上述事实吗?
三角形的外角性质定理
(一)三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角和
(二)三角形的任意一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
我们知道三角形的外角共有个,与每一个内角相邻的都有个外角,它们互为,从中任意取一个,把它们加起来,和是度,称这样的和为三角形的外角和。
定理:
三角形的外角和是360°
你能证明吗?
已知:
如图,△ABC,∠1,∠2,∠3为三角形的外角
求证:
∠1+∠2+∠3=360°
证明:
三、应用举例,巩固新知
例1.已知:
如图,D是△ABC的BC边上的一点,∠B=∠BAD,∠ADC=80°,∠BAC=70°
求:
(1)∠B的度数
(2)∠C的度数
例2.已知,AD平分∠BAC,AH⊥BC,∠B=50°,∠ADC=80°
求:
∠HAC的度数
问题拓展1.计算下图中:
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的度数
问题拓展2.求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数
【自我评价】
本节课,我已能达到_________级目标的要求.
我尚未解决的问题还有:
__________________________________________________________.
第七章《三角形》自学提纲四
【自学内容】三角形的内角和、外角性质定理习题课
【学习达成目标】
目标等级
目标内容
目标要求
A级
掌握三角形内角和定理、外角性质定理及其推论的内容
基本要求
B级
利用三角形内角和定理、外角性质定理及其推论进行推理计算或证明
略高要求
C级
在解决问题的过程中体会方程思想和转化思想
较高要求
【学习过程】
一、有关角度的计算问题
例1.已知;在△ABC中,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,∠A=80°,求∠BHC的度数.
引申:
若不给定∠A的度数,你能用∠A表示∠BHC吗?
例2.已知:
△ABC中,BO平分∠B,CO平分∠C,∠A=80°,求∠BOC的度数.
引申:
(1)若不知∠A具体度数,你能用∠A表示∠BOC的度数吗?
(2)若换为两外角的角平分线,如图所示,∠BOC和∠A关系如何?
(3)若换为一个内角,一个外角的角平分线,如图所示:
∠D和∠A关系如何?
二、有关推理的证明:
例3.已知:
如图,∠DAC=∠B求证:
∠ADC=∠BAC
例4.已知:
如图:
在△ABC中,∠C>∠B,AD⊥BC于D,AE平分∠BAC
求证:
∠EAD=
(∠C-∠B)
问题拓展.已知:
CE是△ABC外角∠ACD的角平分线,CE交BA于E,求证:
∠BAC>∠B
【自我评价】
本节课,我已能达到_________级目标的要求.
我尚未解决的问题还有:
__________________________________________________________.
第七章《三角形》自学提纲五
【自学内容】三角形的三边关系
【学习达成目标】
目标等级
目标内容
目标要求
A级
掌握三角形的三边关系定理的内容
基本要求
B级
能利用三角形三边关系定理确定三角形的边长取值或取值范围
略高要求
B级
会推理证明三角形的三边关系
略高要求
C级
能利用三边关系定理进行推理计算或证明
较高要求
D级
在解决问题的过程中体会分类讨论的思想
较高要求
【学习过程】
一、阅读教材P.64~P.65,总结你学到的知识,也可以写下你的疑惑:
二、动手操作,探究新知
例1.画一个三角形,使它的三条边长分别是7cm,5cm,4cm.
练习:
画一个三角形,使三边长分别是:
(1)9cm,2cm,1cm
(2)5cm,3cm,2cm
相信同学们可以发现,不是任意长度的三条线段都可以画出一个三角形的,那么,三条线段的长度需要满足什么条件才能画出此三角形呢?
三角形三边关系定理
(三)三角形两边之和大于第三边
如图:
△ABC中,a+b>c,b+c>a,c+a>b(两点之间线段最短)
由上式可变形为:
a>c-b,b>a-c,c>b-a
即有
(四)三角形的两边之差小于第三边
三、应用举例,巩固新知
例1.已知三角形的一边为7cm,另一边为4cm,设三边长为xcm,则x的取值范围是.
例2.
(1)已知等腰三角形的二边长分别为9cm和5cm,则此三角形的周长为______cm.
(2)已知等腰三角形的二边长分别是9cm和2cm,则此三角形的周长为_____cm..
例3.有长度为3,4,5,7四条线段,从中任意取出三条线段来,能构成多少个三角形?
例4.一个等腰三角形周长为18cm。
一边长为4cm,另两边分别为_______.
一个等腰三角形周长为20cm。
一边长为6cm,另两边分别为_______.
例5.已知:
等腰三角形的两边之和为16,两边之差为8,求此等腰三角形的周长.
例6.等腰△ABC中,AB=AC,一腰上的中线BD将这个三角形周长分为15和16两部,求此三角形的腰长和底边.
问题拓展.若△ABC中,AD是BC边上的中线,你能说明AD+BD>
(AB+AC)吗?
【自我评价】
本节课,我已能达到_________级目标的要求.
我尚未解决的问题还有:
__________________________________________________________.
第七章《三角形》自学提纲六
【自学内容】多边形及其内角和
【学习达成目标】
目标等级
目标内容
目标要求
A级
掌握多边形的有关概念(顶点、边、内角、外角、对角线)和表示方法,掌握正多边形的有关概念
基本要求
B级
掌握多边形内角和公式、外角和定理及其推导方法
略高要求
B级
会利用多边形内角和公式、外角和定理计算角度
略高要求
C级
会利用方程思想进行有关角度计算
较高要求
【学习过程】
一、阅读教材P.79~P.83,总结你学到的知识,也可以写下你的疑惑:
二、动手操作,探究新知
(一)多边形的有关概念
1.由n条不在同一条直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形叫做n边形,又称多边形;
2.n边形的顶点(n个),内角(n个),边(n条),外角(每个顶点处有两个);
3.凸多边形又可称为平面多边形,是多边形中的一种.所谓凸多边形,就是把一个多边形任意一边向两方无限延长成为一条直线,如果多边形的其他各边均在此直线的同旁,那么这个多边形就叫做凸多边形.如图1所示,多边形ABCDEF,把线段AF向两方无限延长,此多边形的其他各边AB、BC、CD、DE、EF均在此直线的同旁,所以多边形ABCDEF是凸多边形.凸多边形包含三角形和平面四边形.
4.凹多边形:
把一个多边形任意一边向两方无限延长成为一直线,如果多边形的其他各边不在此直线的同旁,那么这个多边形就叫做凹多边形.如图2所示,多边形ABCDEF,把线段AF向两方无限延长,此多边形的边AB与DE不在此直线的同旁,所以多边形
ABCDEF是凹多边形.
与凹多边形相对,一般在中学阶段对多边形的学习只涉及凸多边形.
5.n边形的对角线;连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
思考:
四边形共有几条对角线?
五边形共有几条对角线?
六边形共有几条对角线?
归纳:
n边形共有____________条对角线.
6.正多边形的概念
如果多边形的各条边都相等,各内角也都相等,称这个多边形为正n边形.
(二)多边形的内角和、外角和
我们已经知道三角形的内角和为180°,四边形、五边形、六边形以至于n边形的内角和为多少度呢?
以五边形ABCDE为例,试试你能用有别于教材的方法证明多边形的内角和公式吗?
多边形内角和公式:
________________________________________.
多边形外角和定理:
_________________________________________.
三、应用举例,巩固新知
有关角度的计算
例1.
(1)10边形的内角和为度,外角和为度.
(2)正10边形的每一个内角为度.
(3)已知一个多边形的内角和是2340°,则该多边形的边数为________________.
(4)一个正多边形的每一个内角为150°,则这个多边形为___边形.
例2.已知一个多边形的外角和是内角和的
,求此多边形的边数.
例3.计算正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形、正十二边形的每一个内角分别为多少度?
正n边形
正三角形
正四边形
正五边形
正六边形
正八边形
正十二边形
内角
例4.正多边形中,每个内角都是它相邻的外角的2倍,那么该多边形有_________条对角线.
例5.多边形的每一个内角都等于120°,则此多边形的对角线共有_________条.
例6.多边形内角和与某一个外角的度数总和是1350°,求多边形的边数.
问题拓展.任意一个凸多边形的内角中,是否有3个以上锐角?
【自我评价】
本节课,我已能达到_________级目标的要求.
我尚未解决的问题还有:
__________________________________________________________.
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