九年级上册第一章证明一.docx
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九年级上册第一章证明一
九年级上册第一章证明
(一)
『一』.知识归纳:
●知识点1等腰三角形的“三线合一”:
顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
●知识点2等边三角形是特殊的等腰三角形,作一条等边三角形的三线合一线,将等边三角形分成两个全等的直角三角形,其中一个锐角等于30º,这它所对的直角边必然等于斜边的一半。
●知识点3有一个角等于60º的等腰三角形是等边三角形。
●知识点4如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有:
①勾股定理:
(注意区分斜边与直角边)②在直角三角形中,如有一个内角等于30º,那么它所对的直角边等于斜边的一半③在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半(此定理将在第三章出现)
●知识点5垂直平分线是垂直于一条线段并且平分这条线段的直线。
(注意着重号的意义)
<直线与射线有垂线,但无垂直平分线>
●知识点6线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。
●知识点7线段垂直平分线逆定理:
到一条线段两端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
●知识点8三角形的三边的垂直平分线交于一点,并且这个点到三个顶点的距离相等。
(如图1所示,AO=BO=CO)
●知识点9角平分线上的点到角两边的距离相等。
●知识点10角平分线逆定理:
在角内部的,如果一点到角两边的距离相等,则它在该角的平分线上。
换言之,角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。
●知识点11三角形三条角平分线交于一点,并且交点到三边距离相等,交点即为三角形的内心。
(如图2所示,OD=OE=OF)
『二』典型例题解析
★例题解析1在△ABC中,AB=AC,∠1=
∠ABC,∠2=
∠ACB,BD与CE相交于点O,如图,
(1)∠BOC的大小与∠A的大小有什么关系?
(2)若∠1=
∠ABC,∠2=
∠ACB,则∠BOC与∠A大小关系如何?
(3)若∠1=
∠ABC,∠2=
∠ACB,则∠BOC与∠A大小关系如何?
答案:
(1)
(2)
(3)
★例题解析2如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,一腰上的中线BD将这个等腰三角形周长分成15和6两部分,求这个三角形的腰长及底边长.
答案:
腰长10,底边1
注意:
等腰三角形关于边长与角度问题必须讨论,但并不是
每种情况都成立
★例题解析3正三角形ABC所在平面内有一点P,使得△PAB、△PBC、△PCA都是等腰三角形,则这样的P点有( B )
(A)1个(B)4个(C)7个(D)10个
★例题解析4如图,已知BC=3,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,
OE∥AB,OF∥AC,求△OEF的周长。
提示:
利用等腰三角形性质作解,S△OEF=3
★例题解析5四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD于点E,且四边形ABCD的面积为8,则BE=( C )
A.2B.3C.
D.
提示:
利用割补思想来求面积
★例题解析6
已知,如图,△ABC是等边三角形,AD//BC,AD⊥BD,BC=6,求AD的长。
答案:
AD=3
★例题解析7如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,M是AB上一点,求证:
.
提示:
构造直角三角形,如图,作高CD,在几个直角三角形中
运用勾股定理即可,另外注意线段之间的和差关系。
★例题解析8
如图,已知在△ABC中,AB=AC,P为底边BC上任意一点,PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,求证:
PD+PE是一个定值.
提示:
如图中辅助线所示,把三角形分割为两部分,再利用等面积法求解
说明:
本例的结论可用文字语言叙述为:
等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高.
拓展:
如果点P不是在边BC上如图,而是在BC的延长线上,其它条件保持不变,那么PD与PE之间又有怎样的关系呢?
★例题解析9如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥AC交BC于点D,求证:
BC=3AD.
提示:
注意角度关系,用等腰三角形性质求解
★例题解析10如图,已知点B、C、D在同一条直线上,△ABC和△CDE都是等边三角形.BE交AC于F,AD交CE于H,
①求证:
△BCE≌△ACD;
②求证:
CF=CH;
③判断△CFH的形状并说明理由.
提示:
①△BCE≌△ACD(SAS)②△BCF≌△ACH(SAS)③结合前两问
★例题解析11
如图,P是等边三角形ABC内的一点,连结PA、PB、PC,以BP为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连结CQ.
(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系,并证明你的结论.
(2)若PA:
PB:
PC=3:
4:
5,连结PQ,试判断△PQC的形状,并说明理由.
提示:
(1)△ABP≌△CBQ(SAS)
(2)利用三角形全等,把PA、PB、PC对应到△PQC中,利用勾股定理即可
★例题解析12如图,∠ABC=90°,AB=BC,D为AC上一点,分别过C、A作BD的垂线,垂足为E、F,求证:
EF=CE-AF.
提示:
证明△ABF≌△CBE(SAS),等量代换
★例题解析13如图,在△ABC中,AD是∠BAC平分线,AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E
求证:
(1)∠EAD=∠EDA;
(2)DF∥AC
(3)∠EAC=∠B
提示:
注意角度间的等量代换
★例题解析14如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上的一点,PD⊥OA交OA于D,PE⊥OB交OB于E,F是OC上的另一点,连接DF,EF,求证DF=EF
提示:
两次三角形全等即可
★例题解析15已知△ABC的两条高BD、CE交于点F,延长CE到Q,使CQ=AB,在BD上截取BP=AC.
求证:
(1)AQ=AP;
(2)AQ⊥AP
提示:
(1)△APB≌△QAC(SAS)
(2)角度代换
『三』衔接中考:
考题1:
(2012广东肇庆,9,3)等腰三角形两边长分别为4和8,则这个等腰三角形的周长为
A.16B.18
C.20D.16或20
【答案】C
考题2:
(2012山东省滨州,1,3分)一个三角形三个内角的度数之比为2:
3:
7,这个三角形一定是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形
【答案】选D.
考题3:
2012四川泸州,11,3分)若下列各组值代表线段的长度,则不能构成三角形的是()
A.3,8,4B.4,9,6C.15,20,8D.9,15,8
答案:
A
考题4:
(2012江苏苏州,9,3分)如图,将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′,若∠AOB=15°,则∠AOB′的度数是( )
A.
25°
B.
30°
C.
35°
D.
40°
答案:
B
考题5:
(2012湖北荆州,9,3分)如图,△ABC是等边三角形,P是∠ABC的平分线BD上一点,PE⊥AB于点E,线段BP的垂直平分线交BC于点F,垂足为点Q.若BF=2,则PE的长为()
A.2B.2
C.
D.3
【答案】C
考题6:
(2012南京市,19,8)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=900,点D在BC的延长线上,且BD=AB,过点B作BE⊥AC,与BD的垂线DE交于点E.
(1)求证:
△ABC≌△BDE;
(2)△BDE可由△ABC旋转得到,利用尺规作出旋转中心O(保留作图痕迹,不写作法)
解析:
由两线垂直,利用余角的性质,推出∠DBE=∠A,证出△ABC≌△BDE;利用旋转的性质,旋转中心是对应点中垂线的交点做出旋转中心O.
证明:
(1)∵BE⊥AC,
∴∠A+∠ABE=900,
∵∠ABC=900,
∴∠DBE+∠ABE=900,
∴∠A=∠DBE
∵∠ABC=∠BDE=900,BD=AB
∴△AOF≌△DOC
(2)分别作对应点B、D连线的中垂线、A、B连线的垂直平分线,两线的交点即为旋转中心O.
考题7:
(2012江苏省淮安市,21,8分)已知:
如图,在□ABCD中,延长AB到点E.使BE=AB,连接DE交BC于点F.求证:
△BEF≌△CDF.
【答案】解:
证明:
因为四边形ABCD是平行四边形,所以CD=AB,AB∥CD.
因为BE=AB,所以CD=BE.
因为AB∥CD,所以∠EBF=∠DCB.
在△BEF和△CDF中,
,所以△BEF≌△CDF(AAS).
考题8:
(2013•郴州)如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠A=25°,D是AB上一点.将Rt△ABC沿CD折叠,使B点落在AC边上的B′处,则∠ADB′等于( )
A.
25°
B.
30°
C.
35°
D.
40°
答案:
D
考题9:
(2013•衡阳)如图,∠1=100°,∠C=70°,则∠A的大小是( )
A.
10°
B.
20°
C.
30°
D.
80°
答案:
C
考题10:
2013•湘西州)如图,一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板,拼成如下图形,其中∠C=90°,∠B=45°,∠E=30°,则∠BFD的度数是( )
A.
15°
B.
25°
C.
30°
D.
10°
答案:
A
考题11:
(2013•广安)等腰三角形的一条边长为6,另一边长为13,则它的周长为( )
A.
25
B.
25或32
C.
32
D.
19
答案:
C
考题12:
(2013凉山州)已知实数x,y满足
,则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是.答案为:
20.
考题13:
如图3,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,点D是BC边上的点,CD=1,将△ABC沿直线AD翻折,使点C落在AB边上的点E处,若点P是直线AD上的动点,则△PEB的周长的最小值是________.
考题14:
如图1,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,∠ABC的平分线BE交AC于E.
(1)求证:
AE=BC;
(2)如图
(2),过点E作EF∥BC交AB于F,将△AEF绕点A逆时针旋转角α(0°<α<144°)得到△AE′F′,连结CE′,BF′,求证:
CE′=BF′;
(3)在
(2)的旋转过程中是否存在CE′∥AB?
若存在,求出相应的旋转角α;若不存在,请说明理由.
解答:
(1)证明:
∵AB=BC,∠A=36°,
∴∠ABC=∠
C=72°,
又∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE=36°,
∴∠BEC=180°﹣∠C﹣∠CBE=72°,
∴∠ABE=∠A,∠BEC=∠C,
∴AE=BE,BE=BC,
∴AE=BC.
(2)证明:
∵AC=AB且EF∥BC,
∴AE=AF;
由旋转的性质可知:
∠E′AC=∠F′AB,AE′=AF′,
∵在△CAE′和△BAF′中
,
∴△CAE′≌△BAF′,
∴CE′=BF′.
(3)存在CE′∥AB,
理由:
由
(1)可知AE=BC,所以,在△AE
F绕点A逆时针旋转过程中,E点经过的路径(圆弧)与过点C且与AB平行的直线l交于M、N两点,
如图:
①当点E的像E′与点M重合时,则四边形ABCM为等腰梯形,
∴∠BAM=∠ABC=72°,又∠BAC=36°,
∴α=∠CAM=36°.
②当点E的像E′与点N重合时,
由AB∥l得,∠AMN=∠BAM=72°,
∵AM=AN,
∴∠ANM=∠AMN=72°,
∴∠MAN=180°﹣2×72°=36°,
∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=72°.
所以,当旋转角为36°或72°时,CE′∥AB.
考题15:
(2013凉山州)如图,△ABO与△CDO关于O点中心对称,点E、F在线段AC上,且AF=CE.
求证:
FD=BE.
解答:
证明:
∵△ABO与△CDO关于O点中心对称,
∴OB=OD,OA=OC,
∵AF=CE,
∴OF=OE,
∵在△DOF和△BOE中
∴△DOF≌△BOE(SAS),
∴FD=BE.
『四』课堂练习:
▼
(一)基础类型:
1.填空题:
(1)等腰三角形中,如果底边长为6,一腰长为8,那么周长是22。
(2)如果等腰三角形有一边长是6,另一边长是8,那么它的周长是20或22;如果等腰三角形的两边长分别是4、8,那么它的周长是20。
(3)等腰三角形的对称轴最多有3条。
2.填空题:
(1)如果△ABC是等腰三角形,那么它的边长(或周长)可以是(C)
A、;三条边长分别是5,5,11B、三条边长分别是4,4,8
C、周长为14,其中两边长分别是4,5D、周长为24,其中两边长分别是6,12
(2)等腰三角形一边长为2,周长为5,那么它的腰长为(D)
A、3B、2C、1.5D、2或1.5
3.已知等腰三角形的腰长是底边的3倍,周长为35cm,求等腰三角形各边的长。
5、15、15
4.
(1)等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。
(2)等腰三角形有一个角是120°,那么其他两个角的度数是300和300。
(3)△ABC中,∠A=∠B=2∠C,那么∠C=360。
(4)在等腰三角形中,设底角为x°,顶角为y°,则用含x的代数式表示y,得y=180-2x;用含y的代数式表示x,得x=
。
5.选择题:
(1)等腰三角形的一个外角为140°,那么底角等于(D)
A、40°B、100°C、70°D、40°或70°
(2)等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于(C)
A、顶角B、底角C、顶角的一半D、底角的一半
(3)在等腰三角形ABC中,∠A与∠B度数之比为5∶2,则∠A的度数是(B)
A、100°B、75°C、150°D、75°或100°
(4)等腰三角形ABC中,AB=AC,AD是角平分线,则“①AD⊥BC,②BD=DC,
③∠B=∠C,④∠BAD=∠CAD”中,结论正确的个数是(A)
A、4B、3C、2D、1
6.△ABC中,AB=AC=17,BC=16,DE垂直平分AB,分别交AB、AC于D、E两点则△BCD的周长是33。
7.在△ABC中,AB=AC,∠A=50°,AB的垂直平分线DE交AC于点D,垂足为E,则∠DBC的度数是150.
8.如图,已知△ABC中,点D、E在BC上,
AB=AC,AD=AE。
请说明BD=CE的理由。
提示:
△ABD≌△ACE(SAS)
9.已知,如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,EF垂直平分AD.求证:
∠B=∠FAC
10.已知:
CE⊥AB于点E,BD⊥AC于点D,BD、CE交于点O,且BO=CO.
求证:
O在∠BAC的角平分线上.
提示:
两次三角形全等
▼
(二)思维拓展:
1.等腰三角形底边长为5cm,腰上的中线把三角形周长分为差是3cm的两部分,则腰长为(B)
A、2cmB、8cmC、2cm或8cmD、不能确定
2.等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为450,则这个三角形是(D)
A、锐角三角形B、钝角三角形C、等边三角形D、等腰直角三角形
3.下列说法:
①若在△ABC中a2+b2≠c2,则△ABC不是直角三角形;
②若△ABC是直角三角形,∠C=900,则a2+b2=c2;
③若在△ABC中,a2+b2=c2,则∠C=900;
④若两直角边的平方和等于斜边的平方,可以判定这个三角形是直角三角形。
正确的有①②③④(把你认为正确的序号填在横线上)
4.若△ABC三边分别为a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,则△ABC的形状为(D)
(A)等腰三角形(B)直角三角形(C)等腰直角三角形(D)等边三角形
5.如图,P、Q是△ABC边BC上的两点,且QC=AP=AQ=BP=PQ,则∠BAC=(D)
A、1250B、1300C、900D、1200
6.正三角形ABC所在平面内有一点P,使得△PAB、△PBC、△PCA都是等腰三角形,则这样的P点有( A )
(A)1个(B)4个(C)7个(D)10个
7.已知△ABC为正三角形,P为其内一点,且AP=4,BP=
,CP=2,则△ABC的边长为(B)
(A)
(B)
(C)4(D)
8.如图11,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC边中点,E、F分别在AB、AC上,且DE⊥DF,求证:
AE+AF是一个定值.
证明:
提示:
连接AD,易证△BDE≌△ADF(ASA)
思考:
四边形AEDF的面积是否也是定值呢?
为什么?
9.如图以△ABC的边AB、AC为边,向形外作等边△ABD和等边△ACE,连BE、CD相交于点F。
求证:
(1)△DAC≌△BAE;
(2)BE=DC;(3)AF平分∠DFE
10.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,CE⊥AD,EF∥BC,求证:
EC平分∠FED。
提示:
利用角度相等即可
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- 九年级上册第一章 证明一 九年级 上册 第一章 证明