精品范里安微观经济学第12章不确定性.docx
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精品范里安微观经济学第12章不确定性
Chapter:
UncertaintyIntermediateMicroeconomics:
AModernApproach(7thEdition)HalR。
Varian(UniversityofCaliforniaatBerkeley)详细解答)详细解答第章:
不确定性(含详细解答)中级微观经济学:
现代方法(第7版)范里安著(加州大学伯克利)曹乾译(东南大学caoqianseu@163。
com)简短说明:
翻译此书的原因是教学的需要,当然也因为对现行中文翻译版教材的不满.范里安的书是一碗香喷喷的米饭,但市场上流行的翻译版却充满了沙子(翻译生硬而且错误颇多)。
我在美国流浪期间翻译了此书的大部分。
仅供教学和学习参考.1.不确定性不确定性是个无法更改的事实。
人们无时无刻不面临风险,比如淋浴,步行过街或投资时都存在风险。
某些金融制度例如保险市场和股票市场可以减少部分风险。
我们将在下一章学习这些市场的功能,在本章我们将研究如果选择带有不确定性,人们将如何做出决策。
.1或有消费(contingentconsumption)我们已经学完了标准的消费者选择理论,现在将这一理论推广到不确定性环境下的消费选择。
要问的第一个问题是,在不确定性的情形下,消费者选择的到底是什么“东西"?
在存在不确定性的情形下,我们认为消费者关心的是他得到不同消费束的概率分布....(probabilitydistribution).概率分布通常由不同的结果以及每种结果的概率组成,在消费选择的例子中,这个结果就是不同的消费束。
当某个消费者决定购买多少钱的汽车保险时,或者决定向股票市场投资多少钱时,他实际上就是对不同消费量的概率分布作出决策.例如,假设你手头有100元,正考虑是否购买13号彩票.如果你购买13号而且开奖时抽奖机抽出了13号,你就获得200元。
假设这个彩票要花5元钱。
我们关注的结果有两个:
抽奖机抽中13号和未抽中13号。
你的初始财富禀赋(不购买彩票时你的财富)分布为:
100元——中奖;100元-—未中奖.由于你没买彩票,13号是否中奖和你的财富无关;但是如果你花了5元钱购买了13号彩票,你的财富分布为:
295元-—中奖;95元-—未中奖。
由于购买了彩票,不同情形下(中奖和未中奖)的财富概率改变了.下面我们更详细地分析这一点。
为了便于说明,我们仅限于分析货币赌博(monetarygambles)的情形.当然,我们关注钱是因为钱能买到消费品,因此我们最终关注的其实是消费选择.同样的理由适用于商品赌博,但货币赌博的情形更易于分析。
还需要说明的是,我们分析的情形只涉及少数几个可能的结果,理由也是出于简单。
我们上面介绍的例子是博彩;下面我们将分析保险。
假设某人的初始财产价值35,000元,但有可能损失10,000元。
例如小偷偷了他的车,或者暴风雨摧毁了他的房子。
假设损失发生的概率为p=0.01。
此人财产的概率分布为:
25,000元——概率1%;35,000元——概率99%。
购买保险则会改变上述概率分布。
假设保险合同规定此人每缴纳1元保险费,在损失发生时可以获得100元的补偿。
当然,不管损失是否发生,保险费都是要缴的。
如果此人决定购买价值10,000元的保险,他要缴纳100元的保险费。
这种情形中,在1%的概率下他的财产为34,900元(=35,000元初始财产-10,000元损失+10,000元保险公司补偿—100元保险费),在99%的概率下他的财产为34,900元(=35,000元初始财产-100元保险费)。
因此不管风险是否发生,他最终的财富都是相同的,都是34,900元。
现在,保险充分补偿了他可能因风险而导致的损失。
一般来说,如果此人购买K元钱的保险,则需要缴纳保险费γK,该情形下他面对的赌博是1:
1γ为希腊字母,读作“gam—ma”。
2概率1%—-财产(25,000+K?
γK)元概率99%——财产(35,000?
γK)元此人将买多少钱的保险?
取决于他的偏好。
如果他很保守,他会买很多保险;如果他喜欢冒险,他可能一点也不买保险。
正如人们对消费普通商品的偏好不同一样,人们对概率分布的偏好也不同。
事实上,在分析不确定性情形下的决策时,你可以把不同条件下的财产看成不同的商品.1000元在遭受严重损失后,还能和1000元是同一个东西吗?
显然不是。
类似地,艳阳高照天气炎热条件下的冰淇淋甜筒,和阴雨绵绵寒冷彻骨条件下的冰淇淋甜筒也不是同一种商品。
一般来说,
“同一种商品”对某人的价值可能不同,这取决于此人在什么样的条件下得到这种商品。
可以将某种随机事件的结果看成不同的自然状态(statesofnature)。
上面的保险例子....有两个自然状态:
损失发生或者损失不发生。
但一般来说有很多自然状态。
于是我们可将或有消费方案(contingentconsumptionplan)定义为:
在不同自然状态下的消费方案,即......一个随机过程的不同结果。
..或有的意思是某事的发生带有前提条件,因此一个或有消费方案是指该消费方案取决于某些事件的结果。
以购买保险为例,或有消费是用保险合同条款规定的:
如果损失发生,你有多少钱;如果损失不发生,你有多少钱。
消费有时也取决于天气条件,这种情形下,或有消费方案是指你在各种天气条件下(例如晴天与阴天)的消费.就象消费者对不同消费束的存在偏好一样,消费者对不同或有消费方案也存在着偏好。
例如,如果你厌恶风险,你当然更喜欢充分的保险保障。
人们的选择决策反映了他们对于不同条件下的消费的偏好.因此,我们可以使用消费者选择理论分析这些选择.如果将一个或有消费方案看成一个普通的消费束,我们就回到了前面几章的分析架构。
我们可以将此时的偏好界定为对不同或有消费方案(即不同消费束)的偏好,而预算约束则........给出了“交易条件(termsoftrade)”.消费者必然在他能买得起的不同或有消费方案中,选择最好的。
我们可以构建模型分析这个问题,就象我们构建消费者选择普通消费束的模型一样。
象以前一样,我们可以用无差异曲线分析消费者购买保险的行为.在前面我们已指出,自然状态有两个:
损失发生以及损失不发生。
或有消费是在上述不同自然状态下你相应拥有的钱数.将或有消费用图.1表示。
你的或有消费的禀赋为:
25,000元--坏结果状态(损失发生);35,000元——好结果状态(损失不发生)。
购买保险会改变这个禀赋点.如果你购买了价值K元的保险,相当于你放弃了好结果状态下γK元的消费可能性,以换取坏结果状态下的(K?
γK)元的消费可能性。
因此,在好结果状态下你损失的消费除以坏结果下你额外得到的消费,可得:
?
CgγKγ=?
=?
.?
CbK?
γK1?
γ这就是通过你的禀赋的那条预算线的斜率。
它意味着你可以将好结果状态下消费的价格看为1?
γ,而将坏结果状态下消费的价格看为γ。
3图。
1:
保险保险。
上图画出了购买保险情形下的预算线。
购买保险后,我们放弃了好结果好结果状态保险好结果下的一些消费(Cg),以换取坏结果坏结果状态下更多的消费(Cb)。
坏结果我们可以画出代表消费者或有消费的预算线,此处假设无差异曲线为凸是比较自然的事:
这表示消费者更喜欢在每个状态下消费量都不变,而不是在某个状态下多消费一些在另外的状态下少消费一些。
给定每种自然状态下消费的无差异曲线,我们可以分析消费者应购买多少保险。
和以前一样,这可用相切条件描述:
两种自然状态下的消费的边际替代率,应该等于这两种状态下消费的价格之比。
当然,只要我们有最优选择模型,我们就可以使用前面章节研发的工具进行分析.我们可以分析保险需求如何随保险价格变动而变动,也可以分析保险需求如何随消费者的财富状况变动而变动,等等.分析不确定性下的消费者行为,我们前面介绍的消费者行为理论已足够用了,分析方法就象分析确定性条件下消费者的行为一样。
例子:
巨灾债券我们已经知道,保险是转移财富的一种方法,它将财富从好的自然状态转移到坏的自然状态。
保险交易涉及两个主体:
保险买方和保险卖方。
此处我们重点分析保险的销售方。
保险的销售可以分为两种类型:
一是零售,即保险公司直接和终端消费者交易;二是批发,即保险公司将风险卖给其他保险公司。
保险批发市场称为再保险市场(reinsurance.....market)。
一般来说,再保险市场依赖于诸如养老基金这样的大投资者,它们为风险提供了资金支持.然而,有些再保险公司却依靠个人大投资者.例如伦敦劳合社(Lloyd's),它是世界最著名的一个再保险机构,一般使用个人投资者。
近来,再保险行业正试点发行巨灾债券(catastrophebonds),据说,这种方式更能灵....活地提供再保险。
这些通常卖给大机构的债券,一般和诸如地震和飓风这类自然灾害捆绑在一起。
金融中介机构例如再保险公司或者投资银行,发行和某种可承保事件(比如赔款超过450亿美元的地震)挂钩的债券。
如果地震没发生,投资者可获得丰厚的利率回报。
但是,如果地震发生,赔款超过了债券规定的既定金额,则投资者血本无归。
巨灾债券有一些诱人的特征。
它们能广泛分散风险,而且还可将债券无限细分,这样每个投资者只承担一小部分风险。
购买债券的资金需要事先支付,因此对保险公司来说不存在违约风险。
从经济学的观点来看,“猫债券(catbonds)"是一种状态依赖证券(statecontingent......1security),也就是说,当且仅当某些特定事件发生时,这样的证券才支付报酬。
状态依赖证券这个概念由诺贝尔奖获得者肯尼斯。
J。
阿罗首先提出,他在1952年发表的一篇论文中使用了这个概念。
长期以来人们认为状态依赖证券只有理论意义,然而后来发现,所有种类的期权和其他金融衍生品都可以认为是状态依赖证券.现在,那些穿梭于华尔街金融市场的专家在创造新的衍生工具(如巨灾债券)时,都使用了这个已有50多年历史的科研成果.。
2效用函数与概率如果消费者对不同环境中的消费偏好是理性的,我们就可以象前几章一样,用效用函数描述他的偏好。
然而,此处我们考虑的是不确定性情形下的选择,这就对选择问题增添了新的形式。
一般来说,消费者如何评价不同状态下的消费,取决于这些状态实际发生的概率。
例如,考虑我打算用雨天的消费替代晴天的消费,替代比率显然和我认为下雨的概率有关。
消费者对于不同自然状态下消费的偏好,取决于他认为这些状态发生的概率有多大。
由于这个原因,我们将效用函数写为依赖于概率和消费水平的函数。
假设我们考虑两种互不相容的状态,例如下雨和不下雨,损失和不损失,等等。
令c1和c2分别表示状态1和状态2下的消费数量,令π1和π2分别表示状态1和状态2下损失实际发生的概率。
如果两种状态互不相容,这意味着只有其中一种状态发生,所以π2=1?
π1。
但是我们一般还是写出二者的概率,目的只是对称好看。
u(c1,c2,π1,π2)。
这个函数代表了消费者对每种状态下消费的偏好。
定义了上述记号后,我们就可以写出状态1和状态2下消费的效用函数,实例:
效用函数的若干例子在分析不确定性下的选择问题时,我们可以使用在前面几章介绍过的几乎所有的效用函数。
一个漂亮的例子是完全替代.此处自然可以使用每种消费的概率作为权重。
这样的效用函数的表达式为u(c1,c2,π1,π2)=π1c1+π2c2.在不确定的情形下,上述表达式称为期望值(expectedvalue)。
期望值是你能得到的平均消...费水平。
我们也可以使用柯布—道格拉斯效用函数分析不确定性下的选择问题:
πu(c1,c2,π1,π2)=c1c1?
π。
2猫债券(catbonds)是巨灾债券(catastrophebonds)的通俗叫法,原因在于catastrophe前三个字母正是cat。
译者注。
51由上式可以看出,不同消费束组合的效用是以非线性消费方式表达的。
和以前一样,我们可以对上述效用函数进行单调变换,得到一个新的效用函数,但这个新函数和上述效用函数代表的偏好是相同的。
使用对数形式的柯布-道格拉斯效用函数通常比较方便,它的表达式为u(c1,c2,π1,π2)=π1lnc1+π2lnc2.。
3期望效用一种特别方便的效用函数是下面这样的函数u(c1,c2,π1,π2)=π1v(c1)+π2v(c2).这个式子是说效用可以写成每种状态下的消费函数(v(c1)和v(c2))的加权和,其中权重分别为每种状态发生的概率(π1和π2)。
我们在上一节已举了两个这样函数的例子。
在完全替代或者称为期望值效用函数的表达式中v(c)=c.柯布—道格拉斯函数的原始形式不是期望值类型的函数,但是在取对数后,它就变成了线性形式,其中v(c)=lnc。
如果π2=1,v(c1)就是状态2下消费的效用。
因此表达式如果其中一种状态肯定发生,比如π1=1时,v(c1)就是状态1下消费的效用。
类似地,π1v(c1)+π2v(c2)表示消费(c1,c2)的平均效用或期望效用。
,由于这个原因,我们将上面的效用函数称为期望效用函数(expectedutilityfunction)......或者有时称为冯。
诺依曼—摩根斯坦效用函数(vonNeumann-Morgensternutilityfunction)..............
(一)。
当我们说消费者的效用可用期望效用函数表示时,或者说消费者的偏好具有期望效用的
性质时,我们的意思是说,我们可以选择一个具有上述可加性形式的效用函数。
当然我们也可以选择其他形式的效用函数;某个期望效用函数的任何单调变换和这个效用函数描述的偏好是相同的。
但是可加性形式的效用函数使用起来非常方便.如果消费者的偏好可用ππ1lnc1+π2lnc2表示,那么他的这种偏好也可用c1πc2表示。
但是后面这种表达式不具有12期望效用的性质,而前者具有。
另一方面,期望效用函数在经过某些类型的单调变换后,仍然具有期望效用的性质。
如果函数v(u)可以写成下列形式:
v(u)=au+b(其中a〉0),则将函数v(u)称为正仿射...变换(positiveaffinetransformation)。
正仿射变换意味着将某函数u乘以一个正数,然后再..加上一个常数.容易证明,如果你将某个期望效用函数进行正仿射变换,则这个正仿射函数不仅还代表着相同的偏好(这一点很明显,因为仿射变换只是一种特殊类型的单调变换),而且仍具有期望效用的性质。
约翰.冯。
诺依曼是20世纪最厉害的数学家之一。
他对物理学、计算机科学和经济理论也贡献了若干重要思想。
奥斯卡。
摩根斯坦是普林斯顿大学的经济学家,他和冯.诺依曼一起研发了数学博弈论。
6
(一)经济学家说期望效用函数只能进行正仿射变换.这就是说,你可以对期望效用函数进行正仿射变换得到另外一个期望效用函数,这个新函数和原来的函数代表的偏好相同。
但是如果你进行其他类型的单调变换,期望效用的性质就会被破坏掉..4为什么期望效用函数是合理的?
期望效用函数使用起来很方便,但它是否是合理的?
为什么要认为对不确定性下选择的偏好具有期望效用函数这种特别的结构?
事实上,它的合理具有让人信服的原因。
随机选择的结果是在不同环境下消费的消费品,这个事实意味着最终只有其中一种结果只有其中一种......会实际发生。
你的房屋要么烧毁要么不烧毁;天气要么是阴天要么不是阴天。
我们对选择问题的上述设定方式意味着很多可能结果中只有一种会实际发生,因此只有一种或有消费方案最终被实际实现。
这个结论的含义比较有趣。
假设你正在考虑是否为你的房子购买明天的火灾保险.在做决策时,你会关注三种情形下的财富大小:
你现在的财富c0)若房屋烧毁后你的财富c1)(;(;房屋没烧毁时的财富(c2)(当然,你真正关心的是三种结果中的消费可能性,但此处为。
毁的概率,则你对上述三种不同消费的偏好,通常可用效用函数u(π1,π2,c0,c1,c2)表示。
简单起见,我们用财富作为消费的指标.)令π1表示你房子被烧毁的概率,π2表示未被烧假设我们正在考虑用现在的财富去交换其中一种可能结果--比如,我们现在愿意放弃多少钱,以换取若房屋烧毁时多得一点钱。
于是,这个决策和你在其他自然状态的消费量这个决策和你在其他自然状态的.................无关,无关,即和若房屋未烧毁时你的消费量无关。
因为这个房屋要么烧毁要么未烧毁。
如果它...................不幸烧毁,则额外财富的价值不应该取决于若它未烧毁时你拥有的财富量.过去的已经过去不应该未烧毁......—-因此,未发生的事情不应该影响实际发生结果中的消费的价值.实际发生....注意这是对消费者个人的偏好的假设。
这个假设在某些情形下不成立。
因为当人们在假设..两件东西之间进行选择时,他们拥有的第三种东西的数量对他们上述选择决策很重要.例如,选择咖啡还是茶可能取决于你拥有多少奶油.注意这是因为你喜欢将咖啡中加入奶油。
但是,如果奶油和咖啡不是放在一起消费的,比如你的选择是下面这样的:
通过掷骰子的方式得到咖啡、茶和奶油中的一种,那么你可能得到的奶油数量不应该影响你对咖啡和茶的偏好。
为一种..什么?
因为这三种东西你只能得到一种:
如果你得到了奶油,那么你就不可能得到咖啡和茶。
因此,对于不确定性情形下的选择,各种结果在本质上是互相独立的,因为你不可能同时得到不同自然状态下的消费.人们在一种自然状态下作出的选择,应该和另外一种自然。
这个假设状态下作出的选择无关。
这个假设称为独立性假设(independenceassumption).....意味着或有消费的效用函数将采取比较特殊的形式:
不同或有消费束之间必然可加.也就是说,如果c1,c2和c3是不同自然状态下的消费,π1,π2和π3是这三种不同自然状
态发生的概率,在独立性的假设条件下,效用函数必然采取下列形式U(c1,c2,c3)=π1u(c1)+π2u(c2)+π3u(c3).这就是我们前面称呼的期望效用函数。
注意,期望效用函数的确满足下面的性质:
两种商品的边际替代率和第三种商品的数量无关。
比如,商品1和商品2的边际替代率为7MRS=?
U(c1,c2,c3)/?
c1π?
u(c1)/?
c1=?
1。
?
U(c1,c2,c3)/?
c2π2?
u(c2)/?
c2由上式可知,商品1和商品2的边际替代率仅取决于商品1和商品2的数量比率,和你拥有的商品3的数量无关。
.5风险厌恶在前面我们宣称,期望效用函数在分析不确定性情形下的选择问题时,具有某些方便的性质。
在本节我们举例说明.我们用期望效用函数分析一个简单的选择问题。
假设某消费者现在有10元钱。
他正考虑是否参加下面的赌博:
50%的概率下可赚取5元,50%的概率下损失5元钱。
他的最终财富因此是随机的:
50%的概率下拥有5元钱,50%的概率下拥有15元钱。
他财富的期望价期望价...值(expectedvalue)是.11u(15元)+u(5元)。
22用图.2说明.财富的期望效用是两个数即u(15元)和u(5元)的平均值,在图形上以。
5u(5)+.5u(15)表示。
我们还用u(10)标记了财富期望价值的效用。
注意,在该图中,期望财富的效用大于财富的期望效用,即1111u(×15+×5)=u(10)〉u(15)+u(5)。
2222,因为他更喜欢他财富的期望这种情形下,我们说消费者是风险厌恶的(riskaverse).....价值而不愿意去赌博。
当然,消费者的偏好也可能出现下面的情形,即他偏好财产的随机分布胜于它的期望价值,这种情形下我们说消费者是风险爱好者(risklover)。
图。
3给出.....风险爱好者的一个例子.图.2:
风险厌恶风险厌恶(riskaverse)。
对于风险厌恶的消费者来说,财富期望价值的效用风险厌恶8u(10),大于财富的期望效用。
5u(5)+。
5u(15)。
.5u(5)+。
5u(15)大于财富期望价值的效用u(10)。
图。
3:
风险爱好(riskloving)对于风险爱好的消费者来说,财富的期望效用.注意图.2和图。
3的区别。
风险厌恶的消费者的效用函数是凹的(concave)-—它凹的..的斜率随着财富增加而逐渐减小(曲线越来越平缓)风险爱好者的效用函数是凸的;(convex)凸的..—-它的斜率随着财富增加而逐渐增加(曲线越来越陡峭)。
因此,效用函数的曲率(curvature)衡量消费者对待风险的态度。
一般来说,效用函数越凹,消费者对风险越厌恶;效用函数越凸,消费者对风险越喜欢。
:
财富的期中间情形是线性效用函数。
这种情形下消费者是风险中性的(riskneutral).....望效用等于财富期望价值的效用。
在风险中性的情形下,消费者一点也不关心他财富的风险,他只关心财富的期望价值。
例子:
保险的需求我们用期望效用函数研究前面介绍过的保险需求.我们知道在那个例子中,消费者的财富为35,000元,可能遭受的损失为10,000元。
损失发生的概率为1%,购买K元的保险金额需要支付γK元的保险费。
我们在前面已用无差异曲线分析过这个选择问题,在那里我们已经知道保险的最优选择由下列条件决定:
两种结果(损失和不损失)下消费的边际替代率一定等于?
γ/(1?
γ)。
令π表示损失发生的概率,1?
π表示损失不发生的概率。
令状态1表示损失不发生,因此此人在该状态的财富为c1=35,000-γK,令状态2为损失发生,此状态下他的财富为c2=35,000—10,000+K-γK。
于是消费者对保险的最优选择,由两种结果下消费的边际替代率等于价格比率这个条件决定:
9MRS=?
π?
u(c2)/?
c2γ=?
.(1?
π)?
u(c1)/?
c11?
γ(。
1)现在我们从保险公司的角度看保险合同。
风险发生的概率为π,此时它们需要赔付K元;风险不发生的概率为1?
π,此时无需赔款。
不管风险发不发生,它们铁定收集保费γK元.于是,保险公司的期望利润为P=γK?
πK?
(1?
π)?
0=γK?
πK.假设保险公司在该合同上恰好不亏不盈.也就是说保险公司的保费率是“公平的”。
此处“公平"是指保险的期望价值恰好等于它的成本,即P=γK?
πK=0,这意味着γ=π。
将γ=π代入(。
1)式可得π?
u(c2)/?
c2π=.(1?
π)?
u(c1)/?
c11?
π删去上式左右两端的π/1?
π并重新整理可知,保险最优数量必然满足?
u(c1)?
u(c2)=。
?
c2?
c1(。
2)
这个式子表明:
损失发生时额外一元钱收入的边际效用,应该等于损失不发生时额外一元损失发生时额外一元钱收入的边际效用,损失发生时额外一元钱收入的边际效用................................钱的效用。
....假设消费者是风险厌恶者,因此他的资金的边际效用随着资金数量的增加而下降。
因此,如果c1>c2,则在c1处的边际效用将会小于c2处的边际效用,反之亦然。
而且,如果c1处的边际效用等于c2处的边际效用,正如(.2)显示的那样,则一定有c1=c2。
将前面的c1,c2表达式代入c1=c2可得35,000?
γK=25,000+K?
γK,这意味着K=10,000元。
这表明如果保险的费率是“公平"的,风险厌恶者总是购买足额保险(fullinsurance).为什么?
因为财富在每种状态下的效用,仅取决于消费者在该状态下拥有的财富总量,而不取决于在其他状态下的财富数量,因此,如果消费者在每种状态下拥有的财富量相等,财富的边际效用必然也相等.总结一下:
如果某消费者是厌恶风险的又是追求期望效用最大化的,如果他有机会购买公平保险,那么他的最优选择就是购买足额保险..6多样化现在我们转向另外一个涉及不确定性的问题-—多样化的好处。
假设你打算投资10010元钱于两个不同的公司,一个生产太阳镜,一个生产雨衣。
长期天气预报已经告诉你明年夏天晴阴天数各半.你怎么投资?
分散你的资金,两个公司各投入一些钱难道不是明智的做法吗?
多样化投资会使投资报酬更为确定,因此深受风险厌恶者喜爱。
例如,假设雨衣公司和太阳镜公司的股份价格都为10元每份。
如果夏季天天下雨,则雨衣公司的股份会值20元每份,太阳镜公司的股份值5元每份。
如果夏季天天晴朗,结果正好颠倒过来:
太阳镜公司的股份值20元每份,雨衣公司的股份值5元每份.如果你将100元全部投资于太阳镜公司,相当于你在赌博:
50%概率下得到200元,50%概率下得到50元。
如果你将100元全部投资于雨伞公司,结果是一样的:
在两种情形下你的期望收益是5元。
如果你对上述两家公司
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