高中数学 离散型随机变量的均值与方差教案 新人教A版选修23.docx
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高中数学离散型随机变量的均值与方差教案新人教A版选修23
2019-2020年高中数学离散型随机变量的均值与方差教案新人教A版选修2-3
教学目标:
知识与技能:
了解离散型随机变量的均值或期望的意义,会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望.
过程与方法:
理解公式“E(aξ+b)=aEξ+b”,以及“若ξB(n,p),则Eξ=np”.能熟
练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望。
情感、态度与价值观:
承前启后,感悟数学与生活的和谐之美,体现数学的文化功能与人文
价值。
教学重点:
离散型随机变量的均值或期望的概念
教学难点:
根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望
授课类型:
新授课
课时安排:
2课时
教具:
多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
1.随机变量:
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示
2.离散型随机变量:
对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量
3.连续型随机变量:
对于随机变量可能取的值,可以取某一区间内的一切值,这样的变量就叫做连续型随机变量
4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:
离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果;但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出,而连续性随机变量的结果不可以一一列出
若是随机变量,是常数,则也是随机变量并且不改变其属性(离散型、连续型)
5.分布列:
设离散型随机变量ξ可能取得值为x1,x2,…,x3,…,
ξ取每一个值xi(i=1,2,…)的概率为,则称表
ξ
x1
x2
…
xi
…
P
P1
P2
…
Pi
…
为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列
6.分布列的两个性质:
⑴Pi≥0,i=1,2,…;⑵P1+P2+…=1.
7.离散型随机变量的二项分布:
在一次随机试验中,某事件可能发生也可能不发生,在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量.如果在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是
,(k=0,1,2,…,n,).
于是得到随机变量ξ的概率分布如下:
ξ
0
1
…
k
…
n
P
…
…
称这样的随机变量ξ服从二项分布,记作ξ~B(n,p),其中n,p为参数,并记=b(k;n,p).
8.离散型随机变量的几何分布:
在独立重复试验中,某事件第一次发生时,所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量.“”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k次试验时事件A发生记为、事件A不发生记为,P()=p,P()=q(q=1-p),那么
(k=0,1,2,…,).于是得到随机变量ξ的概率分布如下:
ξ
1
2
3
…
k
…
P
…
…
称这样的随机变量ξ服从几何分布
记作g(k,p)=,其中k=0,1,2,…,.
二、讲解新课:
根据已知随机变量的分布列,我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率,但分布列的用途远不止于此,例如:
已知某射手射击所得环数ξ的分布列如下
ξ
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22
在n次射击之前,可以根据这个分布列估计n次射击的平均环数.这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均值或期望
根据射手射击所得环数ξ的分布列,
我们可以估计,在n次射击中,预计大约有
次得4环;
次得5环;
…………
次得10环.
故在n次射击的总环数大约为
,
从而,预计n次射击的平均环数约为
.
这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的,只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数,它反映了射手射击的平均水平.
对于任一射手,若已知其射击所得环数ξ的分布列,即已知各个(i=0,1,2,…,10),我们可以同样预计他任意n次射击的平均环数:
….
1.均值或数学期望:
一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为
ξ
x1
x2
…
xn
…
P
p1
p2
…
pn
…
则称……为ξ的均值或数学期望,简称期望.
2.均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数,它反映了离散型随机变量取值的平均水平
3.平均数、均值:
一般地,在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中,令…,则有…,…,所以ξ的数学期望又称为平均数、均值
4.均值或期望的一个性质:
若(a、b是常数),ξ是随机变量,则η也是随机变量,它们的分布列为
ξ
x1
x2
…
xn
…
η
…
…
P
p1
p2
…
pn
…
于是……
=……)……)
=,
由此,我们得到了期望的一个性质:
5.若ξB(n,p),则Eξ=np
证明如下:
∵
,
∴ 0×+1×+2×+…+k×+…+n×.
又∵
,
∴++…++…+.
故 若ξ~B(n,p),则np.
三、讲解范例:
例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,罚不中得0分,已知他命中的概率为0.7,求他罚球一次得分的期望
解:
因为
,
所以
例2.一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个选项,其中有且仅有一个选项是正确答案,每题选择正确答案得5分,不作出选择或选错不得分,满分100分学生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个,求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望
解:
设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是,则~B(20,0.9),,
由于答对每题得5分,学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5所以,他们在测验中的成绩的期望分别是:
例3.根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时要损失60000元,遇到小洪水时要损失10000元.为保护设备,有以下3种方案:
方案1:
运走设备,搬运费为3800元.
方案2:
建保护围墙,建设费为2000元.但围墙只能防小洪水.
方案3:
不采取措施,希望不发生洪水.
试比较哪一种方案好.
解:
用X1、X2和X3分别表示三种方案的损失.
采用第1种方案,无论有无洪水,都损失3800元,即
X1=3800.
采用第2种方案,遇到大洪水时,损失2000+60000=62000元;没有大洪水时,损失2000元,即
同样,采用第3种方案,有
于是,
EX1=3800,
EX2=62000×P(X2=62000)+200000×P(X2=2000)
=6xx×0.01+xx×(1-0.01)=2600,
EX3=60000×P(X3=60000)+10000×P(X3=10000)+0×P(X3=0)
=60000×0.01+10000×0.25=3100.
采取方案2的平均损失最小,所以可以选择方案2.
值得注意的是,上述结论是通过比较“平均损失”而得出的.一般地,我们可以这样来理解“平均损失”:
假设问题中的气象情况多次发生,那么采用方案2将会使损失减到最小.由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的,所以对于个别的一次决策,采用方案2也不一定是最好的.
例4.随机抛掷一枚骰子,求所得骰子点数的期望
解:
∵
,
=3.5
例5.有一批数量很大的产品,其次品率是15%,对这批产品进行抽查,每次抽取1件,如果抽出次品,则抽查终止,否则继续抽查,直到抽出次品为止,但抽查次数不超过10次求抽查次数的期望(结果保留三个有效数字)
解:
抽查次数取110的整数,从这批数量很大的产品中抽出1件检查的试验可以认为是彼此独立的,取出次品的概率是0.15,取出正品的概率是0.85,前次取出正品而第次(=1,2,…,10)取出次品的概率:
(=1,2,…,10)
需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率:
由此可得的概率分布如下:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.15
0.1275
0.1084
0.092
0.0783
0.0666
0.0566
0.0481
0.0409
0.2316
根据以上的概率分布,可得的期望
例6.随机的抛掷一个骰子,求所得骰子的点数ξ的数学期望.
解:
抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为
ξ
1
2
3
4
5
6
P
所以
1×+2×+3×+4×+5×+6×
=(1+2+3+4+5+6)×=3.5.
抛掷骰子所得点数ξ的数学期望,就是ξ的所有可能取值的平均值.
例7.某城市出租汽车的起步价为10元,行驶路程不超出4km时租车费为10元,若行驶路程超出4km,则按每超出lkm加收2元计费(超出不足lkm的部分按lkm计).从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km.某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客,由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定,每停车5分钟按lkm路程计费),这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量.设他所收租车费为η
(Ⅰ)求租车费η关于行车路程ξ的关系式;
(Ⅱ)若随机变量ξ的分布列为
ξ
15
16
17
18
P
0.1
0.5
0.3
0.1
求所收租车费η的数学期望.
(Ⅲ)已知某旅客实付租车费38元,而出租汽车实际行驶了15km,问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?
解:
(Ⅰ)依题意得 η=2(ξ-4)十10,即 η=2ξ+2;
(Ⅱ)
∵η=2ξ+2
∴2Eξ+2=34.8(元)
故所收租车费η的数学期望为34.8元.
(Ⅲ)由38=2ξ+2,得ξ=18,5(18-15)=15
所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟
四、课堂练习:
1.口袋中有5只球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3球,以表示取出球的最大号码,则()
A.4; B.5; C.4.5; D.4.75
答案:
C
2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分,罚不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7,求
⑴他罚球1次的得分ξ的数学期望;
⑵他罚球2次的得分η的数学期望;
⑶他罚球3次的得分ξ的数学期望.
解:
⑴因为,,所以
1×+0×
⑵η的概率分布为
η
0
1
2
P
所以0×+1×+2×=1.4.
⑶ξ的概率分布为
ξ
0
1
2
3
P
所以0×+1×+2×=2.1.
3.设有m升水,其中含有大肠杆菌n个.今取水1升进行化验,设其中含有大肠杆菌的个数为ξ,求ξ的数学期望.
分析:
任取1升水,此升水中含一个大肠杆菌的概率是,事件“ξ=k”发生,即n个大肠杆菌中恰有k个在此升水中,由n次独立重复实验中事件A(在此升水中含一个大肠杆菌)恰好发生k次的概率计算方法可求出P(ξ=k),进而可求Eξ.
解:
记事件A:
“在所取的1升水中含一个大肠杆菌”,则P(A)=.
∴ P(ξ=k)=Pn(k)=C)k(1-)n-k(k=0,1,2,….,n).
∴ ξ~B(n,),故 Eξ=n×=
五、小结:
(1)离散型随机变量的期望,反映了随机变量取值的平均水平;
(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤:
①理解ξ的意义,写出ξ可能取的全部值;②求ξ取各个值的概率,写出分布列;③根据分布列,由期望的定义求出Eξ公式E(aξ+b)=aEξ+b,以及服从二项分布的随机变量的期望Eξ=np
六、课后作业:
P64-65练习1,2,3,4P69A组1,2,3
1.一袋子里装有大小相同的3个红球和两个黄球,从中同时取出2个,则其中含红球个数的数学期望是(用数字作答)
解:
令取取黄球个数(=0、1、2)则的要布列为
0
1
2
p
于是E()=0×+1×+2×=0.8
故知红球个数的数学期望为1.2
2.袋中有4个黑球、3个白球、2个红球,从中任取2个球,每取到一个黑球记0分,每取到一个白球记1分,每取到一个红球记2分,用表示得分数
①求的概率分布列
②求的数学期望
解:
①依题意的取值为0、1、2、3、4
=0时,取2黑p(=0)=
=1时,取1黑1白p(=1)=
=2时,取2白或1红1黑p(=2)=+
=3时,取1白1红,概率p(=3)=
=4时,取2红,概率p(=4)=
0
1
2
3
4
p
∴分布列为
(2)期望E=0×+1×+2×+3×+4×=
3.学校新进了三台投影仪用于多媒体教学,为保证设备正常工作,事先进行独立试验,已知各设备产生故障的概率分别为p1、p2、p3,求试验中三台投影仪产生故障的数学期望
解:
设表示产生故障的仪器数,Ai表示第i台仪器出现故障(i=1、2、3)
表示第i台仪器不出现故障,则:
p(=1)=p(A1··)+p(·A2·)+p(··A3)
=p1(1-p2)(1-p3)+p2(1-p1)(1-p3)+p3(1-p1)(1-p2)
=p1+p2+p3-2p1p2-2p2p3-2p3p1+3p1p2p3
p(=2)=p(A1·A2·)+p(A1··)+p(·A2·A3)
=p1p2(1-p3)+p1p3(1-p2)+p2p3(1-p1)
=p1p2+p1p3+p2p3-3p1p2p3
p(=3)=p(A1·A2·A3)=p1p2p3
∴=1×p(=1)+2×p(=2)+3×p(=3)=p1+p2+p3
注:
要充分运用分类讨论的思想,分别求出三台仪器中有一、二、三台发生故障的概率后再求期望
4.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球,从中同时取出2个,含红球个数的数学期望是1.2
解:
从5个球中同时取出2个球,出现红球的分布列为
0
1
2
P
5.、两个代表队进行乒乓球对抗赛,每队三名队员,队队员是,队队员是,按以往多次比赛的统计,对阵队员之间胜负概率如下:
对阵队员
A队队员胜的概率
B队队员胜的概率
A1对B1
A2对B2
A3对B3
现按表中对阵方式出场,每场胜队得1分,负队得0分,设队,队最后所得分分别为,
(1)求,的概率分布;
(2)求,
解:
(Ⅰ),的可能取值分别为3,2,1,0
根据题意知,所以
(Ⅱ)
;
因为,所以
七、板书设计(略)
八、教学反思:
(1)离散型随机变量的期望,反映了随机变量取值的平均水平;
(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤:
①理解ξ的意义,写出ξ可能取的全部值;
②求ξ取各个值的概率,写出分布列;
③根据分布列,由期望的定义求出Eξ公式E(aξ+b)=aEξ+b,以及服从二项分布的随机变量的期望Eξ=np。
2019-2020年高中数学离散型随机变量的期望教案新人教A版必修2
一、教材分析
教材的地位和作用
期望是概率论和数理统计的重要概念之一,是反映随机变量取值分布的特征数,学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫。
同时,它在市场预测,经济统计,风险与决策等领域有着广泛的应用,为今后学习数学及相关学科产生深远的影响。
教学重点与难点
重点:
离散型随机变量期望的概念及其实际含义。
难点:
离散型随机变量期望的实际应用。
[理论依据]本课是一节概念新授课,而概念本身具有一定的抽象性,学生难以理解,因此把对离散性随机变量期望的概念的教学作为本节课的教学重点。
此外,学生初次应用概念解决实际问题也较为困难,故把其作为本节课的教学难点。
二、教学目标
[知识与技能目标]
通过实例,让学生理解离散型随机变量期望的概念,了解其实际含义。
会计算简单的离散型随机变量的期望,并解决一些实际问题。
[过程与方法目标]
经历概念的建构这一过程,让学生进一步体会从特殊到一般的思想,培养学生归纳、概括等合情推理能力。
通过实际应用,培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力和学以致用的数学应用意识。
[情感与态度目标]
通过创设情境激发学生学习数学的情感,培养其严谨治学的态度。
在学生分析问题、解决问题的过程中培养其积极探索的精神,从而实现自我的价值。
三、教法选择
引导发现法
四、学法指导
“授之以鱼,不如授之以渔”,注重发挥学生的主体性,让学生在学习中学会怎样发现问题、分析问题、解决问题。
五、教学的基本流程设计
六、教学过程
教学内容
设计意图
创
设
情
境
引
入
新
课
[情境一]
某商场要将单价分别为18,24,36的3种糖果按3:
2:
1的比例混合销售,其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等,如何对混合糖果定价才合理?
[情境二]
若此商场经理打算在国庆节那天在商场外举行促销活动,如果不遇到雨天可获得经济效益10万元,如果遇到雨天则要损失4万元,据9月30日气象台预报国庆节那天有雨的概率是40%,则此商场平均可获得经济效益多少元?
[情境一]和[情境二]中的问题所涉及的是生活中常见的一种商业现象,问题的生活化可激发学生的兴趣和求知欲望,同样这样的问题也影响学生的思维方式,学会用数学的视野关注身边的数学。
建
构
概
念
学生在未学习期望的概念之前解法可能如下:
[情境一]解答:
根据混合糖果中3种糖果的比例可知在1kg的混合糖果中,3种糖果的质量分别是kg,kg和kg,则混合糖果的合理价格应该是18×+24×+36×=23()
[情境二]解答:
商场平均可获经济效益为10×0.6-4×0.4=4.4(万元)
为了将两个式子中的数字与随机变量的取值及其概率建立关系,归纳出期望的定义。
接着引导学生分析[情境一]
∵混合糖果中每颗糖果的质量都相等
∴在混合糖果中任取一粒糖果,它的单价为18,24或36的概率分别为,和,若用表示这颗糖果的价格,则每千克混合糖果的合理价格表示为
18×P(=18)+24×P(=24)+36×P(=36)
分析[情境二]得
商场平均可获经济效益为10×P(=10)+(-4)×P(=-4)
这两个问题的解决将为归纳出期望的定义作铺垫。
细心的学生会发现以上两式从形式上具有某种相似性,通过比较,归纳出离散型随机变量期望的定义。
归纳是一种重要的推理方法,由具体结论归纳概括出定义能使学生的感性认识升华到理性认识,培养学生从特殊到一般的认知方法。
比较两式、归纳定义
一般地,若离散型随机变量的概率分布为
…
…
…
…
则称
为的数学期望或均值,数学期望又简称为期望。
用文字语言描述抽象的数学公式
E=·+·+…+·+…
即:
离散型随机变量的数学期望即为随机变量取值与相应概率分别相乘后相加。
加深公式记忆
理
解
概
念
练习1:
离散型随机变量的概率分布
1
100
P
0.01
0.99
① 求可能取值的算术平均数。
② 求的期望。
解答如下
①、可能取值的算术平均数为
②、E=1×0.01+100×0.99=99.01
练习2:
随机抛掷一个骰子,求所得骰子的点数的期望。
结论:
若
则E=×+×+…+×
=
练习3:
篮球运动员在比赛中每次罚球中得1分,罚不中得0分。
已知某运动员罚球命中的概率为0.7,那么他罚球1次的得分的均值是多少?
当学生求得E=0.7后,
提出问题:
均值为0.7分的含义是什么?
(让学生理解所求得的E=0.7即为罚球1次平均得0.7分.我们也说他只能期望得0.7分.)
练习4:
甲、乙两名射手一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量与,且,的分布列为
1
2
3
P
0.3
0.1
0.6
1
2
3
P
0.3
0.4
0.3
两人的技术情况如何?
请解释你所得结论的实际含义?
弄清数学概念、理解数学概念是学生学好数学的基础和前提,为了加深学生对概念的理解,设置以下4道练习。
其中练习1是为了让学生进一步理解期望是反映随机变量在随机试验中取值的平均值,它是概率意义下的平均值,不同于相应数值的算术平均数。
所设置的两个问题将学生的注意力转而集中到对解题过程的分析,求得答案,进而通过对比,发现以下两个结论
①、随机变量相应数值的算术平均数并不能真正体现的期望。
因为取值100的概率比取值1的概率大得多。
②、随机变量取值的算术平均数即为时的期望。
练习2与结论②相统一,更进一步说明取不同数值时的概率都相等时,随机变量的期望与相应数值的算术平均数相等。
这两道练习都是为了进一步理解期望的含义。
注意事项
①、 区别与E
随机变量是可变的,可取不同的值。
而期望E是不变的,由的分布列唯一确定,所以称之为概率分布的数学期望,它反映了取值的平均水平。
②、 区别随即机变量的期望与相应数值的算术平均数。
期望表示随机变量在随机试验中取值的平均值,它是概率意义下的平均值,不同于相应数值的算术平均数。
实
际
应
用
例1:
有一批数量很大的产品,其次品率是15℅。
对这批产品进行抽查,每次抽出1件,如果抽出次品,则抽查终止,否则继续抽查,直到抽到次品,但抽查次数最多不超过10次。
求抽查次数的期望。
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- 高中数学 离散型随机变量的均值与方差教案 新人教A版选修23 离散 随机变量 均值 方差 教案 新人 选修 23