人教版高中数学必修414《正切函数的图象与性质》教学设计.docx
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人教版高中数学必修414《正切函数的图象与性质》教学设计
1.4.3正切函数的性质与图象
一、教学目标
(一)核心素养
通过这节课的学习,了解研究正切函数图象的方法,掌握正切函数的图象特征与性质,并运用性质解决一定的实际问题.
(二)学习目标
学生已经有了研究正弦函数余弦函数的图象与性质的经验,正切函数在研究方法与研究内容上与前者类似,但某些性质有所不同,这就养成学生在画图时必须全面考虑问题.本着课改理念,养成学生对知识的勇于探索精神,学生亲自体会正切曲线的获得过程,这样学生的动手实践能力有了提高,又体会到学习数学的乐趣,根据教学要求及学生现有的认知水平,现制定以下教学目标:
1.知识目标:
1)能用单位圆中的正切线画出正切函数的图象.
2)熟练根据正切函数的图象推导出正切函数的性质.
3)掌握利用数形结合思想分析问题解决问题的技能.
2.能力目标:
1)通过类比,联系正弦函数图象的作法.
2)能学以致用,结合图象分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质.
(三)学习重点
正切函数的图象及其主要性质(包括周期性单调性奇偶性值域);深化研究函数性质的思想方法.
(四)学习难点
正切函数图象与性质的应用
二、教学设计
(一)课前设计
1.预习任务
(1)读一读:
阅读教材第48页至第51页,填空.
正切函数的周期是_
_,是增函数,在开区间
内都是增函数,它的值域是__R__.
2.预习自测
(1)画出下列各角的正切线:
【知识点】正切线
【数学思想】数形结合
【思路点拨】注意第二、三象限正切线的变化,投影到第四、一象限做正切线.
【解题过程】【答案】略
(2)复习相关诱导公式
tan(x+π)=
;tan(-x)=
.
【知识点】任意角三角函数诱导公式
【数学思想】转化思想
【思路点拨】“奇变偶不变,符号看象限”
【解题过程】tan(x+π)中,根据
,系数为偶数2,三角函数名不变.假定x为锐角,
为第三象限角,其正切为正,∴
.同理,
.
【答案】tan(x+π)=
;tan(-x)=
.
(二)课堂设计
1.知识回顾
(1)任意角α的终边与单位圆交于点
(
),则α的正切
=
.
(2)下图1中,有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线.
图1.三角函数线
(3)正弦函数
的图象如图2,其最小正周期为
,是奇函数,在每一个闭区间
上都是增函数,其值从-1到1;在每一个闭区间
都是减函数,其值从1到-1;余弦函数
的图象如图3,它是偶函数,在每一个闭区间
上都是增函数.
图2.正弦函数图象图3.余弦函数图象
2.问题探究
探究一:
正切函数有哪些性质?
(1)定义域:
回顾正切的定义,其中角是任意角吗?
由正切函数定义,若角x的终边过点
,则
知,当
,即
时,
无意义,故正切函数
的定义域为
.
(2)周期性
结合周期函数的定义,由诱导公式
,能得出什么样的结论?
根据
,可得出正切函数
的一个周期为
,且由单位圆中正切线的变化情况可知,
为该函数的最小正周期.
(3)奇偶性
结合奇偶函数的定义,由诱导公式
,能得出什么样的结论?
正切函数
为奇函数,函数图象关于原点对称.
(4)单调性
由正切线的变化规律,正切函数
具有怎样的单调性?
正切函数在
内是增函数,又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间
(
)内都是增函数.
(5)值域
由正切线的变化规律,分析正切函数
的值域是多少.
由图1(Ⅰ)可知,当x大于
且无限接近于
时,正切线AT向y轴的负方向无限延伸;由图1(Ⅱ)可知,当x小于
且无限接近于
时,正切线AT向y轴的正方向无限延伸.故,
在
内可以取任意实数,但没有最大值、最小值.因此,正切函数的值域是
.
探究二:
由正切函数的性质和单位圆中正切线如何得出正切函数图象?
(1)类比已经学习的正弦函数、余弦函数的图象与性质,应该按照怎样的步骤研究正切函数?
正切函数的是最小正周期为
的周期函数,所以只需画出它在一个周期内的图象,然后通过平移就可以得到在整个定义域内的图象,可先选择区间
;而正切函数又是奇函数,所以只需要画出在
上的图象即可.
研究正切函数图象的步骤如下:
【设计意图】理清思路,学习分析问题的方法.
(2)类别正弦函数、余弦函数,应该怎样画正切函数的图象?
根据正切函数的定义域、周期性和奇偶性,选择先在区间
上作出它的图象:
①作平面直角坐标系,并在直角坐标系中
轴左侧作单位圆;
②把单位圆第一象限分成4等份,分别在单位圆中作出正切线;
③描点(横坐标是半周期4等分点对应的值,纵坐标是相应的正切线的终点对应的值);
④连线.
再根据奇函数图象关于原点对称,画出
范围内的图象.(如图4)
图4.由正弦线画正切函数
在
范围内图象
图5.正切函数
图象
最后由正切函数的周期性,只要把图4中的图象向左、向右扩展,就可以得到正切函数
(
)的图象,称之为正切曲线(如图5所示).
【设计意图】实际操作,锻炼动手能力.
(3)观察正切曲线,分析正切函数的性质
①定义域:
函数在
处无定义,符合先前分析的定义域为
.
②单调性:
对于每一个
,在开区间
内,正切函数图象从左往右升高,正切函数单调递增.
③值域:
靠近
时,函数图象向下无限逼近直线
,靠近
时,函数图象向上无限逼近直线
,能够取到R上任意实数,值域为R.
④渐近线:
正切曲线不限逼近的直线
称之为正切曲线各支的渐近线.正切曲线是由被渐近线隔开的无穷多支曲线组成的,且在渐近线处无取值,即函数无定义.
⑤对称性:
正切曲线关于每一段图象与x轴的交点
对称,且关于渐近线与x轴交点
对称,但正切曲线不关于任何直线对称.即,正切曲线不是轴对称图形,而是中心对称图形,其对称中心为
.
【设计意图】前后呼应,扩展延伸,加深对正切函数性质的理解.
探究三:
应用
例1.求函数
的定义域、周期和单调区间.
【知识点】正切函数的定义域、周期和单调性.
【数学思想】换元思想,整体思想.
【思路点拨】把
看作整体,利用正切函数的定义域、周期和单调性知识求解.
【解题过程】
令
,得
,所以函数
的定义域
.
周期
.
令
,得
,
所以函数
的单调增区间为
.
【答案】定义域:
;周期T=2;单调递增区间
.
例2.求函数的定义域.
(1)
;
(2)
.
【知识点】函数的定义域,解不等式,正切函数的性质.
【数学思想】换元思想、整体思想.
【思路点拨】先求不等式在
内的解集,再根据正切函数的周期性求解出所有范围.
【解题过程】
(1)由题意,
,在
内,
,∴
,又因为y=tanx是周期为π的周期函数,所以函数的定义域为
.
(2)因为tanx≥
所以
,因为y=tanx在
上单调递增,所以在
上,tanx≥1的解集为
.又因为y=tanx是周期为π的周期函数,所以tanx≥
的解集为
,k∈Z,此即为函数的的定义域.
【答案】
(1)
;
(2)
.
例3.比较
与
的大小
【知识点】正切函数的周期性,单调性
【数学思想】函数思想
【思路点拨】先将利用周期性
转化为
,再根据y=tanx在
上单调性,比较
的大小
【解题过程】因为
,又
,且y=tanx在
上单调递增,所以
,即
.
【答案】
3.课堂总结
(1)正切函数的图象;
(2)正切函数的性质.
【设计意图】由学生自己小结,提高课堂的有效教学,让学生养成好的学习习惯,问自己今天学到什么内容.
(三)课后作业
基础型自主突破
1.函数y=tan3πx的最小正周期是()
A.
B.
C.
D.
【知识点】正切函数的最小正周期.
【数学思想】换元、代换思想.
【思路点拨】由
周期
求解.
【解题过程】
.
【答案】A
2.函数y=tan(
-x)的定义域是()
A.{x|x∈R且x≠-
}B.{x|x∈R且x≠
}
C.{x|x∈R且x≠kπ-
,k∈Z}D.{x|x∈R且x≠kπ-
,k∈Z}
【知识点】正切函数的定义域.
【数学思想】换元、代换思想.
【思路点拨】根据正切函数的定义域换元求解.
【解题过程】由
,解得
(
),即
(
).
【答案】C
3.下列不等式中正确的是()
A.tan
π>tan
πB.tan
π π C.tan(- π)>tan(- π)D.tan(- π) π) 【知识点】正切函数的单调性应用. 【数学思想】函数思想、数形结合. 【思路点拨】利用函数单调性、正切函数图象比较大小. 【解题过程】因为 , ,所以 ,A错.同理,B错. ,又 ,且 ,由正切函数在 单调递增,可得 ,即 .同理,D错. 【答案】C 4.在下列函数中,同时满足: ①在(0, )上递增;②以2π为周期;③是奇函数的是() A.y=tanxB.y=cosxC.y=tan D.y=-tanx 【知识点】正切函数、余弦函数图象与性质、函数图象的伸缩变换 【数学思想】 【思路点拨】联系正切函数,余弦函数图象与性质求解. 【解题过程】A不满足②,B不满足①,C满足所有条件,D不满足①②. 【答案】C 能力型师生共研 5.不等式 的解集是___________________. 【知识点】正切函数图象与性质 【数学思想】先求不等式在 内的解集,再根据正切函数的周期性求解出所有范围. 【思路点拨】联系正切函数图象与性质,先求出 内范围,再根据周期性求出全部解集. 【解题过程】由题意, ,又 内,正切函数单调递增,所以 ,结合周期性,所求解集为 . 【答案】 . 6.求函数 的单调区间. 【知识点】正切函数的单调性. 【数学思想】整体思想,换元思想. 【思路点拨】由复合函数单调性性质,函数为递减函数,再根据正切函数的单调区间求出单调区间. 【解题过程】令 ( ),解得 . 【答案】单调递减区间为 . 探究型多维突破 7.画出y=|tanx|的图象,并指出定义域、值域、最小正周期、单调区间. 【知识点】正切函数的图象, 与 图象关系. 【数学思想】数形结合. 【思路点拨】 图象x轴下方的部分,翻折到x轴上方,得到 图象. 【解题过程】先画出 的图象,再将x轴下方的图象,翻折到x轴上方. 【答案】 定义域: {x|x≠ +kπ,k∈Z};值域: [0,+∞);最小正周期: π;单调增区间: [kπ, +kπ),k∈Z,单调减区间: (- +kπ,kπ],k∈Z. 8.用函数单调性的定义探究: 正切函数在整个定义域内是增函数吗? 为什么? 【知识点】正切函数的单调性. 【思路点拨】联系单调函数的定义,探讨在整个定义域内,正切函数是否符合定义域内任意两个实数 ,若 ,都有 . 【解题过程】 (1)不是,因为在单调区间之间并不单调,所以单调区间是一个个独立的区间,而不存在并集的问题. 如果正切函数在整个定义域内是增函数,按照定义,对于定义域内任意两个实数 ,若 ,都有 .举反例, ,但 .故正切函数不是在整个定义域内的增函数.但正切函数,在每个区间 范围内,满足单调递增函数的定义,是增函
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