函数的图象与性质一解读.docx
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函数的图象与性质一解读
函数的图象与性质
(一)
[重温旧识感悟深]
函数性质是函数特征的基本反应,也是高考函数考查的知识要点;理解和掌握这一部分的知识,要从函数的定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等多角度、多方面地对函数有系统地理解。
[查漏补缺达圆满]
1.函数在[0,1]上的最大值与最小值之和为,则的值为()
A.B.C.2D.4
答案:
B
解析:
由.
2.定义在R上的函数满足=,当x∈[3,5]时,=2-,则()
A.B.
C.D.
答案:
D
解析:
不成立。
排除(A),同理排除(B)(C).
3.令是[-1,1]上的增函数,且则方程在[-1,1]内()
A.可能有3个实数根 B.可能有2个实数根
C.有唯一的实数根 D.没有实数根
答案:
C
解析:
在[-1,1]上是增函数,又·,故函数的图象在[-1,1]内必有一交点且只有一个交点。
4.已知函数的定义域为R,且满足,当时,单调递减,已知,且则的值()
A.可能为0 B.恒大于0 C.恒小于0 D.可正可负
答案:
C
解析:
由
,不妨令
且在上单调递减。
。
5.函数,已知,则。
答案:
解析:
令,显然为奇函数。
6.已知为偶函数,且在上为减函数,则的单调递增区间为.
答案:
解析:
可用特殊函数法:
令则
也可利用复合函数的单调性求解。
[交流探讨快乐学]
1.函数对于任意实数满足条件:
=,若,则.
答案:
解析:
2.对,记,函数=max,则的最小值为.
答案:
解析:
由图象
可得
3.令函数是定义在R上的以3为周期的奇函数,且满足则a的范围为.
答案:
解析:
4.令函数y=的最大值为M,最小值为m,则M+m=.
答案:
2
解析:
=
5.已知=是上的减函数,那么a的取值范围是()
A.(0,1)B.(0,)C.[)D.[)
答案:
C
解析:
6.已知函数若,则()
A.B.
C.D.
答案:
A
解析:
由已知的图象开口向上,且对称轴
又
①若
②
即
7.设函数是定义在的奇函数,当时,
<1>当x∈(0,1]时,求的解析式。
<2>若a﹥-1,试判断在上的单调性,并证明.
<3>是否存在a,使时有最大值-6.
解析:
<1>令
又
<2>
从而在上单调递增.
<3>①若,由<2>可知,在上单调递增矛盾
(矛盾)
②若,
且当时有 当时有 ,
在时取极大值,又由极值的唯一性可知:
综合①②可知:
存在满足条件
[反思总结新发现]
函数的单调性既可以采用定义法进行判断和证明,同时对于具体函数,导数法的应用将可使问题更为简化,你能很快地独立解决好下面问题吗?
例:
(2006,天津)已知函数的图象与函数的图象关于直线对称,记.若在区间[,2]上为增函数,则实数的范围为()
A.[2,+∞)B.(0,1)∪(1,2)C.[,1)D.(0,]
答案:
D
解析:
易知
①若在上恒成立
②若,则在上恒成立在上恒成立(舍去)
[下水冲浪成骄子]
1.函数的定义域为,则的定义域为()
A.[0,]B.[-1,4]C.[-5,5]D.[-3,7]
答案:
A
解析:
2.已知是定义在R上的函数,满足,,则是()
A.偶函数,周期函数 B.奇函数,周期函数
C.周期函数,无奇偶性 D.非周期函数,无奇偶性
答案:
A
解析:
又为奇函数
为周期函数。
3.设函数的定义域为,如果对于任意的,存在唯一的,使=.(为常数)成立,则称函数y=在上的均值为,给出下列四个函数:
①②③④
则满足在其定义域上均值为2的所有函数是()
A.①②B.③④C.①③④D.①③
答案:
D
解析:
本题考查函数的单调性和值域,对于②:
若,显然不存在满足条件,对于④,若,显然不存在满足条件,答案选D。
4.函数与有相同的定义域,且对于定义域中的任意,有,且的解集为,则函数=是 ( )
A.奇函数 B.偶函数
C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数
答案:
B
解析:
5.已知是上的奇函数,是上的偶函数,且,则=,=.
答案:
。
解析:
,
。
6.函数的反函数为,又已知与互为反函数,则=.
答案:
2
解析:
与互为反函数,
又的反函数为,
令。
7.设是定义在上的以2为周期的周期函数,且为偶函数,在区间上,.
<1>求时,的解析式
<2>若矩形的两个顶点在轴上,在的图象上,求这个矩形面积的最大值。
解析:
<1>是以2为周期的周期函数,且为偶函数
同样以为对称轴,即:
<2>当时
当时,.
如图,矩形应关于对称
设矩形顶点,矩形面积为,则
令(舍)
当时,取到极大值,故.
8.设是定义在上的偶函数,其图象关于直线对称,对任意,都有,且.
<1>求及
<2>证明是周期函数
<3>记,求
解析:
<1>解:
又显然
同理:
<2>证明:
是以2为周期的周期函数.
<3>解:
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