完整版一元二次方程归纳总结.docx
- 文档编号:8346345
- 上传时间:2023-01-30
- 格式:DOCX
- 页数:25
- 大小:31.08KB
完整版一元二次方程归纳总结.docx
《完整版一元二次方程归纳总结.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《完整版一元二次方程归纳总结.docx(25页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
完整版一元二次方程归纳总结
•元二次方程归纳总结
2
1、一元二次方程的一般式:
axbXc
0(a
0),a为二次项系数,b为一次项系数,
c为常数项。
2、一元二次方程的解法
(1)直接开平方法
2
①X
a(a
0)
解为:
X
②(X
a)2
b(b
0)
解为:
X
a
③(ax
b)2
c(c
0)
解为:
ax
b
④(ax
b)2
(cx
2
d)(ac)
解为:
ax
b
(cx
(也可以使用因式分解法)
(2)因式分解法:
提公因式分,平方公式,平方差,十字相乘法
d)
(3)公式法:
一元二次方程
2
ax2bXc0(a0),用配方法将其变形为:
(X
2a)2
b24ac
4a2
①当
4ac
②当
b2
4ac
③当
b2
4ac
0时,右端是正数.因此,方程有两个不相等的实根:
0时,右端是零.因此,方程有两个相等的实根:
0时,右端是负数.因此,方程没有实根。
Xl,2
vb4ac
2a
2a
注意:
虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解,但它往往并非最简单的,一定要注意方法的选用。
备注:
公式法解方程的步骤:
①把方程化成一般形式:
一元二次方程的一般式:
2
axbxc0(a0),并确定出a、b、
②求出
2
b4ac,并判断方程解的情况。
2a
③代公式:
X,,2—一b一4ac(要注意符号)3、一元二次方程的根与系数的关系
0)的两个根为:
2
法1:
一元二次方程axbXc0(a
Xi
b后4ac
X2
2a
所以:
XiX2
2a
b4ac
2a
b4acb
2a
b4b4acbJb24ac(b)2
2a(2a)2
2a
4ac
4a2
定理:
如果一元二次方程ax
bxc0(a0)定的两个根为X1,X2,那么:
法2:
如果一元二次方程
2
ax
Xi
bx
2
ax
bxc0
a(x
Xi)(X
X2
X2
法3:
如果一元二次方程
ax2
bc
X2-,X1X2-
aa
c0(a0)定的两个根为Xi,X2;那么
X2)0两边同时除于a,展开后可得:
(XiX2)XXigX20
X1X2
bc
-;X1?
X2
a
bX
0(a
0)定的两个根为
X1,X2;那么
ax-,2bx1cax22bx2c
0L
常用变形:
2
X1
2
X2
(X1
0L
|X1
X2|
②得:
X,x2
(余下略)
X2)2
2xiX2,
X2
(X1
X2)2(X1
X2)24X1X2,
Xi
X2
XX2
a/CxX2p4X1X2,
2
X1X2
x12x2x1x2(x1
X2),
X2
X1
X1
X2
22/\2
X1X2(X1X2)
4x1x2
练习:
【练习
11
2
(1)X1
【练习21
X1X2
X1X2
若X1,X2是方程X2
2
X2;
1
⑵—
X1
已知关于X的方程x
2x
X2
2(k
2007
1)X
0的两个根,试求下列各式的值:
(X15)(X25);
⑷|X1
^k210,根据下列条件,分别求出k的值.
4
(1)方程两实根的积为5;
(2)方程的两实根X1,X2满足|X1|
X2.
2
【练习31已知X1,X2是一元二次方程4kx4kxk
0的两个实数根.
(1)
是否存在实数k,使(2为x2)(x-i2x2)
成立?
若存在,求出k的值;若不存在,
请您说明理由.
(2)求使
生生2的值为整数的实数k的整数值.
X2X1
(1)平均增长率的问题:
a(1x)nb其中:
a为基数,
X为增长率,n表示连续增长的次数,
5、换元法
222
例:
(xx)5(xx)60
解:
令y
2
x则原方程可化为:
y5y60解得:
y12
y2
①当x2
2时,求得:
Xi
1,X22
②当x2
3时,求得:
X3,41y(原方程共有4个解)
练习:
2x2
一元二次方程的解法
⑴方法:
①直接开方法;②因式分解法;③配方法;④公式法
⑵关键点:
降次
典型例题:
类型一、直接开方法:
x2
Jm
※※对于x
axm2bx
等形式均适用直接开方法
例1、解方程:
12x2
0;
22516x2=0;
90;
例2、解关于x
的方程:
ax2
例3、若9x
2
116x
的值为
针对练习:
下列方程无解的是(
A.x232x21
B.
C.2x
D.
x29
类型二、因式分解法:
xx1xx2
Xi,或xX2
0”,
2
※方程形式:
女如axm
bx
※方程特点:
左边可以分解为两个一次因式的积,右边为“
-2
2axa
典型例题:
例1、2xx
5x3
的根为(
X1
5
2,x2
例2、若4xy
例3、方程x2
60的解为(
A.X13,X22B.X1
3,X22C.X13,X2
D.Xi
2,x2
例4、解方程:
X22J31X
2Q340
22
2a
b24ac
4a2
例5、已知2x3xy2y0
I2
类型三、配方法axbxc0a0
※在解方程中,多不用配方法;但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。
典型例题:
o
例1、试用配方法说明X2x
3的值恒大于0。
例2、已知X、y为实数,求代数式
X2
2x4y7的最小值
2
例3、已知X
y24x6y
13
0,
X、y为实数,求xy的值。
例4、分解因式:
4x2
12x3
类型四、公式法
I⑴条件:
]
0,且b24ac
I⑵公式:
]
bvb24ac
2a
0,且b
4ac
典型例题:
例1、选择适当方法解下列方程:
⑴31X26.
8.
⑶X2
4x1
2
⑷3x4x10
⑸3X13x
2x
说明:
解一元二次方程时,法;一般不选择配方法。
首选方法是因式分解法和直接开方法、
其次选用求根公式
0
说明:
①对于二次三项式ax
⑴求代数式的值;
⑵解二元二次方程组。
bxc的因式分解,如果在有理数范围内不能分解,一般情况要用求根公式,这种方法首
先令ax2bxc=0,求出两根,再写成ax2bxc=a(xx1)(xx2).②分解结果是否把二次项系数乘进括号内,
取决于能否把括号内的分母化去
类型五、“降次思想”的应用
典型例题:
2X13X21
例1、已知X3x20,求代数式的值。
2
例3、已知a是一元二次方程x
3x
10的-根,求a32a225a1的值。
a21
例4、用两种不同的方法解方程组
(1)
2xy6,
22
x5xy6y0.
2
考点四、根的判别式b24ac
根的判别式的作用:
①定根的个数;②求待定系数的值;③应用于其它
典型例题:
例1、若关于
x的方程x2
2Jkx1
0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是
例2、关于x
的方程m
x2
2mx
m0有实数根,则m的取值范围是()
A.m
B.m
C.m1
D.
2
例3、已知关于x的方程x
2k0
(1)求证:
无论k取何值时,
⑵若等腰ABC的一边长为
方程总有实数根;
1,另两边长恰好是方程的两个根,求
ABC的周长。
2
例4、已知二次三项式9x
(m
6)x
m2是一个完全平方式,试求
m的值.
例5、m为何值时,方程组
x2
2y2
mx
6,有两个不同的实数解?
有两个相同的实数解?
3.
考点五、应用解答题
⑴“碰面”问题;⑵“复利率”
问题;
⑶“几何”问题;⑷“最值”型问题;⑸“图表”类问题
典型例题:
1、五羊足球队的庆祝晚宴,出席者两两碰杯一次,共碰杯990次,问晚宴共有多少人出席?
2、北京申奥成功,促进了一批产业的迅速发展,某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放
市场,根据计划,第一年投入资金600万元,第二年比第一年减少1,第三年比第二
3
1
年减少一,该产品第一年收入资金约400万兀,公司计划二年内不仅要将投入的总资
2
金全部收回,还要盈利1,要实现这一目标,该产品收入的年平均增长率约为多少?
(结
3
果精确到0.1,J133.61)
3、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品,据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500千克,销
售单价每涨1元,月销售量就减少10千克,针对此回答:
(1)当销售价定为每千克55元时,计算月销售量和月销售利润。
(2)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少?
4、将一条长20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。
(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这两段铁丝的长度分别为多少?
(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗?
若能,求出两段铁丝的
长度;若不能,请说明理由。
(3)两个正方形的面积之和最小为多少?
考点七、根与系数的关系
⑴前提:
对于ax
bx
c0而言,当满足①a0、②0时,
才能用韦达定理。
I⑵主要内容:
x1
X2
b
-,X1X2
a
⑶应用:
整体代入求值。
典型例题:
I
例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程
2x28x70的两根,则这个直角三
角形的斜边是(
A』
B.3
C.6
例2、解方程组:
x
(1)
xy
y
24;
10,
y210,y2.
22
例3、已知关于x的方程kx
2k1x1
0有两个不相等的实数根x1,x2,
(1)求k的取值范围;
(2)是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数?
若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由。
1)时,小明因看错
-9和-1。
你知道
而得到解为
例4、小明和小红一起做作业,在解一道一元二次方程(二次项系数为常数项,而得到解为8和2,小红因看错了一次项系数,原来的方程是什么吗?
其正确解应该是多少?
2
例5、已知ab,a
2a10,b22b1
例6、已知
是方程
2
xx10的两个根,那么
一元二次方程的应用题
10场,问共有多少个队报名参
1、学校举行拔河友谊赛,采用单循环赛形式(即每两个队要比赛一场),计算下来共要比赛赛?
2、为了美化环境,某市加大对绿化的投资.2007年用于绿化投资20万元,2009年用于绿化投资25万元,求这两年绿化投
资的年平均增长率.设这两年绿化投资的年平均增长率为x,根据题意所列方程为(
2
A、20x25
B、20(1X)25
C、20(1x)225
2
20(1x)20(1x)225
3、2008年爆发的世界金融危机,是自上世纪三十年代以来世界最严重的一场金融危机。
受金融危机的影响,某商品原价为
200元,连续两次降价a%后售价为148元,下面所列方程正确的是
2
A200(1a%)148
2
B200(1a%)148
C200(12a%)148
D200(1a2%)148
4、某企业2006年盈利1500万元,2008年克服全球金融危机的不利影响,仍实现盈利
2160万元.从2006年到2008年,
如果该企业每年盈利的年增长率相同,求:
(1)该企业2007年盈利多少万元?
(2)
若该企业盈利的年增长率继续保持不
变,预计2009年盈利多少万元?
5、中国内地部分养鸡场突发禽流感疫情,某养鸡场中、一只带病毒的小鸡经过两天的传染后、患病,在每一天的传染中平均一只鸡传染了几只小鸡?
鸡场共有
169只小鸡遭感染
6、在长为10cm,宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形,使得留下的图形(图中阴影部分)面
积是原矩形面积的80%,求所截去小正方形的边长。
7、要在长32m,宽20m的长方形绿地上修建宽度相同的3条道路,剩下六块绿地面积共570^,问道路宽应为
&如图所示,某幼儿园有一道长为16米的墙,计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD求
该矩形草坪BC边的长.
9、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家“家电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施,调查表明:
这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台,商场要想在这种冰箱销售中
每天盈利4800元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元?
一元二次方程解法复习练习题
一元二次方程解法归纳:
(3)提取因式法;(4)公式法;(5)因式分解法;
(1)直接开方和配方法;
(2)求根公式法法;
1、(x2)225
2.、
2
x24x50
2
3、(x2)210(x2)250
2
4、2x7x30
5、x2
2(血1)x32应
6、(x-1)+2x(x-1)=0
7、2x2-4x-5=0
8、一3x2-4x+4=0
9、2(x-3)2+x2=9
2._
10、x12x
2
11、(5x1)3(5x1)
12、X
6x30
13、2x(x4)
2
14、(x4)5(x4)
15、
(x1)2
4x
2
16、x3x4
17、3x2+5(2x+1)=0
18、
7x5x2
65x
1、
关于X的方程ax2
(3a
1)x2(a
1)
2、
A.
3、
4、
(1
的值是
A.1B.—1
关于x的一元二次方程
B.8
若一元二次方程式
A.2
B.
已知关于
X的方程
一元二次方程专题练习题
0有两个不相等的实根
X1>X2,且有X1
X1X2
x21a,则a
A.—1
C.1
已知关于
4)
6、已知关于X
的值.
c.
X2
1或一1
(m2)x
D.
10有两个相等的实数根,则m的值是(
D.0或8
ax(x+1)+(x+1)(x+2)+bx(x+2)=2的两根为0、2,则
X的方程
3a+4b之值为何?
C.7
2+bx+a=0有一个根是一a(a工0),贝Ua—b的值为
B.0
匚2的值。
a
的方程X2—2
2
2(a1)xa7a40的两根为x,、x2,且满足x1x23为3x220.求
(k—1)x+k2=0有两个实数根X1,X2.
(1)求k的取值范围;
(2)若
X1X2
X1X21,求k
5
7、先化简,再求值:
5
,其中X3.
4
11、2008年10月29日,央行宣布,从10月30日起下调金融机构人民币存款基准利率
3.87%下调至3.60%.11月26日,央行宣布,从11月27日,一年期存款基准利率由现行的连续两次降息.设平均每次存款基准利率下调的百分率为X,根据以上信息可列方程
.其中一年期存款基准利率由现行的
3.60%下调至2.52%.短短一个月,
A.3.87%2.52%2x
B.
2
3.871x
2.52
c.3.87%1x%
2
1.52%D.2.52%1x
2
3.87%
升空的骄傲,中央电视台在神七发射期间与“问问”网站联合举办“神七我问问”的活动,网解答问题,对问题的解答发表评论。
小红提了一个问题,几天后她发现有
73人次,
&为了让国人分享“神七”
友可以自由地提出问题,
一个解答又恰好有x人次作出评论,已知包括小红在内,参与该问题讨论的共有
x人次作出解答,每
9、新年里,一个有若干人的小组,若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡,则全组送贺年卡共
x=
72次,此小组的人数是
(A)7(B)8(C)9(D)10
10、某校准备组织一次排球比赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场赛?
设有x个队参赛,则列方程为.
.赛程计划安排7天,每天安排
4场比赛,共有多少个队参
2
11、对于一元二次方程axbxc0,下列说话:
①若ab
c,那么方程没有实数根;②若
baC,则方程必有
一根为-1:
③若方程有两个不等的实数根,则方程x2bx
C0也有两个不等的实数根.其中正确的是
A.①B.①②C.①③D.②③
12、已知一元二次方程x2+bx+c=0的一根为X1=1,另一根为1 ①1 ③b+c=-1.其中正确结论的个数是 (A)3 (B)2 (C)1 (D)0 2 ax2+bx+c=O一定有两个互为相反数的实数根;② 2 ③当a+b+c=0时,方程ax+bx+c=O一定有两个不 13、对于-元二次方程aX2+bx+c=O(a工0),下列说法: ①当b=0时,方程 2 当b工0且c=0时,方程ax+bx+c=O一定有两个实数根且有一根为0; 相等的实数根;④当a>0,c>0且a-b+c<0时,方程ax2+bx+c=O一定有两个不相等的实数根. 其中正确的是() A.①②③B. ①②④C.②③④D.②④、 rr■122 14、下列命题: ①若b=2a+—c,则一兀二次方程ax+bx+c=O必有一根为-2;②若ac<0,则方程cx+bx+a=O有两个不2 等实数根;③若 b2-4ac=0, 则方程 2 cx2+bx+a=O有两个相等实数根;其中正确的个数是( C.2 A.O个B.l个 15、利用公式法解下列方程 (1)x2572x2 2 (2)3x6x 120 16、用配方法解下列方程: (2)x2+8x=9 (1)3x2-5x=2. 17、十字交叉法解方程 (1)a2-7a+6=0; (2)8x 2+6x-35=0; (3)18x 2-21x+5=0; ⑷20-9y-20y=0; (5)2x 2+3x+1=0; (6)2y 2+y-6=0; 18、用合适方法解题 (1)(x2)225 (2) x24x50 (3)(x2)210(x2)250 (4)(2x5)2(x 4)2 (5)(x-1)+2x(x-1)=0 19、已知a是一元二次方程 x2 3x1 32 a32a25a1 0的一根,求2的值。 a21 20、解方程组: (1)Xy10,xy24; 10, 2. 2 21、若a2a b2 2b1 -的值为 a 22、已知x1,x2 2 元二次方程4kx 4kx k10的两个实数根. (1)是否存在实数k,使 (2X1X2)(X12x2) 3成立? 若存在,求出k的值;若不存在,请您说明理由. (2)求使匹2的值为整 2x2 数的实数k的整数值.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 完整版 一元 二次方程 归纳 总结