三角恒等变换知识点及题型归纳总结.docx
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三角恒等变换知识点及题型归纳总结
三角恒等变换知识点及题型归纳总结
知识点精讲
常用三角恒等变形公式
和角公式
)sincoscossin
)coscossinsin
)tantan
1tantan
差角公式
sin()sincoscossin
cos()coscossinsin
sin(
cos(
tan(
tan(
tan
tan
tantan
倍角公式
sin22sincos
c2•2c2
cos2cossin2cos112sin
tan2
降次(哥)
2tan
1tan2
公式
sincos
1
—sin2;sin
2
1cos2
2
;cos
1cos2
;
半角公式
sin1cos
tan—.
21cossina
辅助角公式
的终边过点(a,b),特殊地,若
asinbcosJa2b2sin(),tanb(ab0),角
a
asinbcosVa2""b2或Va2""b2?
则tan".
a
常用的几个公式
sincos
;sin
\2sin(—);si
\32cos2sin(—);.3sincos2sin(—
题型归纳总结
题型1两角和与差公式的证明题型归纳及思路提示
思路提示
推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式,通过余弦定理或向量数量积
建立它们之间的关系,这就是证明的思路.
例4.33证明
解析
(1)证法一:
如图4-32(a)所示,设角,的终边交单位圆于
P(cos.sin),P2(cos(),sin()),,由余弦定理得
P1P22OP12OP222OROP2cos()
22
[coscos()][sinsin()]22cos()
22(coscossinsin)22cos()C:
cos()coscossinsin.证法二:
利用两点间的距离公式.
如图4—32(b)所示A(1,0),P1(cos,sin),P2(cos(),sin(),
E(cos(),sin()),由OAP2OP3川得,|AP2|叩3.故
拓~cos())2~(0~sin(晨4cos()~cos~]2~[sin()~sin~]2,即
[1cos()]2sin2()cos2cos22coscossin2sin22sinsin化简得
coscos(
cos()coscossinsin
一)sinsin(2
cossinsincos
S:
sin()sincoscossin
小,,、sin(sincoscossin
⑶tan()
cos()coscossinsin
sin
cos
cossin
cos
cos
coscos
T:
tan()
:
:
ian()
cos
cos
sinsin
cos
cos
coscos
变式1
证明:
(1)C
:
cos(
)coscossinsin;
⑵S
:
sin(
)sincoscossin
tantan
1tantan
题型2化简求值思路提示
三角函数的求值问题常见的题型有:
给式求值、给值求值、给值求角等
(1)给式求值:
给出某些式子的值,求其他式子的值.解此类问题,一般应先将所给式子变形,将其转
化成所求函数式能使用的条件,或将所求函数式变形为可使用条件的形式^
(2)给值求值:
给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”使其角相同或具有某种关系,解题的基本方法是:
①将待求式用已知三角函数表示;②将已知条件转化而推出结论,其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧,解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系,并根据这些关系来选择公式.
(3)给值求角:
解此类问题的基本方法是:
先求出“所求角”的某一三角函数值,再确定“所求角”的范围,最后借助三角函数图像、诱导公式求角^
一、化同角同函
3isin2x2sinx,例4.34已知cos(—X)一贝U(
451tanx
2.2八.18厂,八.18
cosxsinx2sinxcosx——,即12sinxcosx——
2525
解法二:
化简所求式
--.故选A.
25
2,、
sin[2(—x)—]cos2(—x)12cos(一x)
4244
评注解法一运用了由未知到已知,单方向的转化化归思想求解;解法二运用了化未知为已知,目标意识强烈的构造法求解,从复杂度来讲,一般情况下采用构造法较为简单^
tan—
2
将已知条件转化而推出结论,其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧,解题时首先要分析已知条件和结论中各种角的相互关系,并根据这种关系来选择公式^
常见的角的变换有:
和、差角,辅助角,倍角,1.和、差角变换
如可变为(
可变为
可变为(
例4.35若0
A.1
B.
2
7
1或一
25
cos
C.
3•/
-,sin(
5
24
25
D.
3,,…,
-,则cos的值为()
5
24
25
分析
建立未知角与已知角的联系,
解析
解法一:
cos
cos[(
cos(
)cossin(
)sin.因为
以,则
cos(
(0,-),sin
0,sin
5,
cos
4
(5)
34
一)
55
24
25
解法二:
因为
(一1),所示
cos(
1,0).
故选c.
()等.解题时,要注意根据已知角的范围来确定
评注利用和、差角公式来建立已知角与未知角的联系,常利用以下技巧:
();();()
未知角的范围,从而确定所求三角式的符号.
(0,—)则().
变式1已知sin-,sin()/0,,
510
A.—B.-C.一
1234
3335
“式2右(:
,/,(0,丁),cos(-)~,sin(—),则
44445413
sin(
二、辅助角公式变换
3.倍角,降哥(次)变换
例4.37(2012大纲全国理
7)
已知
为第一■象限角,sin
cos则cos2().
A3r\.
3
B5
B.
9
分析利用同角三角函数的基本关系式及二倍角公式求解
解析解法一:
;因为sincos
-1所以(sin3
cos)21
3
得2sin
cos
2r.e
一,即sin2
3
2
一.又因为
3
为第二象限角且
sin
cos
(2k
3
7kZ).
所以2
(4k
4k
2)(kZ
).故2
为第三象限角,
cos2
1(3)2
Y5.故选A.
3
解法二:
由为第二象限角,得
cos
0,sin
0,
cossin0,
且(cos
sin)2
12sin
cos
,又sin
cos
(sin
、2cos)
2sin
cos
2sin
cos
22
一,得(cossin)3
所以cos
sin
15
3
cos2
2cos
.2/
sin(cos
sin
)(cos
sin
45)
在故选A.
3
变式1
若sin(—
6
A.7
9
B.
1皿一则
3
1
3
变式2设为锐角,
cos(
2
cos(—
3
C.1
3
4
).
D.7
9
7
-,则sin(2——)的值省为
512
变式3已知sin(2
、3.
)二,sin
5
12
一且
13
(—,0),求sin值.
2
变式4若sin
A24A.
(-,),tan(
2
B.—
C.24
1,八、,、
2'则“2)().
D.—
1
变式5已知sin—
2
(0.万),则
4.诱导变换
例4.38若f(sinx)3
cos2
sin(
f(cosx)().
A.3cos2x
B.3sin2x
C.3cos2x
D.3
sin2x
分析化同函f(cosx)
f(sin(L))以便利用已知条件.
解析解法一:
f(cosx)f[sin(x)]3cos2(x
2
—)3cos(2x
3cos2x.
故选C.
解法二:
f(sinx)3cos2x3
_2_2
(12sinx)2sinx
f(x)2x22,x[
1,1]故f(cosx)
2cos2x22cos2x
13cos2x3.
故选c.
变式1是第二象限角,
tan
(2)
变式2若sin(—)
4..
—,贝Utan
3
cos2
cos(-)
最有效训练题
1.已知函数
f(x)sinx33cosx,a
A.a
2.若sin(一3
A.1
4
B.c 1…, 一,贝Ucos(一 43 1 B.一 4 C. C. 3.若tan (). A.4 5 4.已知tan( A.. 4 B.4 5 、1 )二,tan 2 3 B.—— 4 C.2 5.函数y sin( x)( 的交点,则 tan APB f(_),b 7
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