高考数学考点测试24正弦定理和余弦定理.docx
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高考数学考点测试24正弦定理和余弦定理
考点测试24 正弦定理和余弦定理
高考概览
本考点是高考必考知识点,常考题型为选择题、填空题和解答题,分值5分、12分,中、低等难度
考纲研读
掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题
一、基础小题
1.在△ABC中,C=60°,AB=,BC=,那么A等于( )
A.135°B.105°C.45°D.75°
答案 C
解析 由正弦定理知=,即=,所以sinA=,又由题知0° 2.在△ABC中,A=120°,AB=5,BC=7,则=( ) A.B.C.D. 答案 C 解析 在△ABC中,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB×ACcosA,代入得49=25+AC2+5AC,解得AC=3或AC=-8(舍去),所以==,故选C. 3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tanB=ac,则角B的值为( ) A.B. C.或D.或 答案 C 解析 由余弦定理,知a2+c2-b2=2accosB,所以由(a2+c2-b2)tanB=ac可得2accosB·=ac,所以sinB=,所以B=或,故选C. 4.在△ABC中,若sin2A+sin2B A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形D.不能确定 答案 C 解析 由正弦定理得a2+b2 5.已知△ABC中,cosA=,cosB=,BC=4,则△ABC的面积为( ) A.6B.12C.5D.10 答案 A 解析 因为cosA=,cosB=,所以sinA=,sinB=,则由正弦定理得=,所以AC==3,则由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB,即32=AB2+42-8×AB,解得AB=5,所以△ABC是以AC,BC为直角边的直角三角形,所以其面积为×3×4=6,故选A. 6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足a∶b∶c=6∶4∶3,则=( ) A.-B.C.-D.- 答案 A 解析 不妨设a=6,b=4,c=3,由余弦定理可得cosA==-,则====-,故选A. 7.在△ABC中,“sinA A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 C 解析 根据正弦定理,“sinA 8.在△ABC中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是( ) A.b=10,A=45°,C=60°B.a=6,c=5,B=60° C.a=14,b=16,A=45°D.a=7,b=5,A=60° 答案 C 解析 由条件解三角形,其中有两解的是已知两边及其一边的对角.C中,sinB===<1,b>a,B>A,角B有两个解,故选C. 二、高考小题 9.(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=( ) A.4B.C.D.2 答案 A 解析 因为cosC=2cos2-1=2×2-1=-,所以AB2=BC2+AC2-2BC×ACcosC=1+25-2×1×5×-=32,∴AB=4.故选A. 10.(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C=( ) A.B.C.D. 答案 C 解析 由题可知S△ABC=absinC=,所以a2+b2-c2=2absinC.由余弦定理得a2+b2-c2=2abcosC,所以sinC=cosC.∵C∈(0,π),∴C=,故选C. 11.(2017·山东高考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形,且满足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是( ) A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A 答案 A 解析 解法一: 因为sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,所以sinB+2sinBcosC=sinAcosC+sin(A+C),所以sinB+2sinBcosC=sinAcosC+sinB, 即cosC(2sinB-sinA)=0, 所以cosC=0或2sinB=sinA, 即C=90°或2b=a, 又△ABC为锐角三角形,所以0°<C<90°,故2b=a. 故选A. 解法二: 由正弦定理和余弦定理得 b1+=2a·+c·, 所以2b21+=a2+3b2-c2, 即(a2+b2-c2)=a2+b2-c2, 即(a2+b2-c2)-1=0, 所以a2+b2=c2或2b=a, 又△ABC为锐角三角形,所以a2+b2>c2,故2b=a.故选A. 12.(2018·浙江高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60°,则sinB=________,c=________. 答案 3 解析 由=得sinB=sinA=,由a2=b2+c2-2bccosA,得c2-2c-3=0,解得c=3(舍去负值). 13.(2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为________. 答案 解析 根据题意,结合正弦定理可得sinBsinC+sinC·sinB=4sinAsinBsinC,即sinA=,结合余弦定理可得2bccosA=8,所以A为锐角,且cosA=,从而求得bc=,所以△ABC的面积为S=bcsinA=××=. 三、模拟小题 14.(2018·广东广雅中学、江西南昌二中联考)已知a,b,c为△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若3bcosC=c(1-3cosB),则sinC∶sinA=( ) A.2∶3B.4∶3C.3∶1D.3∶2 答案 C 解析 由正弦定理得3sinBcosC=sinC-3sinCcosB,3sin(B+C)=sinC,因为A+B+C=π,所以B+C=π-A,所以3sinA=sinC,所以sinC∶sinA=3∶1,故选C. 15.(2018·合肥质检)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若sin(C-A)=sinB,且b=4,则c2-a2=( ) A.10B.8C.7D.4 答案 B 解析 依题意,有sinCcosA-cosCsinA=sinB,由正弦定理得ccosA-acosC=b;再由余弦定理可得c·-a·=b,将b=4代入整理,得c2-a2=8,故选B. 16.(2018·珠海摸底)在△ABC中,已知角A,B,C对应的边分别为a,b,c,C=60°,a=4b,c=,则△ABC的面积为________. 答案 解析 根据余弦定理,有a2+b2-2abcosC=c2,即16b2+b2-8b2×=13,所以b2=1,解得b=1,所以a=4,所以S△ABC=absinC=×4×1×=. 17.(2018·贵阳期末)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asinB=bcosA,a=4,若△ABC的面积为4,则b+c=________. 答案 8 解析 由asinB=bcosA得=,再由正弦定理=,所以=,即tanA=,又A为△ABC的内角,所以A=.由△ABC的面积为S=bcsinA=bc×=4,得bc=16.再由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得b2+c2=32,所以b+c====8. 18.(2018·长春质检)已知△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若其面积S=b2sinA,角A的平分线AD交BC于点D,AD=,a=,则b=________. 答案 1 解析 由S=bcsinA=b2sinA,可知c=2b,由角平分线定理可知,===2.又BD+CD=a=,所以BD=,CD=.在△ABD中,因为BD=AD=,AB=c=2b,所以cos∠ABD==b,在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABD,所以b2=4b2+3-4bcos∠ABD=3+4b2-6b2,解得b=1. 一、高考大题 1.(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5. (1)求cos∠ADB; (2)若DC=2,求BC. 解 (1)在△ABD中,由正弦定理,得=. 由题设知,=,所以sin∠ADB=. 由题设知,∠ADB<90°, 所以cos∠ADB==. (2)由题设及 (1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=. 在△BCD中,由余弦定理,得 BC2=BD2+DC2-2BD×DCcos∠BDC=25+8-2×5×2×=25,所以BC=5. 2.(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为. (1)求sinBsinC; (2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长. 解 (1)由题设得acsinB=,即csinB=. 由正弦定理得sinCsinB=. 故sinBsinC=. (2)由题设及 (1)得cosBcosC-sinBsinC=-, 即cos(B+C)=-,所以B+C=,故A=. 由题设得bcsinA=,即bc=8. 由余弦定理得b2+c2-bc=9, 即(b+c)2-3bc=9,得b+c=. 故△ABC的周长为3+. 3.(2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c. (1)求C; (2)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长. 解 (1)由已知及正弦定理得, 2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC, 2cosCsin(A+B)=sinC. 故2sinCcosC=sinC.因sinC≠0, 可得cosC=,因为C∈(0,π),所以C=. (2)由已知,得absinC=. 又C=,所以ab=6. 由已知及余弦定理,得a2+b2-2abcosC=7. 故a2+b2=13,从而(a+b)2=25,a+b=5. 所以△ABC的周长为5+. 二、模拟大题 4.(2018·深圳4月调研)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知B为锐角,且acosB+bsinB=c. (1)求C的大小; (2)若B=,延长线段AB至点D,使得CD=,且△ACD的面积为,求线段BD的长度. 解 (1)由已知及正弦定理可得sinAcosB+sin2B=sinC. 因为sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB, 所以sin2B=cosAsinB. 因为B∈0,,所以sinB>0,所以sinB=cosA, 即cos-B=cosA. 因为A∈(0,π),-B∈0,, 所以-B=A,即A+B=,所以C=. (2)设BD=m,CB=n.因为B=,C=, 所以A=,∠DBC=,且AC=n,AB=2n,AD=2n+m.所以S△ACD=AC·AD·sinA=×n×(2n+m)×=,即n(2n+m)=3,① 在△BCD中,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BDcos∠DBC,即m2+n2+mn=3,② 联立①②解得m=n=1,即BD=1. 5.(2018·长沙统考)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a2=c(a-c)+b2. (1)求角B的大小; (2)设m=2a-c,若b=,求m的取值范围. 解 (1)因为a2=c(a-c)+b2,所以a2+c2-b2=ac, 所以cosB==. 又因为0 (2)由正弦定理得====2, 所以a=2sinA,c=2sinC. 所以m=2a-c=4sinA-2sinC =4sinA-2sin-A =4sinA-2×cosA+sinA =3sinA-cosA =2×sinA-cosA =2sinA-. 因为A,C都为锐角,则0 所以0 6.(2018·福建4月质检)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosC-csinB=a. (1)求角B的大小; (2)若a=3,b=7,D为边AC上一点,且sin∠BDC=,求BD. 解 (1)由正弦定理及bcosC-csinB=a, 得sinBcosC-sinCsinB=sinA, 所以sinBcosC-sinCsinB=sin(B+C), 所以sinBcosC-sinCsinB=sinBcosC+cosBsinC, 即-sinCsinB=cosBsinC. 因为sinC≠0,所以-sinB=cosB,所以tanB=-. 又B∈(0,π),解得B=. (2)解法一: 在△ABC中,由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,且a=3,b=7, 所以72=32+c2-2×3c×-,解得c=5. 在△ABC中,由正弦定理=,得=, 解得sinC=. 在△BCD中,由正弦定理=, 得=, 解得BD=. 解法二: 在△ABC中,由正弦定理=, 及a=3,b=7,得sinA=. 又因为B=,所以0 则sinC=sin(A+B)=sincosA+cossinA =×-×=. 在△BCD中,由正弦定理=, 得=,解得BD=.
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