排列组合归纳总结.docx
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排列组合归纳总结
排列、组合及二项式定理
一、计数
分类加法计数原理和分步乘法计数原理T
1•分类加法计数原理定义
完成一件事,可以有n类办法,在第一类办法中有mi种方法,在第二类办法中有m2种方法,,在第n类办法中有mn种不
同的方法,那么,完成这件事情共有N=mi+m2+…+mn种不同的方法.
2.分步乘法计数原理定义
完成一件事情需要经过n个步骤,缺一不可,做第一步有mi种方法,做第二步有m2种方法,,做第n步有mn种方法,那么完成这件事共有N=mi血…口.种不同的方法.
3.分类加法计数原理与分步乘法计数原理区别与联系
联系;都涉及完成一件事情的不同方法的种数.
区别:
分类加法计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中的任一种方法都可以完成这件事;分步乘法计数原理与分步有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成.
4.分类分步标准
分类就是一步到位,
(1)类与类之间要互斥;
(2)总数完整。
分步是局部到位,
(1)按事件发生的连贯过程进行分步;
(2)步与步之间相互独立,互不干扰;(3)保证连续性。
—排列与组合
1.排列
(1)排列定义:
从n个不同元素中,任取m(m (2)排列数公式: Am=C: A: =n(n—1)(n—2)…(n—m+1)或写成Am=(n—m)! •特殊: Ann=n! =n(n-1)! (3)特征: 有序且不重复 2•组合 (1)组合定义: 从n个不同元素中,任取m(m (2)组合数公式: cm=笙=呵—1)(n—2)…(n—m+1)或写成 Amm! (3)组合数的性质 ①cm=cn—m; mmm—1 1②Cn+1=Cn十Cn (4)特征: 有序且不重复3•排列与组合的区别与联系: 区别: 排列有序,组合无序 联系: 排列可视为先组合后全排 4•基本原则: (1)先特殊后一般; (2)先选后排;(3)先分类后分步。 -排列组合的应用(常用方法: 直接法,间接法) 1•抽取问题: (1)关键: 特殊优先; (2)题型: ①把n个相同的小球,一次性的放入到m个不同的盒 子中(nWm),每个盒子至少1个,有多少种不同的方法? Cmn 2把n个相同的小球,依次性的放入到m个不同的盒子 中(nWm,每个盒子至少1个,有多少种不同的方法? Amn 3把n个相同的小球,放入到m个不同的盒子中(nWm),每个盒子放球数目不限,有多少种不同的方法? m 4把n个不同的小球,放入到m个不同的盒子中(nWm),每个盒子至少1个,有多少种不同的方法? Amn 5把n个相同的小球,依次性的放入到m个不同的盒子中(n》m,每个盒子至多1个,有多少种不同的方法? C-1m-1隔板法 2.排序问题: 特殊优先 (1)排队问题: 1对n个元素做不重复排序An; 2 Amm 对n个元素进行(其中有m个元素的位置固定)排列 如果对n个元素进行(其中有m个元素的位置固定,k个元素的位置 八n 固定)排列A1K AmAK 3相邻问题一捆绑法(注意松绑); 4不相邻问题: (a)—方不相邻一先排没要求的元素,再把不相邻的元素插入空位;(b)互不相邻先排少的在插入多的; ⑵数字问题; 1各位相加为奇数的-----奇数的个数是奇数; 2各位相加为偶数的-----奇数的个数是偶数; 3组成n为偶数(奇数)的数----特殊优先法; 4能被n整除的数-----特殊优先法; 5 比某数大的数,比某数小的数或某数的位置----从大于(小于)开始排,再排等于; ⑶着色问题: ①区域优先----- 颜色就是分类点; ②颜色优先----- 区域就是分类点. ⑷几何问题: ①点、 线、面的关系一般均为组合问题; ②图中有多少个矩形C62 1非均分不编号;n个不同元素分成 素数目均不相等,且不考虑各组间的顺序,不考虑是否分尽mim2m3. __CnCn呵Cn呵知2• 2非均分编号;n个不同元素分成m组,每组组元素数目均不相 mim2m3 等,且考虑各组间的顺序,不考虑是否分尽CnCnfCnF^2 3均分不编号;n个不同元素分成m组,其中有k组元素数目均相等, m2m3k 且不考虑各组间的顺序,不考虑是否分尽CnCn’Cnm』2*……Ak 4均分编号;n个不同元素分成m组,其中有k组元素数目均相等, mim2m3 且考虑各组间的顺序,不考虑是否分尽(CnCnsCn』i』2 二、二项式定理 1•定理: (a+b)n=C0anb°+1b+C2an_2b2+…+rbr+…+ cna°bn(r=0,1,2,…,n). 2•二项展开式的通项 Tr+1=cnan-rbr,r=0,1,2,…,n,其中C;叫做二项式系数. 3•二项式系数的性质 1对称性: 与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等, 即C0 1n—1kn_k Cn=Cn,…,Cn=Cn, 2最大值: 当n为偶数时,中间的一项的二项式系数取得最大值;当n为奇数时,中间的两项的二2项式系数 Cn2C/相等,且同时取得最大值. 3各二项式系数的和 a.C0+Cn+C2+…+Cn+…+C;=2n; b.C! +C+…+疋+•••=Ci+C+…+1+…=i-2°=2 T二项式定理的应用: 1.求通项;Tri二C;an」br 2•含xr的项: ①项的系数;②二项式系数。 3•常数项(含xr的项中r=0)整数项(含xr的项中r€N)有理项(含xr的项中r€Z)无理项(含xr的项中r-Z) 4.项的系数和: (1)已知多项式f(x)=(a+bx)n(a,b>0)=a0+aix+a2x'+…+寂: 1a。 =f(0) 2ao+ai+a+…+a=f (1)=(a+b) 3|ao|+|a1|+|a21+…+|an|=f (1)=(a+b) f (1)+f(-1) 4 ao+a2+a4+・・.=2 22 6(ao+a2+Q+…)-(ai+a3+a5+…)=f (1)f(-1)。 (2)已知多项式f(x)=(a-bx)n(a,b>O)=ao+aix+a2X2+…+寂: 1ao=f(0) ^②ao+ai+g+…+a=f (1)=(a-b) ③|ao|+|a1|+|a21+…+|an|=f(-1)=(a+b) f (1)+f(-1) ao+a2+&+・・・=2 5a1+a3+&+…二也3; 2 22 6(ao+a2+a+…)-(a1+a3+a5+…)=f (1)f(-1)。 (3)已知多项式f(x)=(ax-b)n(a,b>o)=ao+a1X+a2X2+…+anXn: 令g(x)=(-1)n(b-ax) ①ao=f(o) ^②ao+a1+32+…+a=f (1)=(a-b) ③|ao|+|a1|+|a21+-+|an|=|(-1)n|g(-1) f (1)+f(-1) 4ao+a2+a4+・・・=2 5a1+a3+&+…=f (1)~f^1); 2 22 6(ao+a2+Q+…)-(a1+a3+a5+…)=f (1)f(-1)。 (4)已知多项式f(x)=(-ax-b)n(a,b>o)=ao+a1X+a2X2+…+anXn: 1ao=f(0) 2ao+ai+q+…+a=f (1)=(a-b)n; 3|ao|+|ai|+|a2|+…+|an|=|(-1)n|g (1) f(i)+f(-1) ^④ao+a2+&+・・・=2 5ai+a3+$+…二也S; 2 22 6(a0+a2+a+…)-(a1+a3+a5+…)=f (1)f(-1)。 5.最值问题: n ①二项式系数最大: (a)当n为偶数时,二项式系数中,cl最 nAnA 大;(b)当n为奇数时,二项式系数中,c石和CF最大 ②项的是系数最大: 表示第叶1项的系数 (a)个项都为正数时[Ct「异CTr—c*最大; WSr+ (b)一项为正一项为负时」CTr+—CWn&+最大 WC-r+
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