三角形.docx
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三角形
三
角
形
三角形
一、教学目标
1、理解并掌握三角形及三角形的重要线段的概念;
2、掌握三角形的三边间的关系;
3、会利用三角形的内角和定理及外角公式计算角度。
二、知识点框架
1、与三角形有关的线段:
边、高、中线、角平分线
2、与三角形有关的角:
内角、外角、内角和
3、多边形:
内角和、外角和、平面镶嵌
三、重点及难点
1、熟练掌握三角形的三条重要线段;
2、会灵活运用内角和定理及外角公式计算角度
知识点框架
与三角形有关的线段
分点1:
三角形三边关系
分点2:
高线
分点3:
中线
分点4:
角平分线
与三角形有关的角
分点1:
内角
分点2:
外角的性质
分点3:
内角和
分点4:
三角形稳定性
分点5:
多边形
分点1:
内角和
分点2:
外角和
分点3:
平面镶嵌
知识点4:
xxxxxxxx
分点1:
分点2:
分点3:
知识点5:
xxxxxxxx
分点1:
分点2:
分点3:
你的疑问
知识点归纳
一.知识框架
二.知识概念
1.三角形定义:
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2.高:
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
3.中线:
在三角形中,连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
4.三角形的重心:
三角形的三条中线相较于一点,三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。
5.角平分线:
三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
6.三角形三边关系:
三角形任意两边的和大于第三边,任意两边的差小于第三边。
7.三角形的稳定性:
三角形的形状是固定的,三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
8.三角形内角和定理:
三角形三个内角和是180°
直角三角形两个锐角互余
由三角形内角和定理得:
有两个角互余的三角形是直角三角形
9.三角形的外角:
三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角
10.多边形:
在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
11.对角线:
连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线。
12.正多边形:
各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形
13.多边形的内角:
多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
14.多边形内角和定理:
n边形的内角的和等于:
(n-2)×180°,则正多边形各内角度数为:
(n-2)×180°÷n
15.多边形的外角:
多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
多边形内角和定理证明
证法一:
在n边形内任取一点O,连结O与各个顶点,把n边形分成n个三角形.
因为这n个三角形的内角的和等于n·180°,以O为公共顶点的n个角的和是360°
所以n边形的内角和是n·180°-2×180°=(n-2)·180°.
即n边形的内角和等于(n-2)×180°.
证法二:
连结多边形的任一顶点A1与其他各个顶点的线段,把n边形分成(n-2)个三角形.
因为这(n-2)个三角形的内角和都等于(n-2)·180°
所以n边形的内角和是(n-2)×180°.
证法三:
在n边形的任意一边上任取一点P,连结P点与其它各顶点的线段可以把n边形分成(n-1)个三角形,
这(n-1)个三角形的内角和等于(n-1)·180°
以P为公共顶点的(n-1)个角的和是180°
所以n边形的内角和是(n-1)·180°-180°=(n-2)·180°.
已知正多边形内角度数则其边数为:
360÷(180-内角度数)
16.平面镶嵌:
用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,叫做用多边形覆盖平面。
镶嵌的一个关键点是:
在每个公共顶点处,各角的和是360°.
1.全等的任意三角形能镶嵌平面
把一些纸整齐地叠放好,用剪刀一次即可剪出多个全等的三角形.用这些全等的三角形可镶嵌平面.这是因为三角形的内角和是180°,用6个全等的三角形即可镶嵌出一个平面.如图1.用全等的三角形镶嵌平面,镶嵌的方法不止一种,如图2.
2.全等的任意四边形能镶嵌平面。
仿上面的方法可剪出多个全等的四边形,用它们可镶嵌平面.这是因为四边形的内角和是360°,用4个全等的四边形即可镶嵌出一个平面.如图3.其实四边形的平面镶嵌可看成是用两类全等的三角形进行镶嵌.如图4.
3.全等的特殊五边形可镶嵌平面
圣地亚歌一位家庭妇女,五个孩子的母亲玛乔里·赖斯,对平面镶嵌有很深的研究,尤其对五边形的镶嵌提出了很多前所未有的结论.1968年克什纳断言只有8类五边形能镶嵌平面,可是玛乔里·赖斯后来又找到了5类五边形能镶嵌平面,在图5的五边形ABCDE中,∠B=∠E=90°,2∠A+∠D=2∠C+∠D=360°,a=e,a+e=d.图6是她于1977年12月找到的一种用此五边形镶嵌的方法.用五边形镶嵌平面,是否只有13类,还有待研究.
4.全等的特殊六边形可镶嵌平面
1918年,莱因哈特证明了只有3类六边形能镶嵌平面.图7是其中之一.在图7的六边形ABCDEF中,∠A+∠B+∠C=360°,a=d.
5.七边形或多于七边的凸多边形,不能镶嵌平面.
只有正三角形、正方形和正六边形可镶嵌平面,用其它正多边形不能镶嵌平面.
例如:
用正三角形和正六形的组合进行镶嵌.设在一个顶点周围有m个正三角形的角,有n个正六边形的角.由于正三角形的每个角是60°,正六边形的每个角是120°.所以有
m·60°+n·120°=360°,即m+2n=6.
这个方程的正整数解
或
可见用正三角形和正六边形镶嵌,有两种类型,一种是在一个顶点的周围有4个正三角形和1个正六边形,另一种是在一个顶点的周围有2个正三角形和2个正六边形.
例题分析
1、.如果三角形的三个内角的度数比是2:
3:
4,则它是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形; C.直角三角形 D.钝角或直角三角形
3、已知△ABC中,∠A=2(∠B+∠C),则∠A的度数为( ) A.100° B.120° C.140° D.160°
4、在△ABC中,∠A=
∠B=
∠C,则此三角形是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
5. 一个三角形的两内角分别55°和65°,它的外角不可能是( )
A. 115° B. 120° C. 125° D. 130°
6. 已知三角形的一个外角小于与它相邻的内角,那么这个三角形是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上三种情况都有可能
7.一个多边形每个内角为108°,则这个多边形( )
A.四边形 B,五边形 C.六边形 D.七边形
8,一个多边形每个外角都是60°,这个多边形的内角和为( )
A.180° B.360° C.720° D.1080°
9、分别剪一些边长相同的①正三角形,②正方形,③正五边形,④正六边形,如果用其中一种正多边形镶嵌,可以镶嵌成一个平面图案的有( )
A.①②③
B.②③④
C.①②④
D.①②③④都可以
过m边形的一个顶点有7条对角线,n边形没有对角线,k边形对角线条数等于边数, 则m= ,n= ,k=
2.在△ABC中,已知∠B-∠A=5°,∠C-∠B=20°,求三角形各内角的度数
课堂练习
1、下列说法正确的是〔 〕
A、直角三角形只有一条高 B、三角形的三条中线相交于一点
C、三角形的三条高相交于一点 D、三角形的角平分线是射线
2、现有两根木棒,它们的长度分别为20cm和30cm,若不改变木棒的长度, 要钉成一个三角形木架,应在下列四根木棒中选取 〔 〕的木棒
A.10cm B.20cm C.50cm D.60cm
3、任何一个三角形的三个角中至少有〔 〕
4、A、一个锐角 B、两个锐角 C、一个直角 D、一个钝角
5、已知等腰三角形的两边长分别为3和6,则它的周长为〔 〕 A.13 B.15 C. 14 D. 13或15
2.下列说法正确的是( )
A.三角形的内角中最多有一个锐角; B.三角形的内角中最多有两个锐角
5、 C.三角形的内角中最多有一个直角; D.三角形的内角都大于60°
课后作业
1、下列不能够镶嵌的正多边形组合是( )
A.正三角形与正六边形 B.正方形与正六边形
B.C.正三角形与正方形 D.正五边形与正十边形
2、一个多边形内角和是1080度,则这个多边形的边数为 ( ) A、 6 B、 7 C、 8 D、9
3、 若三角形的两条边长分别为6cm和8cm,且第三边的边长为偶数,则第三边长为 。
4、已知a、b、c是三角形的三边长,化简:
|a-b+c|+|a-b-c|=_____________。
5、 要使五边形木架(用5根木条钉成)不变形,至少要再钉 根木条
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