高三一轮复习平面向量知识点整理.docx
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高三一轮复习平面向量知识点整理高三一轮复习平面向量知识点整理平面向量知识点整理平面向量知识点整理1、概念数量:
只有大小,没有方向的量.
(1)向量:
既有大小,又有方向的量.有向线段的三要素:
起点、方向、长度.
(2)单位向量:
长度等于1个单位的向量.(3)平行向量(共线向量):
方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.提醒:
1相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;2两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念:
两个向量平行包含两个向量共线但两条直线平行不包含两条直线重合;3平行向量无传递性!
(因为有零向量)三点AB、C共线=AB、AC共线长度相等且方向相同的向量.长度相等方向相反的向量。
a的相反向量是-a运算性质:
交换律:
aba;结合律:
a,亠c=a,bc;a0=0a=a.坐标运算:
设a=1,y1,b=x2,y2,贝Uax1x2,yy2.3、向量减法运算:
三角形法则的特点:
共起点,连终点,方向指向被减向量.坐标运算:
设a=X,y,b=X2,y2,贝UW-b=x1-x2,y1-y2.、一设二、一m两点的坐标分别为,y1,2,y2,则一二M=1-2,y1-y2.【例题】一一.一
(1)AB+BC+CD=;ABADDC=;TI-H-=Tr4(AB_CDJ_(AC_BD)=(答:
AD;CB;0);
(2)若正方形ABCD的边长为1,AB=a,BC=b,AC=C,则|abc|=(答:
22);(3)已知作用在点A(1,1)的三个力F1=(3,4),F2=(2,5),W=(3,1),则合力F3的终点坐标是(答:
(9,1)4、向量数乘运算:
实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a.1a=a;2当0时,a的方向与a的方向相同;44T呻当:
0时,a的方向与a的方向相反;当=0时,a=0.运算律:
总;声攸Yaaa:
,ab=ab.坐标运算:
设a=.x,y,则a=x,y:
i;.x,y.-1【例题】
(1)若M(-3,-2),N(6,-1),且MP3MN,则点P的坐标为3(答:
(-6,-7);35、向量共线定理:
向量aa=0与b共线,当且仅当有唯一一个实数,使22ba.设a=X1,y1,b=他皿,(ZO)二(ab)=(|a|b|)0【例题】若向量2=(x,1)j=(4,x),当X=时a与b共线且方向相同Ht片ILiL-(答:
2);
(2)已知a=(1,1)b=(4,x),u=2b,3=2a+b,且UlIG,贝UX=(答:
4);,__.44H46向量垂直:
a_b=ab=0:
=Iabl=Ia-bI:
=x1x2y1y2=0.【例题】已知O=(-1,2),O(3,m),若_OB,则m=(答:
-);2
(2)以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB,NB=90则点B的坐标是斗胡T*答:
(1,3)或(3,-1);(3)已知暑=(a,b),向量n丄m,且d,则m的坐标是(答:
(b,a)或(b,a)7、平面向量的数量积:
ab=;a”bcose(20,).零向量与任一向量的数量积为o.;当a与b反向时,ab=-;a|b;ba%.性质:
设a和b都是非零向量,则a_b=ab=O.当a与b同向时,a2=q2或a=Jaa.ab;abc=acbc.运算律:
ab=ba;Labab=坐标运算:
设两个非零向量a=x1,y1,b=x2,y2,则Qb=x1xy1y2.若a=X,y,贝U=x2y2,或a=p2+y2.设a=x1,y1,b=x2,y2,贝Uab=ab=0=x1x2+y1y2=0贝Va/b:
=a=b(b0):
=x1y2=x2y1.两点间的距离:
若两点间的距离:
若A(XlfyI),B(x2iy2)f贝贝9ABAJ(x2-码码+(乃一乃一HrCOST=a设a、b都是非零向量,a=x,y1,b=X2,y2,二是a与b的夹角,则-X絆2;(注abab)%y1;X2y2【例题】
(1)ABC中,IAB=3,AC=4,BC=5,则ABB=(答:
一9);
(2)已知a=(1,l),b=(0,-1),c=akb,d=a-b,C与d的夹角为,则k等224于I*(答:
1);(3)已知=2,b=5,ab-,则a+b等于.(答:
何);(4)已知a,b是两个非零向量,且a=b=a_b,则a与a的夹角为(答:
30)(5)已知ac,2),b=(3,2),如果a与b的夹角为锐角,贝U的取值41范围是(答:
扎0且丸丰);33(6)已知向量a=(SinX,COSX),b=(SinX,SinX),C=(1,0)。
(1)TrTT若X=,求向量a、C的夹角;(答:
150);38、b在a上的投影:
即bcosr,它是一个实数,但不一定大于0【例题】已知|a|=3,|b|=5,且ab=12,则向量a在向量b上的投影为十.向量中一些常用的结论;
(1)一个封闭图形苜屋谆接而成的向量和为零向量,要注意运用;2)IIal-Iiaba+(特别地当弘万同向或有6OIN+引=6+引Ial-IfrIHd-b1当反向或有6oa-h=a+ISfeII50=厶+亦I当丘&不共镇OIlaf4M4-H極些和实数比较类似)(3)在MBC中,若Ay1)iBy2)iC(xi,y.)i则耳重心的塑标为G(j+j+眄FL划十旳)S3:
3PG=(PA+PB+PC)OG为MBC的重心,特别地P+PB+PC=6cP4BC的重心RiPB=PB-PC=走刀OF为氐4RCr的垂心;向tX+竺)U工0)所在直线应AABC的内心(是BAC的角平分线所在亘线)SBIJCl___U)问量亦瓯元中三终点4玖C共线o存在实数os0使得PA=OP-+0=l.平面向量高考经典试题平面向量高考经典试题一、选择题1H441.已知向量a=(-5,6),b=(6,5),则a与bA.垂直B.不垂直也不平行C.平行且冋向D.平行且反向2、已知向量a=(1,n),b=(-1,n),若2a-b与b垂直,则a=()A.1B.2C.2D.444彳T*444443、若向量a,b满足IaiWbI=1,a,b的夹角为60贝yaa+ab=;TH1TT4、在ABC中,已知D是AB边上一点,若AD2DB,CDCA-CB,则,=(32112A.B.C.D.33335、若0、E、F是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是()A.TTTEF=OFOEB.TTTEF=OF-OEC.TTEF=OFOED.TTTEF=OF-OE6、已知I平面向量a=(1,1),b=(1,1-1),则向量一a2-3b=()2A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(j,0)D.(一1,2)、填空题1、已知向量a=2,4,b=1,1.若向量b-(a+b),则实数的值是2、若向量a,b的夹角为60,ab=1,则茁;)=3、在平面直角坐标系中,正方形OABC的对角线OB的两端点分别为0(0,0),B(1,1),则三、解答题:
1、已知ABC三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(C,0).
(1)若abLc=0,求C的值;
(2)若C=5,求SinA的值2、在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,tanC=37.
(1)求cosC;
(2)若CBLCA=:
5,且ab=9,求C.23、在ABC中,a,bC分别是三个内角ABC的对边若a=2,C=-,4iCOSB=,求ABC的面积S254、设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsinA.(I)求B的大小;()若a=3、.3,c=5,求b.135、在ABC中,tanA,tanB-.45(I)求角C的大小;()若ABC最大边的边长为17,求最小边的边长.答案选择题1、A.已知向量a=(-5,6),b=(6,5),ab-3030=0,则a与b垂直。
2、2a-b=(3,n),由2a-b与b垂直可得:
(3,n)(-1,n)-3n=0=n=.3,6、D=(1,2).填空题2+4+0,实数九=3.彳*彳4442adab)=aab=aal1cos60=1-一212、【解析】23、解析:
ABLAC=(0,1)(一1,1)=0(一1)11=1.cosA=ALACABHAC-6165*、20.5Sin乙A=-1cos2解答题2、解:
(1);tanC=3、7,SinC=3.7cosC221又,SinCcosC=1解得CoSC=8I17tanC0,C是锐角.CoSC-.8
(2)又;ab=9.a22abb2=81.5.abCoSC=-2.ab=20.22.ab=41.222.c=ab-2abcosC=36.c=6.343、解:
由题意,得cosB=-,B为锐角,SinB,5510111048由正弦定理得C,.S=ac_SinB272275714、解:
(I)由a=2bsinA,根据正弦定理得SinA=2sinBSinA,所以SinB=2由ABC为锐角三角形得B=.6()根据余弦定理,得b2=a2c2-2accosB=272545=7.5、本小题主要考查两角和差公式,用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力,满分12分.1+3解:
(I);C=(AB),tanC-tan(AB)=-451.453又、0:
C:
.C.4():
C=-二,AB边最大,即AB=.17.4兀、又;tanAtanB,A,B0,二角A最小,BC边为最小边.SinAcosA14且A22SinAcosA=1,I2J得SinA17由-ABBC得:
BC=ABLSnAhj2.17SinCSinASinC所以,最小边BC
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