高考数学理总复习讲义 坐标系.docx
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高考数学理总复习讲义坐标系
第一节
坐标系
1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:
的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),
称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
2.极坐标系的概念
(1)极坐标系
如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点;自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.
极坐标系的四要素:
极点、极轴、长度单位、角度单位和它的正方向.四者缺一不可.
(2)极坐标
①极径:
设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为ρ.
由极径的意义知ρ>0时,当极角θ的取值范围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ,θ)建立一一对应关系.约定极点的极坐标是极径ρ=0,极角可取任意角.
②极角:
以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为θ.
③极坐标:
有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为M(ρ,θ).
一般不作特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数.
④极坐标与直角坐标的重要区别:
多值性.
3.极坐标与直角坐标的互化
设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则它们之间的关系为:
这就是极坐标与直角坐标的互化公式.
把直角坐标化为极坐标时,一定要明确点所在的象限(即极角的终边的位置)和极角的范围,以便正确求出极角,否则点的极坐标将不唯一.
4.简单曲线的极坐标方程
曲线
极坐标方程
圆心为极点,半径为r的圆
ρ=r(0≤θ<2π)
圆心为(r,0),半径为r的圆
ρ=2rcosθ
圆心为,半径为r的圆
ρ=2rsinθ(0≤θ<π)
过极点,倾斜角为α的直线
θ=α(ρ∈R)或θ=π+α(ρ∈R)
过点(a,0),与极轴垂直的直线
ρcosθ=a
过点,与极轴平行的直线
ρsinθ=a(0<θ<π)
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)
(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系,在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系.( )
(2)若点P的直角坐标为(1,-),则点P的一个极坐标是.( )
(3)在极坐标系中,曲线的极坐标方程不是唯一的.( )
(4)极坐标方程θ=π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.( )
答案:
(1)×
(2)√ (3)√ (4)×
二、选填题
1.若以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )
A.ρ=
B.ρ=
C.ρ=cosθ+sinθ
D.ρ=cosθ+sinθ
解析:
选A ∵y=1-x(0≤x≤1),
∴ρsinθ=1-ρcosθ(0≤ρcosθ≤1),
∴ρ=.
2.在极坐标系中,圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标是( )
A. B.
C.(1,0)D.(1,π)
解析:
选B 由ρ=-2sinθ,得ρ2=-2ρsinθ,化成直角坐标方程为x2+y2=-2y,化成标准方程为x2+(y+1)2=1,圆心坐标为(0,-1),其对应的极坐标为.
3.在极坐标系中,已知点P,则过点P且平行于极轴的直线方程是( )
A.ρsinθ=1B.ρsinθ=
C.ρcosθ=1D.ρcosθ=
解析:
选A 先将极坐标化成直角坐标表示,P转化为直角坐标为x=ρcosθ=2cos=,y=ρsinθ=2sin=1,即(,1),过点(,1)且平行于x轴的直线为y=1,再化为极坐标为ρsinθ=1.
4.若点P的直角坐标为(3,-),则点P的极坐标为______.
解析:
因为点P(3,-)在第四象限,与原点的距离为2,且OP与x轴所成的角为-,所以点P的极坐标为.
答案:
5.在极坐标系中A,B两点间的距离为________.
解析:
法一:
(数形结合)在极坐标系中,A,B两点如图所示,|AB|=|OA|+|OB|=6.
法二:
∵A,B的直角坐标为A(1,-),B(-2,2).
∴|AB|==6.
答案:
6
考点一平面直角坐标系中的伸缩变换[基础自学过关]
[题组练透]
1.在平面直角坐标系中,已知伸缩变换φ:
(1)求点A经过φ变换所得点A′的坐标;
(2)求直线l:
y=6x经过φ变换后所得直线l′的方程.
解:
(1)设点A′(x′,y′),由伸缩变换φ:
得∴
∴点A′的坐标为(1,-1).
(2)设P′(x′,y′)是直线l′上任意一点.
由伸缩变换φ:
得
代入y=6x,得2y′=6×=2x′,即y′=x′,
∴y=x为所求直线l′的方程.
2.将圆x2+y2=1变换为椭圆+=1的一个伸缩变换公式φ:
(λ,μ>0),求λ,μ的值.
解:
将变换后的椭圆+=1改写为+=1,把伸缩变换公式φ:
(λ,μ>0)代入上式,
得+=1,即2x2+2y2=1,
与x2+y2=1
比较系数,得所以
[名师微点]
伸缩变换后方程的求法及注意点
(1)平面上的曲线y=f(x)在变换φ:
的作用下的变换方程的求法是将代入y=f(x),整理得y′=h(x′)即为所求.
(2)解答该类问题应明确两点:
一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用求解;二是明确变换前的点P(x,y)与变换后的点P′(x′,y′)的坐标关系,用方程思想求解.
考点二极坐标与直角坐标的互化[师生共研过关]
[典例精析]
在极坐标系下,已知圆O:
ρ=cosθ+sinθ和直线l:
ρsin=(ρ≥0,0≤θ<2π).
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程;
(2)当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O的公共点的极坐标.
[解]
(1)圆O:
ρ=cosθ+sinθ,即ρ2=ρcosθ+ρsinθ,
故圆O的直角坐标方程为x2+y2-x-y=0,
直线l:
ρsin=,即ρsinθ-ρcosθ=1,
则直线l的直角坐标方程为x-y+1=0.
(2)由
(1)知圆O与直线l的直角坐标方程,
将两方程联立得解得
即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1),
转化为极坐标为,
故直线l与圆O的公共点的极坐标为.
[解题技法]
1.极坐标方程与直角坐标方程的互化方法
(1)直角坐标方程化为极坐标方程:
将公式x=ρcosθ及y=ρsinθ直接代入直角坐标方程并化简即可.
(2)极坐标方程化为直角坐标方程:
通过变形,构造出形如ρcosθ,ρsinθ,ρ2的形式,再应用公式进行代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧.
2.极角的确定方法
由tanθ确定角θ时,应根据点P所在象限取最小正角.在这里要注意:
当x≠0时,θ角才能由tanθ=按上述方法确定.当x=0时,tanθ没有意义,这时可分三种情况处理:
当x=0,y=0时,θ可取任何值;当x=0,y>0时,可取θ=;当x=0,y<0时,可取θ=.
[过关训练]
已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2-2ρ·cos=2.
(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.
解:
(1)由ρ=2知ρ2=4,
所以圆O1的直角坐标方程为x2+y2=4.
因为ρ2-2ρcos=2,
所以ρ2-2ρ=2,
所以圆O2的直角坐标方程为x2+y2-2x-2y-2=0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减,
得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.
化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1,
即ρsin=.
考点三极坐标方程的应用[师生共研过关]
[典例精析]
(2019·安徽名校联考)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为x2+(y-2)2=4.以坐标原点为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,且在两坐标系下长度单位相同.M为曲线C1上异于极点的动点,点N在射线OM上,且|ON|·|OM|=20,记点N的轨迹为C2.
(1)求曲线C1,C2的极坐标方程;
(2)根据极坐标方程,判断曲线C1,C2的位置关系.
[解]
(1)曲线C1的直角坐标方程是x2+(y-2)2=4,
即x2+y2=4y.
将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入,得ρ2=4ρsinθ.
故曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ.
设N(ρ,θ),M(ρ1,θ),由|ON|·|OM|=20,
即ρ·ρ1=20,得ρ1=.
又ρ1=4sinθ,所以=4sinθ,所以ρsinθ=5.
故曲线C2的极坐标方程为ρsinθ=5.
(2)由得sin2θ=,无实数解,因此曲线C1和曲线C2没有公共点,易知曲线C1是圆,曲线C2是直线,
所以C1与C2相离.
[解题技法]
利用极坐标系解决问题的技巧
(1)用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系,如果几何关系不容易通过极坐标表示时,可以先化为直角坐标方程,将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决.
(2)已知极坐标方程解答最值问题时,通常可转化为三角函数模型求最值问题,这种方法比在直角坐标系中求最值的运算量小.
(3)根据极坐标方程判断曲线的位置关系时,只需联立曲线的极坐标方程得方程组,判断方程组解的情况即可.
[提醒] 在曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范围,注意转化的等价性.
[过关训练]
(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-3=0.
(1)求C2的直角坐标方程;
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.
解:
(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.
(2)由
(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.
由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2.
由于点B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.
当l1与C2只有一个公共点时,点A到l1所在直线的距离为2,所以=2,故k=-或k=0.
经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;
当k=-时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.
当l2与C2只有一个公共点时,点A到l2所在直线的距离为2,所以=2,故k=0或k=.
经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;
当k=时,l2与C2没有公共点.
综上,所求C1的方程为y=-|x|+2.
1.在平面直角坐标系xOy中,直线C1:
x=-2,圆C2:
(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求C1,C2的极坐标方程;
(2)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.
解:
(1)因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,
所以C1的极坐标方程为ρcosθ=-2,
C2的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0.
(2)将θ=代入ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0,
得ρ2-3ρ+4=0,解得ρ1=2,ρ2=.
故ρ1-ρ2=,即|MN|=.
由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为.
2.(2019·黄冈调研)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos=2.已知点Q为曲线C1上的动点,点P在线段OQ上,且满足|OQ|·|OP|=4,动点P的轨迹为C2.
(1)求C2的直角坐标方程;
(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△AOB面积的最大值.
解:
(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),Q的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0),
由题意知,|OP|=ρ,|OQ|=ρ1=.
由|OQ|·|OP|=4得C2的极坐标方程为ρ=2cos(ρ>0),化简得ρ=cosθ+sinθ,因此C2的直角坐标方程为2+2=1,但不包括点(0,0).
(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0),
由题意知,|OA|=2,ρB=2cos,
于是△AOB的面积S=|OA|·ρB·sin∠AOB
=2cos·=2≤.
当α=0时,S取得最大值.所以△AOB面积的最大值为.
3.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:
ρ=4cosθ.
(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;
(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.
解:
(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2+(y-1)2=a2,则C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.
将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入C1的普通方程中,
得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsinθ+1-a2=0.
(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组
若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sinθcosθ+1-a2=0,
由已知tanθ=2,可得16cos2θ-8sinθcosθ=0,
从而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.
当a=1时,极点也为C1,C2的公共点,且在C3上.
所以a=1.
4.在平面直角坐标系xOy中,圆C的直角坐标方程为x2+(y-1)2=1.以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρ(cosθ+sinθ)=5.
(1)求圆C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程;
(2)在圆上找一点A,使它到直线l的距离最小,并求点A的极坐标.
解:
(1)x2+(y-1)2=1即x2+y2-2y=0,
因为ρ2=x2+y2,ρsinθ=y,
所以圆C的极坐标方程为ρ2=2ρsinθ,即ρ=2sinθ.
ρ(cosθ+sinθ)=5即ρcosθ+ρsinθ=5,
因为ρcosθ=x,ρsinθ=y,
所以直线l的直角坐标方程为y=-x+5.
(2)曲线C:
x2+(y-1)2=1是以C(0,1)为圆心,1为半径的圆.设圆上点A(x0,y0)到直线l:
y=-x+5的距离最小,所以圆C在点A处的切线与直线l:
y=-x+5平行.
即直线CA与l的斜率的乘积等于-1,
即×(-)=-1.①
因为点A在圆上,所以x+(y0-1)2=1,②
联立①②可解得x0=-,y0=或x0=,y0=.
所以点A的坐标为或.
又因为圆上点A到直线l:
y=-x+5的距离最小,
所以点A的坐标为,
点A的极径为=,极角θ满足tanθ=且θ为第一象限角,则可取θ=.
所以点A的极坐标为.
5.(2019·山西八校第一次联考)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程是(α为参数).以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)求曲线C的极坐标方程;
(2)设l1:
θ=,l2:
θ=,若l1,l2与曲线C分别交于异于原点的A,B两点,求△AOB的面积.
解:
(1)将曲线C的参数方程化为普通方程为(x-3)2+(y-4)2=25,
即x2+y2-6x-8y=0.
∴曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ+8sinθ.
(2)设A,B.
把θ=代入ρ=6cosθ+8sinθ,得ρ1=4+3,
∴A.
把θ=代入ρ=6cosθ+8sinθ,得ρ2=3+4,
∴B.
∴S△AOB=ρ1ρ2sin∠AOB
=sin
=12+.
6.(2018·福州四校联考)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),直线C2的方程为y=x.以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程;
(2)若直线C2与曲线C1交于A,B两点,求+.
解:
(1)由曲线C1的参数方程为(α为参数),得曲线C1的普通方程为(x-2)2+(y-2)2=1,
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