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可靠度翻译
使用SVM法分析边坡可靠度
摘要:
一阶二次矩可靠性分析方法(FOSM)通常用于边坡稳定性分析。
该种方法需要设计方面的随机变量的值及随机变量的功能函数的偏导数。
当功能函数是隐函数时该种计算方法是非常繁杂的。
然而在地质情况复杂的边坡稳定性分析时,随机变量的功能函数功能通常是隐性的。
目前用来分析边坡稳定的主要方法是极限平衡法(LEM)。
针对这个问题,本文提出支持向量机(SVM)法,该方法是在可靠度分析方法的基础上将SVM法和FOSM法相结合而得到的。
该方法采用支持向量机的方法来近似表达随机变量的功能函数,从而得到该函数基于SVM法的明确的表达函数。
SVM。
法通常对由LEN法分析的到的实际随机变量值的功能函数进行一些处理。
通过SVM模型,我们可以得到大量的随机变量值及其功能函数或其偏导函数,并运用于常规的FOSM法中.文中给出了一些例子用于说明SVM法在边皮可靠性分析中的运用。
结果表明,本文提出的方法适用于那些功能函数是隐函数的边坡的可靠性分析。
1、概述
在公路建设、基坑开挖及水坝的设计和施工过程中边坡稳定性分析时十分重要的。
传统评价边坡的方法就是计算其安全系数。
这种方法存在着一个很大的缺点,就是在计算过程中材料的参数、孔隙水压力以及外荷载对结构安全的作用模式具有不确定性。
事实上,该种方法对边坡进行的设计通常是过于保守的。
为了避免这样的结果,我们通常是用可靠性分析对边坡稳定性进行分析。
在最近几十年里,大量的边坡可靠性分析方法被提出。
然而,这些方法却没有像他们的提出者所期望的那样被广泛的运用。
所谓的一阶二次矩法(FOSM)是目前最有效的可靠性分析边坡的方法(FOSM)。
该方法在每步迭代计算步骤都需要知道随机变量的功能函数或其偏导函数。
因此在该方法计算中需要大量的随便变量功能函数或偏导函数。
但基本随机变量的功能函数是容易求出时,这种计算可以有效的进行。
然而,当表功能函数是隐藏的时候,改方法的计算就会变得很繁杂和耗时。
在LEM法中,随机变量的功能函数通常是隐藏的,例如主教斯宾塞所提出的那些被用于边坡稳定分析的方法。
目前只有很少一部分方法可以用来处理这种情况。
其中之一就是响应面方法。
它使用一个多项式函数来近似替代复杂的随便变量功能函数。
当所取的多项式函数可以很好的拟合实际的功能函数时,我们就可以取得一个相当精确的计算可靠度的方法。
其他的方法是多平面法和多切平面法,这两种方法可以不同程度的提高计算的精确程度。
然而,他们却只适合于极限状态面为非线性凹或凸曲面的边坡。
目前人工神经网络法已被广泛应用到可靠性分析。
这些方法采用人工神经网络技术来近似表达随机变量的功能函数及其偏导函数,但该方法不能很好的将功能函数用特定的形式表现出来,当边坡的功能函数是隐藏函数时,计算是很困难的。
在最近几十年,支持向量机(SVM)方法已迅速的的发展起来,被用于常规功能函数的近似模拟。
枫等人已经运用支持向量机法来求得岩土结构位位移和各项力学参数之间复杂的非线性函数关系。
由于用SVM法求得的近似函数可以用确定的形式表试出来,这样一来函数对个随机变量的偏导数也可以很快的求出.
本文提出了一种将SVM法和FOSM结合的方法。
首先,通过建立支持向量机模型来求得函数关系为隐函数的随机变量函数的近似函数。
接着我们就可以在最小的计算量和保持计算精确性的前提下求得随机变量的偏导函数。
然后,我们就会对这种方法是如何同传统的计算方法结合使用的进行说明。
最后,我们将实验得到的数据同PEM法及FOSM法计算所得的数据进行比较,从而得出这种方法的适用性.
2、SVM
2.1基本观点
SVM法是由vapnik所提出的。
它是通过减少泛化误差和神经网络法经验误差的方法来保证在结构在风险最小的原则下求解非线性函数关系的方法.这种方法的实验原则来源于一个客观事实,那就是泛化误差通常受到经验误差和置信区间长度的影响和约束,置信区间的长度取决于Vapnik-Chervonen的维度,当我们用这个原则计算是我们会得到最理想的优化模型结构,最后得到一个比神经网络法更好的泛化结果。
SVM法的另一个优点是,该方法是唯一一个可以解决二次优化函数的方法。
它通过使用基于内部微积分函数的函数映射将原先的输入空间转变为一个高维空间,然后寻找这个空间输入与输出之间的关系.该不仅具有理论的支持,同时也能找到针对小样本问题、高维度,非线性问题的全局最优解和局部最优解。
目前该方法已经被广泛的用于多个方面,如模式识别、非线性回归分析等,这些足以表明SVM法在工程实践中的适用性。
2.1算法
假设我们现有一系列的实验观察数据(样本)(X1,Y1),(X2,Y2),(X3,Y3),(X4,Y4)等。
对基于支持向量机的回归问题,我们的目标是要找到一个线性函数f(X)=WX+B,虽然函数不可能和实际的完全相符,至少和已知的数据样本有些出入,但我们需尽量使函数与数据样本相符,我们用如下形式的函数来描述该函数:
(1)
一个确保我们所求的函数是具有最低次数的回归函数的方法就是采用欧几里德范数,即
通常我们可以按要求将该问题转化为一个凸函数问题来处理。
如下式:
(2)
据统计学习理论,我们想要获得最优泛化解。
在允许一些误差存在的前提下,我们可以引入松弛变量ζi>0和ζ2*>0。
因此我们得到以下结果:
(3)
其中常数C>0它是计算的误差减小。
应用最优方法,我们能获得双重优化问题
(4)
(5)
通过解决上述优化问题中,我们可以得知SVM法求回归函数的功能:
(6)
根据二次函数程序的KKT条件得知,计算过程中只有一小部分的参数将被假定有非零值,并且他们的数据点可以被当作支持向量
我们可以将数据映射到更高维度的特征空间以解决非线性问题。
在高维特征空间里,内积可以用内核函数来替换。
我们并不需要知道具体的非线性函数。
所以式子3-5可以转变成下列方程。
以下是三个常见的主要函数表达式
我们可以通过多种方法解决方程(4),(5),(7),(8)的二次优化问题。
包括内点算法,序贯最小优化[17],并解压缩算法等
2.3偏导函数的计算
根据式(9),函数F(X)的一阶偏导函数可以计算如下:
(13)
式中Xj表示X的第j个变化,一个是函数的第一个的偏导数。
当函数是已知时,oxj可以很容易地计算。
如果内核函数是径向核函数,然后根据式(11),内核函数的一阶偏导数可以计算如下:
(14)
式中Xj表示X的第j个变化量,Xij表示Xi的第j个变化量。
3基于SVM模型的可靠性分析
基于SVM的可靠性分析是用来构造一个SVM模型来逼近和取代的功能函数或其偏导数。
因为其强大的泛化能力,函数可以很容易的被表现出来,。
在2.3节中提到的一阶偏导数的值,就可以用该方法来计算得出。
由于通过SVM法求出的随机变量的值及其偏导数是可用的,因此FOSM法可以很顺利的进行
3.1FOSM法
边坡稳定的功能函数可以假设为如下形式:
(15)
其中Xi表示边坡稳定分析中的随机变量,g(x1,x2,x3,x4……xk)表示功能函数.当Z>0时表示边坡是稳定的,当Z<0表示边坡失稳,当Z=0时表示边坡处于稳定和失稳之间的极限状态.f(x1,x2,x3,x4……xk)表示影响安全的因素。
功能函数的均值和方差可以通过一次近似的方法计算
(16)
(17)
其中cov(Xi,Xj)表示Xi和Xj的协方差,Uz是性能函数Z的平均值,δz2是Z的方差(δ2是Z的标准偏差)。
如果是随机变量不相关的边坡可靠性分析,方差简化为:
(18)
其中Var(Xi)表示随机变量Xi的方差。
根据式(15),我们得到
(19)
(20)
Uf和δf分别是影响安全的因素F的均值和标准差。
因此基于FOSM法的斜坡安全分析可靠度指标如下:
(21)
其中
是在边坡稳定性分析的可靠性指标。
式(21)中的关键一步是计算安全的因素F,影响安全的因素F的均值和标准差的统计值。
在计算Uf和δf时相应的一阶偏导数需要根据式(17)和(18)。
对于大多数边坡稳定性分析方法来说,例如:
Bishop法和Spencer法,在计算过程中,影响安全的因素并不能用基本的变量通过具体的函数形式表示出来,这就导致在边坡稳定分析中,计算函数的偏导数相当困难。
另一方面,由式(17)、(18)可知,偏导数的可靠性分析FOSM方法中是必不可少的。
在本文中,我么用一个支持向量机模型来计算斜坡的隐式功能函数的偏导数。
3.2随机变量的非线性关系函数
通过SVM法我们得到一个关于随机变量与安全因素之间的非线性关系的函数,如下:
(22)
通过SVM法,我们可以得到
(23)
其中Xi(i=1,2,……,K)表示边坡可靠性分析中的随机变量,例如,摩擦角,为了构建SVM模型,我们要获得一些数据样本。
我们可以通过数值方法或物理实验的方法来获得数据样本,在本文中,我们通过LEM法来得到数据样本。
3.3可靠性指标的计算
由式(16)我们可以得到:
(24)
由式(23)、(23)我们可以得到其均值和方差如下:
(25)
由式(13)、(18)我们可以得到:
(26)
(27)
通过式(14),式(27)可以展开成如下形式:
(28)
联合式(21)、(24)、(28)我么可以得到可靠度指标的计算公式如下
(29)
3.4基于SVM模型的FOSM法
基于SVM法的一阶二次矩法运用SVM模型来近似表示变量的功能函数及其一阶偏导数,它的具体步骤如下:
第1步,选择随机变量,定义其概率及特征,确定随机变量的功能函数。
第2步,建立了计算方案,然后用LEM法计算每个步骤。
通过每一个步骤和相应的安全系数值生成一个数据样本.
第3步,按式(23)建立计算随机变量功能函数的SVM模型即。
第4步,按式(24),(28)计算随机变量功能函数的均值和方差。
第5步,,运用公式(29)计算边坡的可靠性指标。
4、应用
这里例举两个以SVM为基础的FOSM边坡可靠性分析。
第一个例子对应于稳定均匀的斜坡,第二个对应于一个非均质的斜坡。
从目前的研究看来,Bishop和Spencer的方法可用于安全系数的计算。
4.1例1:
均质斜坡
斜坡的几何形状如图1。
斜坡高度10米,倾角为3:
1。
计算所假定的滑动面也释于图1中。
计算变量只与抗剪强度c、φ和单位质量γ有关,且三者不相关。
这些参数的平均值如下:
c=15kN/m²,φ=18°,γ=20kN/m³。
所有参数的变异系数从0%到30%不等。
在第3点时,我们已经分别学习了Bishop和Spencer法的使用(见表1)。
SVM模型已经建好,其参数列于表2。
SVM模型以及值α和α*列于表3。
其表现值和一阶导数可以用方程(23),(24)和(28)计算出。
用LEM计算出的安全系数和SVW的预测值显示在图二和图三中。
我们可以看到,SVM模型反映出的随机变量和斜坡安全因素之间的关系。
要研究安全系数与随机变量之间的关系,就需要给出安全系数关于随机变量的函数。
每个独立变量允许改变其平均值,而其他变量保持固定在其平均值。
图4-6分别显示了安全系数、内摩擦角、凝聚力系数和单位重量之间的关系。
这些数字是用FOSM来计算可靠性指标的。
比较例1使用估算法(PEM)、FOSM和基于SVM的FOSM的随机变量值。
以点估计法(PEM)的平均值为设计值。
用两种方法计算可靠性指标时,所有参数的变化对系数的影响列于表4、表5中。
图7-10里的各参数变异系数分别为5%,10%,15%,20%,25%,和30%。
PEM、FOSM和基于SVM的FOSM三种方法得出的结果非常接近。
基于SVM的FOSM技术优于传统的FOSM和SVM技术,因此推荐使用适用于坡度较广泛的变化的可靠性分析,包含随机变量,随机变量的分布和性能功能。
4.2例2:
非均质边坡
斜坡的截面如图11。
这是一个有三种不同的土壤层的复杂斜坡。
随机变量的均值和标准差如表6所示。
在例1中,我们先构件了SVM模型,然后在SVM模型的基础上重新计算了均值和方差安全系数,最后确定可靠性指标。
图12和图13对Bishop法和Spencer法计算的安全性因素进行了比较。
边坡可靠性分析结果见表7所示。
以点估算法(PEM)的平均值为设计值。
以SVM模型表示的斜坡性质,如图12和图13。
使用Bishop法时,结果表示没有变化。
然而使用Spencer法时有微小的变化(见表7)。
这表明,模型中的不确定性影响边坡的可靠性指标。
4.3讨论
以上两例可以说明基于SVM的FOSM的可行性。
结果及比较列于表4、表5和表7中,结果无明显差异。
这表明基于SVM的FOSM可以用于计算边坡可靠性指标。
该方法可用于计算线型和非线性,隐式和显式的变量,也可有效地处理大量随机变量。
基于SVM的FOSM采用强大的传统SVM的计算值及其背后的隐性功能。
它的优点是结合了传统的FOSM和SVM技术。
因此,它是适用于许多可靠性问题。
当然,基于SVM的FOSM仍然有其局限性。
例如,SVM只提供了一种方法来计算的价值和衍生物的性能功能,不能克服当FOSM性能函数不是线性时的缺点。
本文全力推荐基于SVM的方法和算法。
对其他的SVM问题的更多细节已列于其他地方[13-15]。
5小结
本文提出了一种利用支持向量机模型来对边坡可靠性进行分析的新,该方法适用于变量函数为隐形函数的边坡的稳定性分析。
实验表明该方法可以成功的运用于LEM法中进行边坡稳定性分析,例如Bishop法和Spencer法。
文中给出了两个例子:
首先是一个同质的斜坡,第二个是在分层土壤斜坡。
通过本文中所提出的新方法计算得出的可靠度指标的值、均值及方差都与LEM和FOSM法计算所得的值非常接近。
文中还做了大量关于这两种边坡的比较。
事实证明SVM-FOSM法在计算功能函数为隐函数的边坡的稳定性上式十分有效和可靠的
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