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中职数学基础知识汇总
预备知识:
1.完全平方和(差)公式:
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
2.平方差公式:
a2-b2=(a+b)(a-b)
3.立方和(差)公式:
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
第一章集合
1.构成集合的元素必须满足三要素:
确定性、互异性、无序性。
2.集合的三种表示方法:
列举法、描述法、图像法(文氏图)。
3.常用数集:
N(自然数集)、Z(整数集)、Q(有理数集)、R(实数集)、N+(正整数集)
4.元素与集合、集合与集合之间的关系:
”
(1)元素与集合是“ ∈ ”与“∉ 的关系。
/
(2)集合与集合是“ Í ” “ ”“ = ”“ Í ”的关系。
注:
(1)空集是任何集合的子集,任何非空集合的真子集。
(做题时多考虑Ф是否满足题意)
(2)一个集合含有 n 个元素,则它的子集有 2n 个,真子集有 2n-1 个,非空真子集有 2n-2 个。
5.集合的基本运算(用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法)
(1) A
(2) A
B = {x |x 挝A 且x
B = {x |x 挝A 或x
B } :
A 与 B 的公共元素组成的集合
B } :
A 与 B 的所有元素组成的集合(相同元素只写一次)。
(3) C A :
U 中元素去掉 A 中元素剩下的元素组成的集合。
U
注:
C (AB ) = C AC BC (AB ) = C AC B
UUUUUU
6.会用文氏图表示相应的集合,会将相应的集合画在文氏图上。
7.充分必要条件:
p 是 q 的……条件p 是条件, q 是结论
如果 p ⇒ q,那么 p 是 q 的充分条件;q 是 p 的必要条件.
如果 p ⇔ q,那么 p 是 q 的充要条件
第二章不等式
1.不等式的基本性质:
(略)
注:
(1)比较两个实数的大小一般用比较差的方法;另外还可以用平方法、倒数法。
(2)不等式两边同时乘以负数要变号!
!
(3)同向的不等式可以相加(不能相减),同正的同向不等式可以相乘。
2.重要的不等式:
(1) a 2 + b 2 ≥ 2ab ,当且仅当 a = b 时,等号成立。
(2) a + b ≥ 2 ab (a, b ∈ R +) ,当且仅当 a
= b 时,等号成立。
(3)
注:
a + b
2
(算术平均数) ≥ ab (几何平均数)
3.一元一次不等式的解法(略)
4.一元二次不等式的解法
(1)保证二次项系数为正
(2)分解因式(十字相乘法、提取公因式、求根公式法),目的是求根:
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⎩| x |> a ⇔ x > a或x < -a
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(3)定解:
(口诀)大于取两边,小于取中间。
5.绝对值不等式的解法
⎧ | x |< a ⇔ -a < x < a
若 a > 0 ,则 ⎨
分式不等式的解法:
与二次不等式的解法相同。
注:
分母不能为 0.
第三章函数
1.函数
(1)定义:
设 A、B 是两个非空数集,如果按照某种对应法则 f ,对 A 内任一个元素 x,在 B 中总有一个且只
有一个值 y 与它对应,则称 f 是集合 A 到 B 的函数,可记为:
f :
A→B,或 f :
x→y.其中 A 叫做函数 f 的定义域.函
数 f 在 x = a 的函数值,记作 f (a) ,函数值的全体构成的集合 C(CB),叫做函数的值域.
(2)函数的表示方法:
列表法、图像法、解析法 。
注:
在解函数题时可以画出图像,运用数形结合的方法可以使大部分题目变得更简单。
2.函数的三要素:
定义域、值域、对应法则
(1)定义域的求法:
使函数(的解析式)有意义的 x 的取值范围
主要依据:
①分母不能为 0,②偶次根式的被开方式 ≥ 0,
③特殊函数定义域:
y = x 0 , x ≠ 0y = a x , (a > 0且a ≠ 1), x ∈ R
y = log x, (a > 0且a ≠ 1), x > 0
a
(2)值域的求法:
y 的取值范围
①正比例函数:
y = kx 和 一次函数:
y = kx + b 的值域为 R
②二次函数:
y = ax 2 + bx + c 的值域求法:
配方法。
如果 x 的取值范围不是 R 则还需画图像
③反比例函数:
y = 1 的值域为 { y | y ≠ 0}
x
④另求值域的方法:
换元法、不等式法、数形结合法、函数的单调性等等。
(3)解析式求法:
在求函数解析式时可用换元法、构造法、待定系数法等。
3.函数图像的变换
(1)平移
y = f ( x)
向左平移
a个单位
→ y = f ( x + a) y = f ( x)
向右平移
a个单位
→ y = f ( x - a)
y = f ( x)
(2)翻折
向上平移 向下平移
→ y = f ( x) + a y = f ( x) → y = f ( x) - a
a个单位 a个单位
y = f ( x)
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沿x轴 保留x轴上方图像
→ y = - f ( x) y = f ( x) → y =| f ( x) |
上、下对折 下方翻折到上方
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4.函数的奇偶性
(1)定义域关于原点对称
(2)若 f (- x) = - f ( x) → 奇若 f (- x) = f ( x) → 偶
注:
①若奇函数在 x
= 0 处有意义,则 f (0) = 0
②常值函数
f ( x) = a ( a ≠ 0 )为偶函数
③
f ( x) = 0 既是奇函数又是偶函数
5.函数的单调性
对于 ∀x 、x ∈ [a, b] 且 x < x ,若 ⎨ f ( x1 ) < f ( x2 ), 称f ( x)在[a, b]上为增函数
1212
增函数:
x 值越大,函数值越大; x 值越小,函数值越小。
减函数:
x 值越大,函数值反而越小; x 值越小,函数值反而越大。
6.二次函数
(1)二次函数的三种解析式
①一般式:
f ( x) = ax 2 + bx + c ( a
≠ 0 )
②顶点式:
f ( x) = a( x - k ) 2 + h( a
)
≠ 0 ,其中 (k , h) 为顶点
③两根式:
f ( x) = a( x - x )( x - x )( a
12
)
≠ 0 ,其中 x 、x 是 f ( x) = 0 的两根
1 2
(2)图像与性质
二次函数的图像是一条抛物线,有如下特征与性质:
① 开口a > 0 → 开口向上a < 0 → 开口向下
b
② 对称轴:
x = -顶点坐标:
(-
2a
b 4ac - b 2
)
2a 4a
⎧b
⎪ 12
c
12
⑤ f ( x) = ax 2 + bx + c 为偶函数的充要条件为 b = 0
⑥二次函数(二次函数恒大(小)于 0)
⎧a > 0⎧ a < 0
f ( x) > 0 ⇔ ⎨⇔ 图像位于x轴上方f ( x) < 0 ⇔ ⎨⇔ 图像位于x轴下方
⎩ ∆< 0⎩ ∆< 0
⑦若二次函数对任意 x 都有 f (t - x) = f (t + x) ,则其对称轴是 x = t 。
第四章指数函数与对数函数
1.指数幂的性质与运算
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(1)根式的性质:
① n 为任意正整数, (n a ) n = a②当 n 为奇数时, n a n = a ;当 n 为偶数时, n a n =| a |
③零的任何正整数次方根为零;负数没有偶次方根。
(2) 零次幂:
a 0 = 1(a ≠ 0)
(3)负数指数幂:
a -n
= 1
a n
(a ≠ 0, n ∈ N * )
(4)分数指数幂:
a
m
n
= n a m (a > 0, m, n ∈ N + 且n > 1)
(5)实数指数幂的运算法则:
(a
> 0, m, n ∈ R)
① a m ⋅ a n = a m+n
② (a m ) n = a mn
③ (a ⋅ b) n = a n ⋅ b n
2. 幂运算时,注意将小数指数、根式都统一化为分数指数;一般将每个数都化为最小的一个数的 n 次方。
⎧当a > 0时,y = x a 在(0, ∞)上单调递增
a
⎩当a < 0时,y = x a 在(0, ∞)上单调递减
4.指数与对数的互化:
a b = N ⇔ log N = b(a > 0且a ≠ 1)、( N > 0)
a
5. 对数基本性质:
① log a = 1② log 1 = 0③ a logaN = N④ log
aa
1
⑤ log b与 log a互为倒数 ⇔ log b ⋅ log a = 1 ⇔ log b =
log a
ababa
b
a
a N = N
⑥ log
am b n = m
log b
a
6.对数的基本运算:
log (M ⋅ N ) = log M + log Nlog
aaa
a
M
N
= log M - log N
a a
log a
7.换底公式:
log N = logb N
a
b
(b > 0且b ≠ 1)
8.指数函数、对数函数的图像和性质
指数函数
对数函数
定
义
图
像
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y = a x (a > 0, a ≠ 1的常数) y = log x(a > 0, a ≠ 1的常数)
a
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性
(1) x ∈ R, y > 0
(1) x > 0, y ∈ R
(2) 图像经过 (0,1) 点
(2) 图像经过 (1,0) 点
质
(3)
a > 1, y = a x在R上为增函数;
a
0 < a < 1, y = log x在(0,+∞)上为减函数
a
9.利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性比较两个数的大小,将其变为同底、同幂(次)或用换底公式或是利用
中间值 0,1 来过渡。
10. 指数方程和对数方程:
①指数式和对数式互化 ②同底法 ③换元法 ④取对数法
注:
解完方程要记得验证根是否是增根,是否失根。
第五章数列
等差数列
每一项与前一项之差为同一个常数
等比数列
每一项与前一项之比为同一个常数
定
义
a - a = a - a =⋯= a - a
2 1 3 2 n
n-1
= d
a
2 =
a
1
a
a
a
3 =⋯= n = q (q ≠ 0)
a
2 n-1
注:
当公差 d
= 0 时,数列为常数列
注:
等比数列各项及公比均不能为 0;
当公比为 1 时,数列为常数列
通项
公式
a = a + (n - 1)d a = a q n-1
n 1 n 1
推
(1) d =
a - a
n m
a
n
a
m
论
(2) a = a + (n - m)d
n m
(2) a
n
= a q n-m
m
(3)若 m + n = p + q ,则 a + a = a + a
mnp
q
(3)若 m + n = p + q ,则 a a = a a
m n p
q
中项
三个数 a、b、c 成等差数列,则有
三个数 a、b、c 成等比数列,则有
公式
2b = a + c ⇔ b = a + c
前 n
n(a + a )n(n - 1)
项和S == na +d
n1
公式
1.已知前 n 项和 S 的解析式,求通项 a
n
n
a (1 - q n ) a - a q
S = = 1 n
n
( q ≠ 1 )
⎧S(n = 1)
1
n
2.弄懂等差、等比数通项公式和前 n 项和公式的证明方法。
(见教材)
第六章三角函数
1.弧度和角度的互换
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180 o = π 弧度1o =
π
1弧度 = ( 180
2.
扇形弧长公式和面积公式
L=| α | ⋅rS=
扇扇
1 1 1
Lr = | α | ⋅r 2 (记忆法:
与 S
2 2 2
3.
任意三角函数的定义:
sin α =
对边 y 邻边 x 对边 y
= cos α = = tan α = =
斜边 r 斜边 r 邻边 x
4.
特殊三角函数值
α
0 = 0 0 π
π
4 = 45 0
π
3 = 60 0
π
2 = 90 0
sin α
cos α
0
2
4
2
1
2
3
2
2
2
2
2
3
2
1
2
4
2
0
2
tan α
0
3
3
1 3
不存在
5.
三角函数的符号判定
(1)
(2)
口诀:
一全二正弦,三切四余弦。
(三角函数中为正的,其余的为负)
图像记忆法
6.三角函数基本公式
tan α = sin α
cos α
(可用于化简、证明等)
sin 2 α + cos 2 α = 1(可用于已知 sin α 求 cos α ;或者反过来运用)
7.诱导公式:
口诀:
奇变偶不变,符号看象限。
解释:
指 k ⋅ π
7.已知三角函数值求角 α :
(1) 确定角 α 所在的象限;
(2) 求出函数值的绝对值对应的锐角 α ' ; (3) 写出满足条件的 0 ~ 2π 的角; (4) 加上周期(同
终边的角的集合)
8.和角、倍角公式
⑴ 和角公式:
sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β注意正负号相同
cos(α ± β ) = cos α cos β sin α sin β
tan(α ± β ) = tan α ± tan β
1 tan α tan β
注意正负号相反
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ns
⑵ 二倍角公式:
s i n2α = 2s i α c o αcos 2α = cos 2 α - sin 2 α = 2 cos 2 α - 1 = 1 - 2sin 2 α
tan 2α =2 tan α
1 - tan 2 α
α1 - c o αα1 + cos α
⑶ 半角公式:
s in = ±cos=±
2222
9. 三角函数的图像与性质
质
定义域值域同期奇偶性单调性
y = sin xx ∈ R[-1,1]T = 2π
奇
π
] ↑
2
π 3π
[2kπ + ,2kπ + ] ↓
2 2
y = cos x
x ∈ R [-1,1] T = 2π
偶
[2kπ - π ,2kπ ] ↑
[2kπ ,2kπ + π ] ↓
9.正弦型函数 y = A sin(ωx + ϕ)( A > 0, ω > 0)
(1)定义域 R ,值域 [- A, A]
(2)周期:
T = 2π
ω
(3)注意平移的问题:
一要注意函数名称是否相同,二要注意将 x 的系数提出来,再看是怎样平移的。
(4) y = a sin x + b cos x
= a 2 + b 2 sin( x + ϕ )
10. 正弦定理
abc
=== 2R( R 为 ∆ABC 的外接圆半径)
sin Asin Bsin C
n
其他形式:
(1) a = 2R sin Ab = 2R s i nBc = 2R s i C (注意理解记忆,可只记一个)
(2) a :
b :
c = sin A :
sin B :
sin C
11. 余弦定理
b 2 + c 2 - a 2
222
2bc
12. 三角形面积公式
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S
1 1
ab sin C = bc sin A = ac sin B (注意理解记忆,可只记一个)
2 2 2
13. 海伦公式:
S
∆ABC
= P(P - a)(P - b)(P - c) (其中 P 为 ∆ABC 的半周长, P =
a + b + c
2
)
第七章平面向量
1.向量的概念
(1)定义:
既有大小又有方向 的量。
(2)向量的表示:
书写时一定要加箭头!
另起点为 A,终点为 B 的向量表示为 AB 。
(3)向量的模(长度):
| AB | 或| a |
(4)零向量:
长度为 0,方向任意。
单位向量:
长度为 1 的向量。
向量相等:
大小相等,方向相同的两个向量。
反(负)向量:
大小相等,方向相反的两个向量。
2.向量的运算
(1)图形法则
三角形法则平形四边形法则
(2)计算法则
加法:
AB + BC = AC减法:
AB - AC = CA
(3)运算律:
加法交换律、结合律注:
乘法(内积)不具有结合律
3.数乘向量:
λ a
(1)模为:
| λ || a |
(2)方向:
λ 为正与 a 相同; λ 为负与 a 相反。
4.AB 的坐标:
终点 B 的坐标减去起点 A 的坐标。
AB = ( x - x , y - y )
BABA
5.向量共线(平行):
∃ 唯一实数 λ ,使得 a = λ b 。
(可证平行、三点共线问题等)
6. 平面向量分解定理:
如果 e , e 是同一平面上的两个不共线的向量,那么对该平面上的任一向量 a ,都存在唯一的
12
一对实数 x , x ,使得 a = x e + x e 。
121 122
7.注意 ∆ABC 中,重心(三条中线交点)、外心(外接圆圆心:
三边垂直平分线交点)、内心(内切圆圆心:
三角平分
线交点)、垂心(三高线的交点)
8.向量的内积(数量积)
(1)向量之间的夹角:
图像上起点在同一位置;范围 [0, π ] 。
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(2)内积公式:
a ⋅ b =| a || b | cos < a, b >
9.向量内积的性质:
(1) cos < a, b >=a ⋅ b
(3) a ⋅ a =| a |2 或 | a |=a ⋅ a(长度公式)
10. 向量的直角坐标运算:
(1) AB = ( x
B
- x , y - y )
A B A
(2)设 a = ( x , y ), b = ( x , y ) ,则a ± b = ( x ± x , y ± y )
11221212
λ a = (λx , λy ) a ⋅ b = x x + y y
1 1 1 2 1
2
11.中点坐标公式:
若 A ( x , y ) ,B ( x , y ) ,点 M(x,y)是线段 AB 的中点,则 x =
1122
12.向量平行、垂直的充要条件:
设 a = ( x , y ), b = ( x , y ) ,则
1122
y
1 =1(相对应坐标比值相等)
xy
22
a ⊥ b ⇔ a ⋅ b = 0 ⇔ x x + y y = 0(两个向量垂直则它们的内积为 0)
1212
11. 长度公式
(1)向量长度公式:
设 a = ( x, y ) ,则 | a |=x 2 + y 2
x + x y + y
1 2 , y = 1
2 2
2
(2)两点间距离公式:
设点 A( x , y ), B( x , y ) ,则
1122
| AB |= ( x - x ) 2 + ( y - y ) 2
2 1 2 1
⎩ y' = y + a2
12. 向量平移
⎧ x' = x + a
(1)平移公式:
点 P( x, y) 平移向量 a = (a , a )到P'( x', y') ,则 ⎨1记忆法:
“新=旧+向量”
12
(2)图像平移:
y = f ( x) 的图像平移向量 a = (a , a ) 后得到的函数解析式为:
y - a = f ( x - a )
1221
第八章平面解析几何
1.曲线 C 上的点与方程 F ( x, y) = 0 之间的关系:
(1)曲线 C 上点的坐标都是方程 F ( x, y)
= 0 的解;
(2)以方程 F ( x, y) = 0 的解 ( x, y) 为坐标的点都在曲线 C 上。
则曲线 C 叫做方程 F ( x, y)
= 0 的曲线,方程 F ( x, y) = 0 叫做曲线 C 的方程。
2.求曲线方程的方法及步骤:
(1) 设动点的坐标为(x,y);
(2) 写出动点在曲线上的充要条件;(3) 用 x, y 的关系式
表示这个条件列出的方程;(4) 化简方程(不需要的全部约掉);(5)证明化简后的方程是所求曲线的方程。
如果
方程化简过程是同解变形的话第五步可省略。
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3.两曲线的交点:
联立方程组求解即可。
4.直线:
(1) 倾斜角 α :
一条直线 l 向上的方向与 x 轴的正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角。
其 范围是 [0, π )
(2) 斜率:
①倾斜角为 90 0 的直线没有斜率;② k
= tan α (倾斜角的正切)
x - x
③经过两点 P ( x , y ), P ( x , y ) 的直线的斜率 K = y2 - y1
111222
21
(3) 直线的方程
( x ≠ x )
1 2
① 两点式:
y - y
1
y - y
2 1
=
x - x
1
x - x
2 1
② 斜截式:
y = kx + b
③ 点斜式:
y - y = k ( x - x )④ 一般式:
Ax + By + C = 0
00
注:
1.若直线 l 方程为 3x+4y+5=0,则与 l 平行的直线可设为 3x+4y+C=0;
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