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完整版初中奥数题
初中奥数题
试题一
一、选择题(每题1分,共10分)1.如果a,b都代表有理数,并且a+b=0,那么()
A.a,b都是0
B.a,b之一是0
C.a,b互为相反数
D.a,b互为倒数答案:
C解析:
令a=2,b=-2,满足2+(-2)=0,由此a、b互为相反数。
2.下面的说法中正确的是()
A.单项式与单项式的和是单项式
B.单项式与单项式的和是多项式
C.多项式与多项式的和是多项式
D.整式与整式的和是整式答案:
D解析:
x2,x3都是单项式.两个单项式x3,x2之和为x3+x2是多项式,排除A。
两个单项式x2,2x2之和为3x2是单项式,排除B。
两个多项式x3+x2与x3-x2之和为2x3是个单项式,排除C,因此选D。
3.下面说法中不正确的是()
A.有最小的自然数
B.没有最小的正有理数
C.没有最大的负整数
D.没有最大的非负数答案:
C解析:
最大的负整数是-1,故C错误。
4.如果a,b代表有理数,并且a+b的值大于a-b的值,那么()
A.a,b同号
B.a,b异号
C.a>0
D.b>0答案:
D5.大于-π并且不是自然数的整数有()
A.2个
B.3个
C.4个
D.无数个答案:
C解析:
在数轴上容易看出:
在-π右边0的左边(包括0在内)的整数只有-3,-2,-1,0共4个.选C。
6.有四种说法:
甲.正数的平方不一定大于它本身;
乙.正数的立方不一定大于它本身;丙.负数的平方不一定大于它本身;丁.负数的立方不一定大于它本身。
这四种说法中,不正确的说法的个数是()A.0个
B.1个C.2个D.3个答案:
B解析:
负数的平方是正数,所以一定大于它本身,故C错误。
7.a代表有理数,那么,a和-a的大小关系是()A.a大于-aB.a小于-a
C.a大于-a或a小于-aD.a不一定大于-a答案:
D解析:
令a=0,马上可以排除A、B、C,应选D。
8.在解方程的过程中,为了使得到的方程和原方程同解,可以在原方程的两边()A.乘以同一个数B.乘以同一个整式C.加上同一个代数式
D.都加上1答案:
D解析:
对方程同解变形,要求方程两边同乘不等于0的数,所以排除A。
我们考察方程x-2=0,易知其根为x=2.若该方程两边同乘以一个整式x-1,得(x-1)(x-2)=0,其根为x=1及x=2,不与原方程同解,排除B。
同理应排除C.事实上方程两边同时加上一个常数,新方程与原方程同解,对D,这里所加常数为1,因此选D.9.杯子中有大半杯水,第二天较第一天减少了10%,第三天又较第二天增加了10%,那么,第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是()A.一样多B.多了C.少了D.多少都可能答案:
C解析:
设杯中原有水量为a,依题意可得,第二天杯中水量为a×(1-10%)=0.9a;第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a;第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为0.99∶1,所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了,选C。
10.轮船往返于一条河的两码头之间,如果船本身在静水中的速度是固定的,那么,当这条河的水流速度增大时,船往返一次所用的时间将()
A.增多
B.减少
C.不变D.增多、减少都有可能答案:
A
二、填空题(每题1分,共10分)1.198919902-198919892=。
答案:
198919902-198919892=(19891990+19891989)×(19891990-19891989)=(19891990+19891989)×1=39783979。
解析:
利用公式a2-b2=(a+b)(a-b)计算。
2.1-2+3-4+5-6+7-8+⋯+4999-5000=。
答案:
1-2+3-4+5-6+7-8+⋯+4999-5000=(1-2)+(3-4)+(5-6)+(7-8)+⋯+(4999-5000)=-2500。
解析:
本题运用了运算当中的结合律。
3.当a=-0.2,b=0.04时,代数式a2-b的值是。
答案:
0
解析:
原式==(-0.2)2-0.04=0。
把已知条件代入代数式计算即可。
4.含盐30%的盐水有60千克,放在秤上蒸发,当盐水变为含盐40%时,秤得盐水的重是克。
答案:
45000(克)解析:
食盐30%的盐水60千克中含盐60×30%(千克),设蒸发变成含盐为40%的水重x克,即0.001x千克,此时,60×30%=(0.001x)×40%解得:
x=45000(克)。
遇到这一类问题,我们要找不变量,本题中盐的含量是一个不变量,通过它列出等式进行计算。
三、解答题
1.甲乙两人每年收入相等,甲每年储蓄全年收入的1,乙每月比甲多开支100元,三年后负债600元,求每人每年收入多少?
答案:
解得,x=5000答:
每人每年收入5000元。
所以S的末四位数字的和为1+9+9+5=24。
4.一个人以3千米/小时的速度上坡,以6千米/小时的速度下坡,行程12千米共用了3小时20分钟,试求上坡与下坡的路程。
答案:
设上坡路程为x千米,下坡路程为y千米.依题意则:
由②有2x+y=20,
③
由①有y=12-x,将之代入③得2x+12-x=20所以x=8(千米),于是y=4(千米)。
答:
上坡路程为8千米,下坡路程为4千米。
5.求和:
6.证明:
质数p除以30所得的余数一定不是合数。
证明:
设p=30q+r,0≤r<30,
因为p为质数,故r≠0,即0 假设r为合数,由于r<30,所以r的最小质约数只可能为2,3,5。 再由p=30q+r知,当r的最小质约数为2,3,5时,p不是质数,矛盾。 所以,r一定不是合数。 解: 设 由①式得(2p-1)(2q-1)=mpq,即(4-m)pq+1=2(p+q)。 可知m<4.由①,m>0,且为整数,所以m=1,2,3.下面分别研究p, q。 (1)若m=1时,有 解得p=1,q=1,与已知不符,舍去. (2)若m=2时,有 因为2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的,故m=2时无解.(3)若m=3时,有 故p+q=8。 试题二 一、选择题 1.数1是() A.最小整数 B.最小正数 C.最小自然数 D.最小有理数 答案: C 解析: 整数无最小数,排除A;正数无最小数,排除B;有理数无最小数,排除D。 1是最小自然数,正确,故选C。 2.a为有理数,则一定成立的关系式是() A.7a>a B.7+a>a C.7+a>7 D.|a|≥7 答案: B 解析: 若a=0,7×0=0排除A;7+0=7排除C;|0|<7排除D,事实上因为7>0,必有7+a>0+a=a.选B。 3.3.1416×7.5944+3.1416×(-5.5944)的值是() A.6.1632 B.6.2832 C.6.5132 D.5.3692 答案: B 解析: 3.1416×7.5944+3.1416×(-5.5944)=3.1416(7.5944-5.5944)=2×3.1416=6.2832,选B。 4.在-4,-1,-2.5,-0.01与-15这五个数中,最大的数与绝对值最大的那个数的乘积是() A.225 B.0.15 C.0.0001 D.1 答案: B解析: -4,-1,-2.5,-0.01与-15中最大的数是-0.01,绝对值最大的数是-15,(-0.01)×(-15)=0.15,选B。 二、填空题 1.计算: (-1)+(-1)-(-1)×(-1)÷(-1)=。 答案: (-1)+(-1)-(-1)×(-1)÷(-1)=(-2)-(-1)=-1。 2.求值: (-1991)-|3-|-31||=。 答案: (-1991)-|3-|-31||=-1991-28=-2019。 3.n为正整数,1990n-1991的末四位数字由千位、百位、十位、个位、依次排列组成的四位数是8009。 则n的最小值等于。 答案: 4 解析: 1990n的末四位数字应为1991+8009的末四位数字.即为0000,即1990n末位至少要4个0,所以n的最小值为4。 4.不超过(-1.7)2的最大整数是。 答案: 2 解析: (-1.7)2=2.89,不超过2.89的最大整数为2。 5.一个质数是两位数,它的个位数字与十位数字的差是7,则这个质数是。 答案: 29 解析: 个位数比十位数大7的两位数有18,29,其中只有29是质数。 三、解答题 1.已知3x2-x=1,求6x3+7x2-5x+2000的值。 答案: 原式 =2x(3x2-x)+3(3x2-x)-2x+2000=2x×1+3×1-2x+2000=2003。 2.某商店出售的一种商品,每天卖出100件,每件可获利4元,现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润,根据经验,这种商品每涨价1元,每天就少卖出10件。 试问将每件商品提价多少元,才能获得最大利润? 最大利润是多少元? 答案: 原来每天可获利4×100元,若每件提价x元,则每件商品获利(4+x)元,但每天卖出为(100-10x)件。 如果设每天获利为y元, 则y=(4+x)(100-10x) 2 =400+100x-40x-10x2 =-10(x2-6x+9)+90+400 2 =-10(x-3)2+490。 所以当x=3时,y最大=490元,即每件提价3元,每天获利最大为490元。 3.如图1-96所示,已知CB⊥AB,CE平分∠BCD,DE平分∠CDA,∠1+∠2=90°。 求证: DA⊥AB。 证明: ∵CE平分∠BCD,DE平分∠ADC及∠1+∠2=90°, ∴∠ADC+∠BCD=180°, ∴AD∥BC。 又∵AB⊥BC, ∴AB⊥AD。 4.求方程|xy|-|2x|+|y|=4的整数解。 答案: |x||y|-2|x|+|y|=4,即|x|(|y|-2)+(|y|-2)=2,所以(|x|+1)(|y|-2)=2。 因为|x|+1>0,且x,y都是整数,所以 5.王平买了年利率7.11%的三年期和年利率为7.86%的五年期国库券共35000元,若三年期国库券到期后,把本息再连续存两个一年期的定期储蓄,五年后与五年期国库券的本息总和为47761元,问王平买三年期与五年期国库券各多少? (一年期定期储蓄年利率为5.22%)答案: 设设王平买三年期和五年期国库券分别为x元和y元,则 因为y=35000-x, 所以x(1+0.0711×3)(1+0.0522)2+(35000-x)(1+0.0786×5)=47761, 所以1.3433x+48755-1.393x=47761, 所以0.0497x=994, 所以x=20000(元),y=35000-20000=15000(元)。 6.对k,m的哪些值,方程组至少有一组解? 答案: 因为(k-1)x=m-4,① m为一切实数时,方程组有唯一解.当k=1,m=4时,①的解为一切实数,所以方程组有无穷多组解。 当k=1,m≠4时,①无解。 所以,k≠1,m为任何实数,或k=1,m=4时,方程组至少有一组解。 试题三 一、选择题 1.下面给出的四对单项式中,是同类项的一对是() A.x2y与-3x2z 33 B.3.22m2n3与n3m2 C.0.2a2b与0.2ab2 D.11abc与ab答案: B解析: 字母相同,并且相同字母的指数也相同的两个式子叫同类项。 2.(x-1)-(1-x)+(x+1)等于() A.3x-3 B.x-1 C.3x-1 D.x-3答案: C 解析: (x-1)-(1-x)+(x+1) =x-1-1+x+x+1=3x-1,选C。 3.两个10次多项式的和是() A.20次多项式 B.10次多项式 C.100次多项式 D.不高于10次的多项式答案: D 1010 解析: 多项式x10+x与-x10+x2之和为x2+x是个次数低于10次的多项式,因此排除了A、B、C,选D。 4.若a+1<0,则在下列每组四个数中,按从小到大的顺序排列的一组是() A.a,-1,1,-a B.-a,-1,1,a C.-1,-a,a,1 D.-1,a,1,-a答案: A解析: 由a+1<0,知a<-1,所以-a>1。 于是由小到大的排列次序应是a<-1<1<-a,选A。 5.a=-123.4-(-123.5),b=123.4-123.5,c=123.4-(-123.5),则()A.c>b>a B.c>a>b C.a>b>c D.b>c>a 答案: B 解析:
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