全国三卷理科数学高考真题与答案.docx
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全国三卷理科数学高考真题与答案
2017年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅲ)
理科数学
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=(x,y│)x2
y2
1,B=(x,y│)
y
x,则A
B中元素的个数为
A.3
B.2
C.1
D.0
2.设复数z满足(1+i)z=2i,则∣z∣=
1
B.
2
C.
2
D.2
A.
2
2
3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了
2014年1月至
2016年12月期间月接待游客量(单位:
万人)的数据,绘制了下面的折线图.
根据该折线图,下列结论错误的是
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在
7,8月份
D.各年1月至6月的月接待游客量相对
7月至12月,波动性更小,变化比较平稳
4.(x+y)(2x-y)5的展开式中x3
y3的系数为
A.-80
B.-40
C.40
D.80
x2
y2
1
(a>0,b>0)的一条渐近线方程为
y
5x,且与椭圆
5.已知双曲线C:
b2
a2
2
x2y2
1有公共焦点,则C的方程为
123
x2
y2
B.
x2
y2
C.
x2
y2
x2
y
2
A.
1
4
1
5
1
D.
1
8
10
5
4
4
3
6.设函数f(x)=cos(x+
),则下列结论错误的是
3
A.f(x)的一个周期为-2π
B.y=f(x)的图像关于直线
x=8
对称
3
C.f(x+π)的一个零点为x=
D.f(x)在(
π)单调递减
6
2
7.执行下面的程序框图,为使输出
S的值小于
91,则输入的正整数
N的最小值为
A.5
B.4
C.3
D.2
8.已知圆柱的高为
1,它的两个底面的圆周在直径为
2的同一个球的球面上,则该圆柱的
体积为
A.π
B.
3π
π
π
4
C.
D.
2
4
9.等差数列an
的首项为
1,公差不为
0.若a2,a3,a6成等比数列,则
an前6项的和
为
A.-24
B.-3
C.3
D.8
x2
y2
1,(a>b>0)的左、右顶点分别为
A1,A2,且以线段
A1A2为
10.已知椭圆C:
b2
a2
直径的圆与直线
bxay2ab
0相切,则C的离心率为
6
3
C.
2
1
A.
B.
3
D.
3
3
3
11.已知函数f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点,则a=
A.
1
B.1
C.1
D.1
2
3
2
12.在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与
BD相切的圆上.若AP=
AB+
AD,则
+的最大值为
A.3
B.22
C.
5
D.2
二、填空题:
本题共
4小题,每小题
5分,共20分。
x
y
0
3x
4y的最小值为__________.
.若
x
,
y
满足约束条件
x
y
20,则z
13
y
0
14.设等比数列an
满足a1+a2=–1,a1–a3
=–3,则a4=___________.
x
,
,
1
1x
0
f(x
1
的x的取值范围是_________。
15.设函数f(x)
x,
x
,则满足f(x)
)
2
0
2
16.a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形
ABC的直角边AC所在直线与
a,
b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:
①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;
②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;
③直线AB与a所成角的最小值为
45°;
④直线AB与a所成角的最小值为
60°;
其中正确的是________。
(填写所有正确结论的编号)
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,
每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
共60分。
17.(12分)
△ABC的内角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c,已知
sinA+
3cosA=0,a=2
7,b=2.
(1)求c;
(2)设D为BC边上一点,且ADAC,求△ABD的面积.
18.(12分)
某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,
未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求
量与当天最高气温(单位:
℃)有关.如果最高气温不低于
25,需求量为500
瓶;如果最
高气温位于区间[20,25),需求量为
300瓶;如果最高气温低于
20,需求量为
200瓶.为
了确定六月份的订购计划,
统计了前三年六月份各天的最高气温数据,
得下面的频数分布表:
最高气温
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:
瓶)的分布列;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:
元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:
瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?
19.(12分)
如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,
AB=BD.
(1)证明:
平面ACD⊥平面ABC;
(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D–AE–C的余弦值.
20.(12分)
已知抛物线C:
y2=2x,过点(2,0)的直线l交C与A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.
(1)证明:
坐标原点O在圆M上;
(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.
21.(12分)
已知函数f(x)=x﹣1﹣alnx.
(1)若f(x)0,求a的值;
(2)设m为整数,且对于任意正整数
n,(1+
1
)(1
+
1
)
(1+
1
)﹤m,求m的最小
2
22
2n
值.
(二)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第
一题计分。
22.[选修4
-4:
坐标系与参数方程
](10分)
在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为
x
2+t,(t为参数),直线l2的参数方程
y
kt,
x
2
m,
为
(为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.
y
m,
m
k
(1)写出C的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设
l3:
ρ(cosθ+sinθ)-
2=0,
M为l3与C的交点,求M的极径.
23.[选修4
-5:
不等式选讲](10
分)
已知函数f(x)=│x+1│–│x–2│.
(1)求不等式f(x)≥1的解集;
(2)若不等式f(x)≥x2–x+m的解集非空,求m的取值范围.
绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题正式答案
一、选择题
1.B2.C
3.A4.C5.B6.D
7.D8.B
9.A10.A11.C12.A
二、填空题
13.-114.-815.
(-
1,+
)
16.②③
4
三、解答题
17.解:
(1)由已知得tanA=3,所以A=2
3
在△ABC中,由余弦定理得
284
c2
4ccos
2
,即c2+2c-24=0
3
解得
c
(舍去),
c
=4
6
(2)有题设可得CAD=
,所以BAD
BAC
CAD
2
6
1ABADsin
故△ABD面积与△ACD面积的比值为
2
1ACAD
6
1
2
1
4
2sin
BAC
2
3,所以
的面积为3.
又△ABC的面积为
ABD
2
18.解:
(1)由题意知,
X所有的可能取值为
200,300,500
,由表格数据知
PX
200
2
16
0.2
90
PX
300
36
0.4
90
PX
500
25
7
4
0.4.
90
因此X的分布列为
X
200
300
500
P
0.2
0.4
0.4
⑵由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为
500,至少为200,因此只需考虑200≤n≤500
当300≤n≤500时,
若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n
若最高气温位于区间
20,,25
,则Y=6×300+2(n-300)-4n=1200-2n;
若最高气温低于20
,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n;
因此EY=2n×0.4+(1200-2n)×0.4+(800-2n)
×0.2=640-0.4n
当200≤n300时,
若最高气温不低于
20,则Y=6n-4n=2n;
若最高气温低于20
,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n;
因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n
所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为
520元。
19.解:
(1)由题设可得,
ABD
CBD,从而AD
DC
又ACD是直角三角形,所以
ACD=900
取AC的中点O,连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO
又由于ABC是正三角形,故BOAC
所以
DOB为二面角D
AC
B的平面角
在
中,
BO
2
AO
2
AB
2
RtAOB
又ABBD,所以
BO
2
DO
2
BO
2
AO
2
AB
2
2
,故
0
BD
DOB=90
所以平面ACD
平面ABC
(2)
由题设及
(1)知,OA,OB,OD
两两垂直,以
O
为坐标原点,
OA
的方向为
x
轴正方向,
OA
为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系
O-xyz,则
(1,0,0),(0,3,0),
(
1,0,0),(0,0,1)
A
B
C
D
由题设知,四面体ABCE的体积为四面体
ABCD的体积的
1
,从而E到平面ABC的距离
2
1
,即E为DB的中点,得E
0,
3
1
.故
为D到平面ABC的距离的
,
2
2
2
1,0,1,
2,0,0,
3
1
AD
1,,
AC
AE
2
2
nAD
0,
x
z
0
设n=
x,y,z
是平面DAE的法向量,则
3
1
nAE
即
x
y
0
0,
2
z
2
可取n=1,
3
1
3
mAC0,
设m是平面AEC的法向量,则同理可得m0,1,3
mAE0,
nm
7
则cosn,m
7
nm
7
所以二面角D-AE-C的余弦值为
7
20.解
(1)设Ax1,y1,Bx2,y2
l:
x
my
2
x
my
2
2my4
0,则y1y2
4
由
2
2x
可得y2
y
2
2
y1y2
2
又x1=y1,x2=y2
=4
故x1x2=
2
2
4
因此OA的斜率与OB的斜率之积为
y1
y2=-4=-1
x1
x2
4
所以OA⊥OB
故坐标原点O在圆M上.
(2)由
(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=my1+y2
+4=2m2
4
故圆心M的坐标为
m2+2,m,圆M的半径r
m2
2
m2
2
由于圆M过点P(4,-2),因此APBP0,故x1
4
x24
y12y2
2
0
即x1x2
4x1+x2
y1y2
2y1
y2
200
由
(1)可得y1y2=-4,x1x2=4,
所以2m2
m
1
0,解得
m
1或
m
1
2.
当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(
3,1),圆M的半径为
10
,圆M
x
2
y
2
10
的方程为
3
1
1
时,直线l的方程为2x
9
1
当m
y40,圆心M的坐标为
,-
2
4
2
,圆M的半径为
85
2
2
x
9
+
y+1
85
,圆M的方程为
4
4
2
16
21.解:
(1)fx
的定义域为
0,+.
①若a0,因为f
1
=-1+aln
2<0,所以不满足题意;
2
2
②若a>0,由f'
x
1
a
x
a
0,a
时,f'
x<0
;当x
a,+
时,
x
知,当x
x
f'x>0,所以
f
x在
0,a
单调递减,在
a,+
单调递增,故
x=a
是f
x在
x0,+的唯一最小值点.
由于f10,所以当且仅当a=1时,fx0.
故a=1
(2)由
(1)知当x
1,+
时,x
1lnx>0
令=1+
1
得ln
1+1<1
,从而
x
2n
2n
2n
ln1+1+ln1+1
++ln1+1
<1+1
+
+1
=1-1
<1
2
22
2n
222
2n
2n
故1+
1
1+
1
1+
1
<e
2
2
2
2n
而1+
1
1+
1
1+
1
>2,所以m的最小值为3.
2
22
23
22.解:
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