导数与函数的极值最值问题解析版.docx
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导数与函数的极值最值问题解析版
导数与函数的极值和最值问题
类型一利用导数研究函数的极值
解题模板:
第一步
计算函数f(x)的定义域并求出函数f(x)的导函数f'(x);
第二步求方程f'(x)0的根;
第三步判断f'(x)在方程的根的左、右两侧值的符号;
第四步利用结论写出极值•
例1已知函数f(x)1InX,求函数fx的极值.
x
【答案】极小值为1,无极大值•
试题解析:
⑴因两了何显+ln心所以/m4丄・耳.令『何・0鬲-
X/W的放域为W—切」由得由厂⑴刈得,w所以—1时./■何有扱小值为1J无极大值.
D.17或18
【答案】C
【解析】
试题分析:
f(x)
4
11
f(x)3x22axb,
1
aba210
时,f(x)3(x1)2
0,
在x1处
8x11(3x11)(x
1),
11
x(3,1),i
f
(2)81622
16
18.故选C.
3
3
不
3x2
32a
a120
存在极值.
【变式演练
2】设函数fxInx
1
—ax
2
a4或
b11
f(x)0;x(1,),f(x)
bx,若x1是fx的极大值点,则
4
11
0,符合题意.所
a的取值范围为
B.1,
C.0,D.,1U0,
【答案】B
【解析】
试题分析:
丁/(a)=fcX--OX1-bxrJ.x>0J—-ax-b,由/*l1i-0得b=l-af
2x
丁(£=丄-血"-1=_‘①若COJ宙f仗)=Oj得乂=1启ovmC时J/rM>0、此
xx
时/■&)单调递増;^>161,r(xJ<0,此时九t)电调遷融所£U=1是/(罰的徵大值臥②若口V0,则由r(xl=0,得“1或X=--..-x=1时TV)的扳丈值钛二丄〉】■解得-Ux0-综合g亀daa
的取值范围时QT・故选氏
11
【变式演练3】函数f(x)-x3-(m1)x22(m1)x在(0,4)上无极值,则m^
32
【答案】3
【解析】
试题分析:
因为f(x)!
x3^(m1)x22(m1)x,
32
所以f'(x)x2(m1)x2(m1)x2xm1,由f'x0得x2或xm1,又因为
11
函数f(x)—X3(m1)x22(m1)x在(0,4)上无极值,而20,4,所以只有m12,m332
时,fx在R上单调,才合题意,故答案为3.
【变式演练4】设函数f(x)x3(1a)x2ax有两个不同的极值点x1,x2,且对不等式
f(xjf(X2)0恒成立,则实数a的取值范围是.
【答案】(,1]U1,2
2
【解析】
x;1ax;x;ax-ix20,即
x1x20,
试题分析:
x1x2为
2
X2
f(xjf(X2)
3x1x2
0,故得不等式洛
由于f'x3x221axa,令f'x0得方程3x221axa0,因
则实数a的取值范围是
【答案】、3a2
【解析】
rz—1<-<1厂
试题井析;f(口=皿+】「[3
/(D>0
类型二求函数在闭区间上的最值
解题模板:
第一步求出函数f(x)在开区间(a,b)内所有极值点;
第二步计算函数f(x)在极值点和端点的函数值;
第三步比较其大小关系,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值
例2若函数fx
exx2mx,在点1,f1处的斜率为e1.
(1)求实数m的值;
(2)求函数fx在区间1,1上的最大值.
【答案】
(1)m1;
(2)fxmaxe.
【解析】
试题分析:
(1)由f
(1)e1解之即可;
(2)fxex
2x1为递增函数且f1e10,f
0,所以在区间(1,1)上存
[Xo,1]上单调递增,所以
在Xo使f(Xo)0,所以函数在区间[1,X。
]上单调递减,在区间
XmaxmaXf
1,f1,求之即可.
试题解析:
(1)fx
ex2xm,二f
e2m,即e2
e1,解得
实数m的值为1;
10,f1
(2)fxex2x1为递增函数,二f1
存在x0
1,1,使得f
X00,所以fX
max
maxf1,f
1e1
2,f1e,
x
max
【变式演练6】已知函数
f(x)xlnx,g(x)
ax
2.
求函数f(x)在[t,t2](t
0)上的最小值;
【答案】(I)f(x)min
tint,t
【解析】
试题分析:
(I)由f'(x)inx
0,得极值点为
1
-,分情况讨论
e
1
1时,函
e
数f(x)的最小值;
(U)当函数
f(x)g(x)有两个不同的极值点,即
inx2x
有两个不同的实根
X2XX2),问题等价于直线ya与函数G(x)
inx2x1的图象有两
个不同的交点,由
G(x)单调性结合函数图象可知当aG(x)minG
(1)
2
in2时,NX存在,且
X2
inx12x11a
M的值随着a的增大而增大,而当X2X1in2时,由题意
inx22x21a
代入上述方程可得x24X3in2,此时实数a的取值范围为a2in2in(in32)
试题解析:
(I)由f'(x)inx10,可得
1
x,
e
①0t1时,函数f(x)在(t,1)上单调递减,在(」,t2)上单调递增,
ee
11
函数f(x)在[t,t2](t0)上的最小值为f(-)
ee
1
②当t时,f(x)在[t,t2]上单调递增,
e
f(X)min
0t
ee.
1;tlnt,te
练习
1.若f(x)
32.2
xaxbxa
7a在x1处取得极大值10,则b的值为(
a
)
A•3或
1
B.3或1
c.2
2
D.1
2
22
2
2
【答案】
C
【解析】
试题
分
析
:
f
(x)x3
ax2bxa
27a,
fx
3x2
2ax
b,
又
f(x)x
3
2ax
bx
a27a
在x
1处取得
极大值
10,
fx
32a
b
0,
f11
a
b
2a
7a10,
.2…a
8a120,
•••a2,
b1或a
6,
b9.
当a
2,
b1时,
f
x
3x2
4x1
3x1
1
x1,当1
x1时,
fx0,
当x
1时,
fx
0,
7
a6,b9时,
当
3
在x1处取得极小值,与题意不符
fx3x212x93x1x3,当x1时,fx0,当1x3时,fx0,二fx在x1处取得极大值,符合题意;-3,故选C.
a2
考点:
利用导数研究函数的极值.
2•已知f(x)alnx-x2(a0),若对任意两个不等的正实数为必,都有"灯f区)2恒
2%x2
成立,则实数a的取值范围是()
A•(0,1]B•(1,)C.(0,1)
D-[1,)
【答案】D
【解析】
试题分析:
根握g-心“可知跚的导數大于或等于X所決/©)=兰十蛙2(工皿"0),分离蔘数得a>x(2-x)t而当艾"时,x(2-x)最大值为1,tka>l.
考点:
函数导数与不等式,恒成立问题.
3.等差数列{a.}中的ab%25是函数f(x)-x34x26x1的极值点,则log?
a2°i3等于()
3
A.2B.3C.4D.5
【答案】A
【解析】
试题分析:
f'(x)x28x6,a1,a4025是方程x28x60的两根,由韦达定理有a1a40258,所
以2a20138,a20134,故log?
a2°13log242,选A.
考点:
1•函数的极点;2•等差数列的性质;3•导数的计算.
4.【2017届河南濮阳第一高级中学高三上学期检测二数学试卷,文12】已知函数
132111
f(x)xxax.若g(x)x,对任意捲[,2],存在x?
[-,2],使f'(xjg(X2)成立,则
3e22
实数a的取值范围是()
A.(,e8]B.[—^8,)C.[・2,e)D.([,》]
ee32
【答案】A
【解析】
试题幷析;对任意还w[刍2],存在七使八中立礎八二[八切认冬虫(切迪,/'(x)=(a+L)2+a-l在*2]上单调進増…广仏.二广⑵二8+s如在[抽上单调谨陽则
£(轨吐~S(.~)-~~—■*贝巾应■—-S刼选山
2eee
考点:
1、利用导数研究函数的单调性;2、利用导数求函数的最值及全称量词与存在量词的应
用.
5.已知数列{耳}中,
an.
a11,函数f(x)
2—x
3
3anx2
2
3an1x
4在x
1处取得极值,则
【答案】
23n11
【解析】
试题分
析:
因为
f(x)
23an2
-x—x
32
3an
M4,
所以
f'x
2
2xanx3an1,
f'1
2an3an1
0,an
3an12,an
1
3an11
an
1是以a1
12为首项,以3
为公比的等比数列an
n
123
1n1
an23
1,
故答案为
n1
2g3
1.
6.若正数t满足a
考点:
1、利用导数求函数极值;2、根据数列的递推公式求通项公式.
1
0—e,所以a
a
考点:
【答案】a
【解析】
试题分析:
设f(t)
(2e
t)lnt
2et
,f'(t)lnt2
2e
;elnt1,显然f'(e)0,又
f"(t)
2et2
1
1,当t
0时,
f"(t)
0,故f'(t)是减函数,
所以当0te时,f'(t)0,f(t)
递增
,当t
e时,
f'(t)
0,
f(t)递减,所以xe
时,f(t)取极大值也是最大值
f(e)
(2ee)lnee,
当t
(或t0)时,f(t)
1
,因此f(t)e,所以'0或
a
1
0中a-.
e
导数与函数的单调性、极值、最值.
的两个极值点为x「x2,且xx2,x-!
冷2\5.
【答案】
(1)x宁,X2宁;
(2)'宁U宁,1;(3)证明见解析•
【解析】
试分題析:
对问题(1〉首先对函数f(刃亠血)护逬行求导,并令f(对=0,再结合韦艺走理』即
可求出实数口的值,进而可得到可■花值的】对题问⑵可次根据⑴的结论,笄结合对c的讨込进而
可求出匚的取值范围$对问题(3);可以通过引入函数ffM=(x-2)eK-m+1丿并通过求导尹斷其单调
3
性,进而可证明巩工)列,再根据已知兼件可以证明/(x]+2^k-p\逆而可证明所需结论.
试题解析:
(1):
fxx22axaex,
•••由x22.5x.5
545145
xx2,•x1-^,x2丁,
(S)证明:
设黑(工)=(工一2疋-胸+1,则工(x)=[工-1)才‘令了(X)*0得XA10®x ■;亘(兀)如=g(l)=-e-m+l>h r<医丫f~ T/[£|+加二疋+石工+2丨h二|+-j+—eOx-时取等号), 二不等式成立(因为取等条件不相同'所以等号取不到》考点: 1.导数在函数研究中的应用;2.单调性;3.极值. ln1ax2 x 8.【2017届河北武邑中学高三周考8.28数学试卷,理22】已知函数f 仅 当 a0,1 时,fx有极小值点 X1 和极大值 X2,.且x〔 1 X2,X1X2 1 8 2a 2a f X1 fX2 22 Inx-iax-ix-iInx2ax2 X2 lnx1x2 1 —X-ix2 1 1ln2a—— 1令 2 4a g a ln2a 11 1,a0,,则当a0. 1 1 时,gx 114a 9 □0,ga在 0,1 8 8 8 4a a4a4a 3”_L1 试题解析: 解: Cl>/(X)=-lnx-cdT+xt/(x)2ax+l XX 令直寸,氐在(0: +工)单调递减. Q 当。 "气叭A>0.方稈沁7心0有两个不相等桩根g 不妨设对空耳,贝帀十g)时,当疋(期円)时,r(x)>o,这时于(对不 是里调函数. 粽上J应的取值范围是心占 (1)若yf(x)在x2处取得极小值,求a的值; (2)若f(x)0在[1,)上恒成立,求a的取值范围; 11 【答案】 (1)丄; (2)a-;(3)证明见解析. 82 【解析】 试题分析: (1)求函數的导数,根据=出卫的值,但需要验证;<2)需要分类讨论'根据导数求出函数的最小值$⑶由⑺可得匸亠,利用裂项求和证明即可* mxx—1 试题解析: ⑴丁八0的定又域为(Q他: b x 在工=2处取得画進「J⑴=0』即由=$业时,经脸证"2是f(Q的极小值点'故门=£ ⑵f\x)=2ax-- x 盾. 题意. 综上: a1 2 考点: 1•导数的综合应用; 2.不等式恒成立问题;3.不等式的证明及裂项求和的方法. 10.【2017届云南曲靖一中高三上月考二数学试卷,理22】已知函数f(x)x33ax1的导函 数为f(x),g(x)f(x)ax3. (1)当a2时,求函数f(x)的单调区间; (2)若对满足1a1的一切a的值,都有g(x)0,求实数x的取值范围; (3)若xg(x)lnx0对一切x2恒成立,求实数a的取值范围. 【答案】 (1)函数f(x)的单调递增区间为(,.2],[..2,),单调递减区间为(..2^2); (2) 0x1;(3)a12ln2 32 【解析】试题分祈;<1>求出广仕)・得增区间,得减区间$ (2)貞功二呛7)=恥一工)十? /一耳要使月对満足一13口出L切口成立.很据一次圈数的几何性 bix 质只需 即可孑(3)蛰'(工)+扫工二0对一切x>2恒成立等价于^<6x+—=hU)对一切 X 兀22■恒成立』只需应<吩)站即可•试题解析: (1)当a2时,f(x)3x26,令f(x)0得x2, 故当x2或x2时,f(x)0,f(x)单调递增, 当、2x..2时,f(x)0,f(x)单调递减, 所以函数f(x)的单调递增区间为(,、.2][.2,),单调递减区间为(m (2)因为f(x)3x23a,故g(x)3x2ax3a3, 令g(x)h(a)a(3x)3x23,要使h(a)0对满足1a1的一切a成立, 2 则h (1)3x2xa0,解得0x h (1)3xx0, (3)因为g(x)6xa,所以x(6xa)Inx0, 即a6x旦xh(x)对一切x2恒成立, x 2 1Inx6x1Inx2 h(x)622,令6x1Inx(x), xx 理22】若函数fx的反函数记为f1x, 考点: 1、利用导数研究函数的单调性进而求最值;2、不等式恒成立问题 11.【2016届河北南宫一中学高三仿真模拟数学试卷, 已知函数fxex. (1)设函数Fxf1xfx,试判断函数Fx的极值点个数; (2)当x0,—时,fx広nxkx,求实数k的取值范围. 2 【答案】 (1)1个; (2),1. 【解析】 试題分析: ⑴对園数冋耳)求导"判断单调性,根据零点存在性罡理得出极值点个数‘ (2)构诘新函数”(丸)=/仗)-肚=孑血"駄,求导判断导国数的正员情况,先研充不带参数的部分,(兀)=』(sinx^cosx}|5flj域对WJi,舉: ]因此把上分为三部分j硏究此幻』和1小《戛得出ill数或对的单调性和最值'从而求出上的范围• 11 试题解析: (1)Fxex,当x0,时,1是减函数,ex也是减函数, xx 1 •••Fx1ex在0,上是减函数,当x1时,Fx1e0, x 当x1时,Fx2e0,AFx在0,上有且只有一个变号零点, 2 •••Fx在定义域0,上有且只有一个极值点.. 令hxexsinxcosx,贝Uhx2excosx0,x0, •••hx在0,上为增函数,二hx1,e7 2 ①当上幻叭/⑷刃恒咸N「七闰在0点上为憎囲数…理(斗)严貞血二0,即 二当工亡(0丹)吋〉*(文)“(0)=0,不符合1! 意」 ③当4说如“恒成託•"凶在予上为握碱则€小胃⑼=0,不符吕题意. 综合①②③可得j所求的实数氏的职值范围是(七』・学科网 考点: 1•函数的极值点;2•含参讨论函数的单调性与最值. 12.【2017届安徽蚌埠二中等四校高三10月联考数学试卷,理22】设函数 xf(x)aln(1x),g(x)ln(1x)bx. 1x (1)若函数f(x)在x0处有极值,求函数f(x)的最大值; (2)①是否存在实数b,使得关于x的不等式g(x)0在(0,)上恒成立? 若存在,求出b的 取值范围;若不存在,说明理由; nk1 ②证明: 不等式1二-Inn丄51,2,L). k1k212 【答案】 (1)f(0)0; (2)①b1: ②证明见解析. 【解析】 试题分析: (1)由f(x)0的解,即可得出极值点,得出a值后,再利用导函数求单调区间; (2) ①本题为恒成立问题,利用函数的增减性和端点值来求解,而函数的单调性由导函数的正负来决 定;②运用不等式的放缩与基本不等式的性质,证明右边项时采用了数列的增减性的基本定义 来证明,通过说明数列时单调递减来证明不等式,在证明右侧时,采用将Inn裂项的方法,将详见 111 得到的每一项放缩,最后利用裂项相消——■''来证得不等式成立. n(n1)nn1 趣解析: 解: ⑴由已碍”)=碍-花,且融朋在…处龊值 …八"二(1+汙I7x_(i+疔- 当xeK.O)时,/(X)>0,单调读増; 当花(0冋||寸,/U) fE单调递狐 函数O)的最大值対/(0>=0. (2)①由已知得: g(x)—b 1x ln(1x)bxg(0)0,•不能使g(x)0在(0,)上恒成立; 综上所述, b的取值范围是x[1,). ②由以上得: — Llll碎料11片 则曲=£,兀_旺・1=k^_b(l+—)吒=^__一/',B・ 2n+1理一1JT-t-1n(阿亠1)瑋 因此耳€耳-1<=i nj^ii ▽In藝=工[Int-ln(fc-1)]-Ini-工5(1+二) Zv-l盘 考点: 1•函数的极值;2•恒成立问题;3•导数证明不等式.
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