Matlab求解非线性超定方程组恰定方程组欠定方程组.docx
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Matlab求解非线性超定方程组恰定方程组欠定方程组
Matlab求解非线性超定方程组
3x+2/(5+y)=6,
4x+4/(5+y)=7,
9x+4/(8+y)=12
11x+2/(4+y)=15
x,y是未知数
--------------------
clc;clear;
%其实楼主的问题可以等效为求最小值的问题,我使用的指标是典型的平方和最小
xtt=[1,1];
f=@(x)(3*x
(1)+2/(5+x
(2))-6)^2+(4*x
(1)+4/(5+x
(2))-7)^2+(9*x
(1)+4/(8+x
(2))-12)^2+(11*x
(1)+2/(4+x
(2))-15)^2;
[x,fval]=fminsearch(f,xtt)
==============================================================================
求解线性方程组
solve,linsolve
例:
A=[5042;1-121;4120;1111];
%矩阵的行之间用分号隔开,元素之间用逗号或空格
B=[3;1;1;0]
X=zeros(4,1);%建立一个4元列向量
X=linsolve(A,B)
diff(fun,var,n):
对表达式fun中的变量var求n阶导数。
例如:
F=sym('u(x,y)*v(x,y)');%sym()用来定义一个符号表达式
diff(F);%matlab区分大小写
pretty(ans)%pretty():
用习惯书写方式显示变量;ans是答案表达式
非线性方程求解
fsolve(fun,x0,options)
其中fun为待解方程或方程组的文件名;
x0位求解方程的初始向量或矩阵;
option为设置命令参数
建立文件fun.m:
functiony=fun(x)
y=[x
(1)-0.5*sin(x
(1))-0.3*cos(x
(2)),...
x
(2)-0.5*cos(x
(1))+0.3*sin(x
(2))];
>>clear;x0=[0.1,0.1];fsolve(@fun,x0,optimset('fsolve'))
注:
...为续行符
m文件必须以function为文件头,调用符为@;文件名必须与定义的函数名相同;fsolve()主要求解复杂非线性方程和方程组,求解过程是一个逼近过程。
Matlab求解线性方程组
AX=B或XA=B
在MATLAB中,求解线性方程组时,主要采用前面章节介绍的除法运算符“/”和“\”。
如:
X=A\B表示求矩阵方程AX=B的解;
X=B/A表示矩阵方程XA=B的解。
对方程组X=A\B,要求A和B用相同的行数,X和B有相同的列数,它的行数等于矩阵A的列数,方程X=B/A同理。
如果矩阵A不是方阵,其维数是m×n,则有:
m=n恰定方程,求解精确解;
m>n超定方程,寻求最小二乘解;
m 针对不同的情况,MATLAB将采用不同的算法来求解。 一.恰定方程组 恰定方程组由n个未知数的n个方程构成,方程有唯一的一组解,其一般形式可用矩阵,向量写成如下形式: Ax=b其中A是方阵,b是一个列向量; 在线性代数教科书中,最常用的方程组解法有: (1)利用cramer公式来求解法; (2)利用矩阵求逆解法,即x=A-1b; (3)利用gaussian消去法; (4)利用lu法求解。 一般来说,对维数不高,条件数不大的矩阵,上面四种解法所得的结果差别不大。 前三种解法的真正意义是在其理论上,而不是实际的数值计算。 MATLAB中,出于对算法稳定性的考虑,行列式及逆的计算大都在lu分解的基础上进行。 在MATLAB中,求解这类方程组的命令十分简单,直接采用表达式: x=A\b。 在MATLAB的指令解释器在确认变量A非奇异后,就对它进行lu分解,并最终给出解x;若矩阵A的条件数很大,MATLAB会提醒用户注意所得解的可靠性。 如果矩阵A是奇异的,则Ax=b的解不存在,或者存在但不唯一;如果矩阵A接近奇异时,MATLAB将给出警告信息;如果发现A是奇异的,则计算结果为inf,并且给出警告信息;如果矩阵A是病态矩阵,也会给出警告信息。 注意: 在求解方程时,尽量不要用inv(A)*b命令,而应采用A\b的解法。 因为后者的计算速度比前者快、精度高,尤其当矩阵A的维数比较大时。 另外,除法命令的适用行较强,对于非方阵A,也能给出最小二乘解。 二.超定方程组 对于方程组Ax=b,A为n×m矩阵,如果A列满秩,且n>m。 则方程组没有精确解,此时称方程组为超定方程组。 线性超定方程组经常遇到的问题是数据的曲线拟合。 对于超定方程,在MATLAB中,利用左除命令(x=A\b)来寻求它的最小二乘解;还可以用广义逆来求,即x=pinv(A),所得的解不一定满足Ax=b,x只是最小二乘意义上的解。 左除的方法是建立在奇异值分解基础之上,由此获得的解最可靠;广义逆法是建立在对原超定方程直接进行householder变换的基础上,其算法可靠性稍逊与奇异值求解,但速度较快; 【例7】 求解超定方程组 A=[2-13;31-5;4-11;13-13] A= 2-13 31-5 4-11 13-13 b=[303-6]’; rank(A) ans= 3 x1=A\b x1= 1.0000 2.0000 1.0000 x2=pinv(A)*b x2= 1.0000 2.0000 1.0000 A*x1-b ans= 1.0e-014 -0.0888 -0.0888 -0.1332 0 可见x1并不是方程Ax=b的精确解,用x2=pinv(A)*b所得的解与x1相同。 三.欠定方程组 欠定方程组未知量个数多于方程个数,但理论上有无穷个解。 MATLAB将寻求一个基本解,其中最多只能有m个非零元素。 特解由列主元qr分解求得。 【例8】 解欠定方程组 A=[1-211;1-21-1;1-215] A= 1-211 1-21-1 1-21-1 1-215 b=[1-15]’ x1=A\b Warning: Rankdeficient,rank=2tol=4.6151e-015 x1= 0 -0.0000 0 1.0000 x2=pinv(A)*b x2= 0 -0.0000 0.0000 1.0000 四.方程组的非负最小二乘解 在某些条件下,所求的线性方程组的解出现负数是没有意义的。 虽然方程组可以得到精确解,但却不能取负值解。 在这种情况下,其非负最小二乘解比方程的精确解更有意义。 在MATLAB中,求非负最小二乘解常用函数nnls,其调用格式为: (1)X=nnls(A,b)返回方程Ax=b的最小二乘解,方程的求解过程被限制在x的条件下; (2)X=nnls(A,b,TOL)指定误差TOL来求解,TOL的默认值为TOL=max(size(A))*norm(A,1)*eps,矩阵的-1范数越大,求解的误差越大; (3)[X,W]=nnls(A,b)当x(i)=0时,w(i)<0;当下x(i)>0时,w(i)0,同时返回一个双向量w。 【例9】求方程组的非负最小二乘解 A=[3.4336-0.52380.6710 -0.52383.2833-0.7302 0.6710-0.73024.0261]; b=[-1.0001.50002.5000]; [X,W]=nnls(A,b) X= 0 0.6563 0.6998 W= -3.6820 -0.0000 -0.0000 x1=A\b x1= -0.3569 0.5744 0.7846 A*X-b ans= 1.1258 0.1437 -0.1616 A*x1-b ans= 1.0e-0.15 -0.2220 0.4441 0 ============================================================== 关于采用matlab进行指定非线性方程拟合的问题 (1) ※1。 优化工具箱的利用 函数 描述 LSQLIN 有约束线性最小二乘优化 LSQNONNEG 非负约束线性最小二乘优化问题 当有约束问题存在的时候,应该采用上面的方法代替Polyfit与反斜线(\)。 具体例子请参阅优化工具箱文档中的相应利用这两个函数的例子。 d. 非线性曲线拟合 利用MATLAB的内建函数 函数名 描述 FMINBND 只解决单变量固定区域的最小值问题 FMINSEARCH多变量无约束非线性最小化问题(Nelder-Mead方法)。 下面给出一个小例子展示一下如何利用FMINSEARCH 1.首先生成数据 >>t=0: .1: 10; >>t=t(: ); >>Data=40*exp(-.5*t)+rand(size(t)); %将数据加上随机噪声 2.写一个m文件,以曲线参数作为输入,以拟合误差作为输出 functionsse=myfit(params,Input,Actural_Output) A=params (1); lamda=params (2); Fitted_Curve=A.*exp(-lamda*Input); Error_Vector=Fitted_Curve-Actural_Output; %当曲线拟合的时候,一个典型的质量评价标准就是误差平方和 sse=sum(Error_Vector.^2); %当然,也可以将sse写作: sse=Error_Vector(: )*Error_Vector(: ); 3.调用FMINSEARCH >>Strarting=rand(1,2); >>options=optimset('Display','iter'); >>Estimates=fiminsearch(@myfit,Strarting,options,t,Data); >>plot(t,Data,'*'); >>holdon >>plot(t,Estimates (1)*exp(-Estimates (2)*t),'r'); Estimates将是一个包含了对原数据集进行估计的参数值的向量。 附图见后面: FMINSEARCH通常能够用来解决不连续情况,特别是如果他们不出现在解的附近的时候。 它得到的通常也是局部解。 FMINSEARCH只能够最小化实数值(也就是说,解的域必须只能包括实数,函数的输出只能够为实数值)。 当感兴趣的是复数变量的域的时候,他们必须被分割为实部与虚部。 ※2.MATLAB的FIGURE窗口: 最基本的拟合界面与数据统计工具 MATLAB通过基本的拟合界面也支持基本曲线拟合。 利用这个界面,你可以快速地在简单易用的环境中实现许多基本的曲线拟合。 这个界面可以实现以下功能: a.通过比样条插值(splineinterpolant)、hermite插值、或者是高达10阶的多项式插值实现数据的拟合; b.对给定数据同时实现多样插值的绘制; c.绘制残差图; d.检查拟合结果的残差的数值; e.通过内插值或者外推插值评价一个拟合结果; f.对拟合结果和残差的模进行图形绘制; g.将拟合结果保存入MATLAB工作空间。 开发你的拟合应用的时候,你
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- Matlab 求解 非线性 方程组