《信号分析与处理》备课教案第二章 2.docx
- 文档编号:877588
- 上传时间:2022-10-13
- 格式:DOCX
- 页数:13
- 大小:489.11KB
《信号分析与处理》备课教案第二章 2.docx
《《信号分析与处理》备课教案第二章 2.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《《信号分析与处理》备课教案第二章 2.docx(13页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
《信号分析与处理》备课教案第二章2
第二章:
单输入单输出系统的时域分析
2.1.概述
系统分析的主要任务是解决在给定的激励作用下,系统将产生什么样的响应。
即如果系统(这里指“线性时不变LTI系统”,以下相同)是确定的,激励是已知的,则响应一定也是确定的。
系统数学模型的时域描述主要有两种形式:
“输入输出描述”与“状态变量描述”,本章只涉及“输入输出描述”,即采用微分或差分方程对系统进行描述。
为了确定一个线性时不变系统在时域中对给定激励的响应,首先要建立描述该系统的微分方程(对于连续系统)或差分方程(对于离散系统),并求出满足给定初始状态的解。
这里,解就是系统的响应。
LTI连续/离散系统的时域分析,可以归结为:
建立并求解线性微分/差分方程。
这也称之为系统时域响应求解的“经典法”。
由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t,故这一方法称之为“时域分析法”。
这种方法比较直观,物理概念清楚,是学习各种变换域分析法的基础。
几个重要的概念:
由于对“线性时不变LTI系统”在时域中进行描述的数学模型就是“微分方程/连续系统”和“差分方程/离散系统”,因此这些方程的“解”就是系统的“时域响应”,进而又可以按照“解的形式”分解为“自由响应”和“强制响应”,也可以按照“响应产生的原因”分解为“零输入响应”和“零状态响应”。
1、自由响应
“微分方程/差分方程”的“齐次通解”就是系统的“自由响应/固有响应”,其只取决于系统本身的特性。
也就是说,对于同一个系统,在不同的激励作用下,系统“自由响应”的形式是相同的。
(但系数仍与“激励形式和系统初始状态”有关)
2、强制响应
“微分方程/差分方程”的“特解”就是系统的“强制响应/受迫响应”,其形式由系统的激励所决定。
3、零输入响应
指激励输入为零时,仅由系统的初始状态所产生的系统响应。
4、零状态响应
指系统的初始状态为零,仅由激励输入所引起的系统响应。
5、全响应
系统全响应=自由响应+强制响应=零输入响应+零状态响应
2.2.连续系统的时域分析
见书上P24~30,由于该部分内容已在高等数学与电路原理课程中作过较详细的讨论,因此本课程中为“自学内容”。
2.3.离散系统的时域分析
一、差分与差分方程
1、差分
设有序列f(k),则…,f(k+2),f(k+1),…,f(k-1),f(k-2)…等称为f(k)的移位序列。
仿照连续信号的微分运算,如下式所示:
定义离散信号的差分运算表达式如下:
即一阶后向差分定义:
式中,▽称为差分算子。
本课程主要用后向差分,简称为差分。
2、差分方程
包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。
将差分展开为移位序列,得一般形式
即,,其中
上式称为阶(后向形式)差分方程。
差分方程本质上是递推的代数方程,若已知初始条件和激励,利用迭代法可求得其数值解。
这种方法可以称之为差分方程的“迭代解法”,但是采用这种方法一般不易得到解析形式的解,或称“闭合解”。
二、差分方程的建立
一般情况下,实际的物理系统都是连续的模拟系统。
对于SISO线形时不变连续系统,描述其的数学模型一般是微分方程形式;但是对于这样的数学模型,通过“差分法”即可以通过微分方程推导出差分方程,从而成为处理离散系统的数学模型。
例1:
考虑一个RC串联电路如图所示,我们首先建立描述这一连续系统的数学模型,由电路运算基本规律:
,代入上式并经整理,可得到:
(2.3-1)
这是一个一阶微分方程,也就是描述RC串联电路系统输入输出关系的数学模型,这里为系统输入,为系统输出。
下面采用“差分法”将该微分方程离散化。
考虑若将连续变量以步长为间距进行等分,可得到,所以产生了离散变量,从而连续函数在各点的取值就构成了离散序列。
在足够小的情况下,微分运算就可以表示为:
,将此式代入上面的(2.3-1)式,得:
整理后可得:
取为单位时间,即,可得:
令,,可得:
从而得到描述离散系统的一阶线形常系数差分方程。
例2:
某人每月向银行存款,当月存入无利息,月底结算,月利息为元/月。
设第k月存入f(k)元,月底结余为y(k)元,k-1月底结余为y(k-1)元,以f(k)为银行系统的输入,y(k)为输出,则y(k)与f(k)的关系为:
即:
此即为描述这一银行结余系统的差分方程。
问题:
1.自由响应与强制响应的区别是什么?
2.零输入响应与零状态响应的区别是什么?
3.在时域中对于LTI系统,“输入输出描述”方式的系统数学模型是什么?
为什么?
三、差分方程的经典解
对于形如下式描述的离散系统差分方程:
完全解/全响应=齐次解/自由响应+特解/强制响应
其全响应可由以下两种分解响应构成:
完全解/全响应=零输入响应+零状态响应
A、齐次解与特解的求解
1、齐次解
齐次方程为:
具体考察一阶齐次差分方程
这里
显然,是一个公比为的几何级数,于是,一阶差分方程的齐次解的一般形式为
对于n阶齐次差分方程,齐次解是n个形如的函数组合而成,将代入n阶齐次差分方程,则有
特征方程为:
其根称为差分方程的特征根。
齐次解的形式取决于特征根,具体情况如下:
当特征根为单根时,齐次解的形式为:
当特征根为重根时,齐次解的形式为:
2、特解
特解的形式与激励的形式相同,主要分为以下三种形式:
方程两边同时除以得:
,解得:
所以得特解(强制响应):
,
故全解为,
将初始条件代入上式,可得:
解得:
所以齐次解(自由响应)为:
因此,系统的全响应为:
,
总结求解的过程如下:
(1)由差分方程得到“特征方程”,求解得到特征根。
(2)由特征根得到“自由响应”的一般式(包含待定系数)
(3)由激励确定“强制响应”的形式(包含待定系数)
(4)将代入原差分方程,求得待定系数,从而求得“强制响应”
(5)列出全响应表达式(此时仍有的待定系数待求出)
(6)将初始条件代入上面的全响应表达式,求出的待定系数,最终求得“自由响应”和“全响应”
B、零输入响应与零状态响应的求解
根据定义,零输入响应是激励为零时(即无激励时),仅由系统的初始条件所产生的响应,因此零输入响应也就是满足初始条件的齐次方程的解。
对于零状态响应,因是在激励之下产生的响应,因此应是非齐次方程的解(即包含齐次解和特解两个部分)。
设激励f(k)在k=0时接入系统,通常以y(–1),y(–2),…,y(–n)描述系统的初始状态,则对于零状态响应,必有:
由此“零状态响应意义下”初始条件可以确定零状态响应的待定系数。
例:
若描述某离散系统的差分方程为
已知激励,,初始状态,,求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。
解:
(1)先求零输入响应,由差分方程得特征方程如下:
解得:
,
因此齐次方程的解为:
将初始状态,代入上式,可得:
,解得:
所以,零输入响应,
(2)求零状态响应
a、求出特解(强制响应)
因为,,所以有
将代入原差分方程,得:
方程两边同除以可得:
,解得:
所以,特解(强制响应)为:
,
b、零状态响应(应由齐次解和特解两部分组成)
代入“零状态响应意义下”的初始条件,可得:
解得:
故零状态响应为:
,
(4)求全响应
,
总结求解的过程如下:
(1)由差分方程得到“特征方程”,求解得到特征根。
(2)由特征根得到“自由响应”的一般式(包含待定系数)
(3)直接将初始条件代入,求出待定系数,从而直接得到“零输入响应”。
(3)由激励确定“强制响应”的形式(包含待定系数)
(4)将代入原差分方程,求得待定系数,从而求得“强制响应”
(5)列出“零状态响应表达式=齐次解+特解”形式(此时有齐次解的待定系数待求出),即=+
(6)将“零状态响应意义下”的初始条件代入上面的零状态响应表达式,求出待定系数,最终求得“零状态响应”
(7)“全响应”=+
思考题:
在上面的例题求“零状态响应”时,能否用作为“零状态响应意义下”的初始条件来求解待定系数。
书本上例题要求:
P32例2-6、例2-7、例2-8;P34例2-9;P35例2-10
2.4.系统的单位冲击响应与单位样值响应
一、单位冲击响应
对于线形时不变连续时间系统,由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应(即系统初始状态为零)称为单位冲激响应,简称冲激响应,用表示。
冲激响应反映了系统特性,或称反映了系统的本质特征(指连续时间系统)。
直观上理解,可以认为系统的冲激响应就表征了系统本身。
冲激响应具体求解方法,见教材P36~37,该部分为“自学内容”。
二、单位样值响应
对于线形时不变离散时间系统,由单位样值函数δ(k)所引起的零状态响应(即系统初始状态为零)称为单位样值响应,简称单位响应,用表示。
单位样值响应反映了系统特性,或称反映了系统的本质特征(指离散时间系统)。
直观上理解,可以认为系统的单位样值响应就表征了系统本身。
System
(初始状态为零)
激励
响应
注意要点:
根据的定义,
因此,作为系统的输入,仅在的时刻作用于系统,在以后,激励作用就已消失。
例1已知某系统的差分方程为:
试求该系统的单位样值响应。
解:
根据的定义,当系统初始状态为零时,如果对系统的激励输入为,则系统的响应就是单位样值响应。
因此有下式成立:
(1)
考虑到实质上就是一种零状态响应(只不过输入是信号),系统初始状态为零,因此有:
(1)递推求初始值和
将方程
(1)移项改写为:
因此有:
至此,在时刻,我们已经求出了在这一时刻的响应。
(因为在时刻,系统作用有激励信号,因此必须单独求出)
(2)用传统解法求解在以后的
对于在时,因为这时,即此时系统以没有激励输入作用,因此方程
(1)就变为了齐次方程,可以采用经典解法进行求解,此时的也就是齐次差分方程的齐次解。
其特征方程为:
,解得:
,
因此得齐次解为:
,
将上面求出的初始条件代入上式并求解,可得:
因此,,
验证上式,当时,满足,因此上式可进一步表示为:
,,或者,
至此,我们就求解出了该系统的单位样值响应。
思考题:
在本例题中,求解和能否用和作为初始条件来求解?
能否用作为初始条件来求解?
总结求解的过程如下:
(1)将替换原差分方程的,将替换原差分方程的,得到单位样值响应满足的初始方程。
(2)递推求得值。
(3)用传统解法求解在以后的
(4)将与以后的综合,得到状态下的。
例2若系统差分方程为:
试求该系统的单位样值响应。
解:
根据的定义,应该有下式成立:
因为对于LTI系统,满足“叠加性”特性,因此可将系统分解为承受和分别激励作用的两种情况。
当只有作用时,令系统的单位样值响应为,则满足下式:
这一方程的求解与例1完全一样,因此可得:
当只有作用时,令系统的单位样值响应为,则满足下式:
根据LTI系统满足“线形时不变性”特性,直接可以得到:
因此,
=-
预习内容:
P39“卷积积分“,具体内容包括:
1.“卷积积分“的基本思想、概念和定义。
2.利用卷积定义求解连续时间系统的零状态响应。
3.“卷积积分”的图解法。
4.“卷积积分”的重要性质
作业:
1.P582-16
(1)(3)
2.已知离散系统的差分方程为:
试求:
(1)系统的单位样值响应
(2)系统的零状态响应
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 信号分析与处理 信号分析与处理备课教案第二章 信号 分析 处理 备课 教案 第二