高考仿真模拟试题新课标全国卷ⅡⅢ理科数学一答案.docx
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高考仿真模拟试题新课标全国卷ⅡⅢ理科数学一答案
2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅱ/Ⅲ)
理科数学
(一)答案
1.C【解析】根据题意,集合A={x|−2x>0}={x|x<0或x>2},B={x|y=}={x|x1},={x|x<1},从而A∪={x|x<1或x>2},故选C.
2.C【解析】解法一 因为(1+i)z=2,所以z==1−i,
所以|z|=|1−i|=,故选C.
解法二 因为(1+i)z=2,所以|(1+i)||z|=|2|,则|z|=2,即|z|==,故选C.
3.B【解析】由=知是周期为4的周期函数,又是定义在R上的偶函数,故==−1,=,又−1∈[−2,0],所以=−=−,
所以=−,+=−,选B.
4.B【解析】x,y的变化如下表:
x
21
17
13
9
y
2
4
6
8
x=9,y=8时,满足x<2y,则输出y的值为8.选B.
5.C【解析】作出约束条件对应的平面区域如图中阴影部分所示,作出直线y=−3x并平移知,当直线经过点A时,z取得最大值,当直线经过点B时,z取得最小值,由,得,即A(2,3),故zmax=9.由,
得,即B(0,2),故zmin=2,故z的最大值与最小值之差为7,选C.
6.C【解析】当n=1时,=为幂函数,且在(0,+∞)上单调递增,故p是真命题,则¬p是假命题;“x∈R,+2>3x”的否定是“∀x∈R,+23x”,故q是假命题,¬q是真命题.所以p∧q,¬p∧q,¬p∧¬q均为假命题,p∧¬q为真命题,选C.
7.B【解析】由三视图知,商鞅铜方升是由一个圆柱和一个长方体组合而成的,故其体积为(5.4−x)×3×1+π×()×x=16.2−3x+πx=12.6,又π=3,故x=1.6.故选B.
8.C【解析】由已知,得R(,A),则=(−1,−A),=(1,−A),于是=A2−1=3,得A=2,又,∴T=4,ω=,由·+φ=2kπ,k∈Z及|φ|<,得φ=−,故=2sin(x−).因为与的图象关于x=1对称,
则=f(2−x)=2sin[(2−x)−]=2sin[π−(x+)]=2sin(x+).
9.D【解析】∵直线y=(x+c)过左焦点,且其倾斜角为30°,
∴∠=30°,∠=60°,∴∠=90°,即⊥.
∴||=||=c,||=||sin60°=c,
由双曲线的定义得2a=||−||=c−c,
∴双曲线C的离心率e=+1,选D.
10.B【解析】令,则,,
∵是函数的一个极值点,
所以有,得.
设,若,则,
,在的两侧不变号,与是函数
的一个极值点矛盾,故一定不成立,选择B.
11.A【解析】设球的半径为r,则4π=π,得r=.
如图,过A作AD垂直于BC,垂足为D,过S作底面ABC的垂线,
垂足为,依题意可得在直线AD上,AD=a,=a=a,
故=a.设O是球心,连接OA,
依题意可得OA=r=,=a−r=a−,
在直角三角形中,(a)+(a−)=(),
得到−a=0,得a=,选A.
12.C【解析】依题意知P(−1,0),F(1,0),设A(,),B(,),由|FB|=2|FA|,得+1=2(+1),即=2+1 ①,∵P(−1,0),则AB的方程为y=kx+k,与=4x联立,得+(2−4)x+=0,则Δ=(2−4)−4>0,即<1,=1 ②,
由①②得=,则A(,),∴k=.
∴+=,|AB|==,选C.
13.2【解析】由二项式系数的性质可得,,得,
由,得,又,所以.
14.【解析】|a|=2,|b|=1可得,,由(a−2b)·(2a+b)=9可得
,即,得到,
故.
a−2b=(1,2)−(2x,−4)=(1−2x,6),2a+b=(2,4)+(x,−2)=(2+x,2),
因为向量a−2b与2a+b平行,所以(1−2x)×2−6(2+x)=0,解得x=−1,
故a·b=(1,2)·(−1,−2)=−1−4=−5.
15.9【解析】通解 设等差数列{}的公差为d,由=可得
7+d=11+d,
即2+17d=0,得到d=−,
所以=n+d=n+×(−)=−(n−9)+,
由>0可知−<0.故当n=9时,最大.
优解 根据=可得+++=0.由等差数列的性质可得+=0,由>0可知>0,<0.当所有正数项相加时,取得最大值,所以前9项和最大.
16.(3+,3]【解析】由正弦定理,可将cosB=cosA,化简得(2sinC−sinA)cosB−sinBcosA=0,得sinC(2cosB−1)=0,根据题意sinC≠0,所以cosB=,
又B为△ABC的内角,故B=.因为b=,B=,
由正弦定理可知=2,即a=2sinA,c=2sinC,
△ABC的周长L=+2sinA+2sinC=+2sin(−C)+2sinC
=+2sin(C+),其中 因此△ABC的周长L的取值范围是(3+,3]. 17.【解析】 (1)当n=1时,4=+2+1, ∴−2+1=0,得=1. 由4=+2+1得4=+2+1, 两式相减可得4=−+2an+1−2,(3分) ∴(+)(−−2)=0. ∵>0,+>0, ∴−=2,即数列{}是以1为首项,2为公差的等差数列, ∴=1+(n−1)×2=2n−1.(5分) (2)=·=(2n−1)·,(6分) ∴=1×3+3×32+5×33+…+(2n−1)·, ∴3=1×32+3×33+5×34+…+(2n−1)·,(8分) 两式相减可得−2=3+2(32+33+…+)−(2n−1)·=3+2×−(2n−1)× =−2(n−1)·−6. 可得=(n−1)·+3.(12分) 【备注】等差、等比数列的基本运算中,容易出现的问题主要有两个: 一是忽视题中的条件限制,如公差与公比的符号、大小等,导致增解;二是不能灵活运用等差、等比数列的基本性质转化已知条件,导致列出的方程或方程组较为复杂,增大运算量. 18.【解析】 (1)样本中轿车的销售单价在[14,16)内的轿车数是, 样本中轿车的销售单价在[18,20)内的轿车数是, 依据题意,有,即,① 根据频率分布直方图可知,② 由①②得,.(3分) 根据频率分布直方图估计这100辆轿车销售单价的平均数为 =0.45+1.1+2.6+4.5+3.4+2.85=14.9(万元)(5分) (2)若将频率视为概率,从这批轿车中有放回地随机抽取3辆,求至少有1辆轿车的销售单价在[14,16)内的概率为.(7分) (3)因为销售单价在[8,10),[10,12),[12,14),[14,16),[16,18),[18,20]的轿车的分层抽样比为1: 2: 4: 6: 4: 3,故在抽取的20辆轿车中,销售单价在[10,12)内的轿车有(辆),(9分) X的所有可能取值为0,1,2, 则, , .(10分) 所以X的分布列为 X 0 1 2 P =0×+1×+2×=.(12分) 【备注】概率问题是近几年新课标高考的热点,利用频率分布直方图、频数分布表解答实际问题是命题的新亮点.这类题往往借助熟悉的知识点,结合实际生活中比较新颖的材料进行命制. 19. 【解析】 (1)设线段AD的中点为F,连接EF,BF. 在△PAD中,因为EF为△PAD的中位线,所以EF∥PD. 又EF平面PCD,PD平面PCD,所以EF∥平面PCD. 在底面直角梯形ABCD中,FD∥BC,且FD=BC, 故四边形DFBC为平行四边形,FB∥CD.(3分) 又FB平面PCD,CD平面PCD,所以FB∥平面PCD. 又EF平面EFB,FB平面EFB,且EF∩FB=F,所以平面EFB∥平面PCD. 又BE平面EFB,所以BE∥平面PCD.(5分) (2)以A为坐标原点,的方向为y轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 设PA=2,则A(0,0,0),P(0,0,2),D(0,2,0),C(2,2,0),B(2,1,0), =(0,0,2),=(2,1,0),=(0,2,−2),=(2,0,0).(7分) 设n=(x,y,z)是平面PAB的法向量,则 ,即, 令x=1,得y=−2,z=0,则n=(1,−2,0)是平面PAB的一个法向量,(9分) 同理,m=(0,−1,−1)是平面PCD的一个法向量. 所以cos 所以平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值为.(12分) 20.【解析】 (1)依题意,知a=2,c=1,=3,则m=. 直线: y=k(x+2),设B(,). 联立方程,得,得3+4(x+2)2−12=0, 即(4+3)+16x+16−12=0.(3分) 由根与系数的关系及A(−2,0),得−2=, 则+2=+2= , 于是=k(+2)=.(5分) (2)由 (1)知,A(−2,0),+2=, 则|AB|=|+2|=.(6分) 直线: x=−ky−1,设M(,),N(,), 联立方程,得,得3(−ky−1)2+4−12=0, 即(3+4)+6ky−9=0, 其判别式Δ=36+36(3+4)=144(+1), 则|−|=,(8分) |MN|=·|−|=.(10分) 由|AB|=|MN|,得=,即16+22−15−23=0, 即(−1)(16+38+23)=0,得k=1(k=−1舍去), 故直线l的方程为x+y+1=0.(12分) 【备注】 (1)研究直线与圆锥曲线的位置关系一般是先联立方程,再利用根与系数的关系进行求解,涉及弦长、中点、距离等问题时,要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的灵活运用; (2)在设直线方程时,常有两种设法: 一是设直线方程为y=kx+m,这种设法要注意考虑斜率不存在的情况,二是设直线方程为x=ty+n,这种设法不包含直线与x轴平行的情况. 21.【解析】 (1)=+x=(x>−2),(1分) 设=+2x+m,令=0,则Δ=4−4m, ①当m≥1时,Δ=4−4m≤0,≥0恒成立, 故≥0在x>−2上恒成立,即函数在(−2,+∞)上单调递增.(3分) ②当0 不妨设方程=+2x+m=0的两根为,,且<, 则有=>−2,=, 则>0在(−2,),(,+∞)上成立,即>0在(−2,),(,+∞)上成立,则函数在(−2,),(,+∞)上单调递增; <0在(,)上成立,即<0在(,)上成立,故函数在(,)上单调递减.(4分) ③当m=0时,方程=+2x+m=0的根为x=−2或0,则当x∈(0,+∞)时,g(x)>0,即>0,则函数在(0,+∞)上单调递增; 当x∈(−2,0)时,<0,即<0,则函数在(−2,0)上单调递减.(5分) ④当m<0时,Δ=4−4m>0,设方程=+2x+m=0的两根为,,且<,则有=<−2,=>−1,则>0在(,+∞)上成立,故函数在(,+∞)上单调递增;<0在(−2,)上成立,故函数在(−2,)上单调递减.(6分) (2)因为=+x,x>−2,0 不妨设0<2,则|−|t|−|可化为++.(8分) 设=+=mln(x+2)++1+,则, 所以为(0,2]上的减函数,即=+x−≤0在(0,2]上恒成立,等价于m(x+2)+x(x+2)2−t≤0在(0,2]上恒成立,即t≥m(x+2)+x(x+2)2在(0,2]上恒成立. 又0 对于函数y=2(x+2)+x(x+2)2=+4+6x+4,
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