两角和与差的正弦余弦和正切公式专题及答案.docx
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两角和与差的正弦余弦和正切公式专题及答案
两角和与差的正弦、余弦和正切公式专题
一、选择题
1.已知f(x)=sinx-cosx,则f的值是()
A.-B.C.-D.
2.已知sin+sinα=,则sin的值是()
A.-B.C.D.-
3.=()
A.-B.-C.D.
4.当0 A.B.C.2D.4 5.已知sinα=,cosβ=,且α是第二象限角,β是第四象限角,那 么sin(α-β)等于() A.B.C.-D.- 6.已知θ为第二象限角,sin(π-θ)=,则cos的值为() A.B.C.±D.± 7.在△ABC中,tanA+tanB+=tanAtanB,则C等于() A.B.C.D. 8.若=,则tan2α等于() A.B.-C.D.- 9.已知cosα=,cos(α+β)=-,且α、β∈,则cos(α-β)的值等于() A.-B.C.-D. 10.如图所示,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=1,连接EC,ED,则sin∠CED=() A.B.C.D. 二、填空题 11.=________. 12.若α∈(0,),且sin2α+cos2α=,则tanα的值等于________. 13.已知tanα,tanβ是lg(6x2-5x+2)=0的两个实根,则tan(α+β)=________. 14.已知α∈,且2sin2α-sinα·cosα-3cos2α=0,则=________. 三、解答题 15.已知sinα+cosα=,α∈(0,),sin(β-)=,β∈(,). (1)求sin2α和tan2α的值; (2)求cos(α+2β)的值. 16.已知函数f(x)=sin+cos,x∈R. (1)求f(x)的最小正周期和最小值; (2)已知cos(β-α)=,cos(β+α)=-,0<α<β≤,求证: [f(β)]2-2=0. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 一、选择题 1.已知f(x)=sinx-cosx,则f的值是() A.-B.C.-D. 解析: 因为f(x)=sinx-cosx=sin(x-),所以f=sin=sin=-. 答案: C 2.已知sin+sinα=,则sin的值是() A.-B.C.D.- 解析: sin+sinα=⇒sincosα+cossinα+sinα=⇒sinα+cosα=⇒sinα+cosα=,故sin=sinαcos+cosαsin=- =-. 答案: D 3.=() A.-B.-C.D. 解析: sin47°=sin(30°+17°)=sin30°cos17°+cos30°sin17°, ∴原式==sin30°=. 答案: C 4.当0 A.B.C.2D.4 解析: y==, 当0 设t=tanx,则0 当且仅当t=1-t,即t=时,等号成立. 答案: D 5.已知sinα=,cosβ=,且α是第二象限角,β是第四象限角,那 么sin(α-β)等于() A.B.C.-D.- 解析: 因为α是第二象限角,且sinα=, 所以cosα=-=-. 又因为β是第四象限角,cosβ=, 所以sinβ=-=-. sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=×-(-)×(-)==. 答案: A 6.已知θ为第二象限角,sin(π-θ)=,则cos的值为() A.B.C.±D.± 解析: 由θ为第二象限角,可知为第一或第三象限角. 由sin(π-θ)=,可知sinθ=, ∴cosθ=-. ∴2cos2=cosθ+1=,∴cos=±. 答案: C 7.在△ABC中,tanA+tanB+=tanAtanB,则C等于() A.B.C.D. 解析: 由已知得tanA+tanB=-(1-tanAtanB), ∴=-,即tan(A+B)=-. 又tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=, 0 答案: A 8.若=,则tan2α等于() A.B.-C.D.- 解析: ===, ∴tanα=2,∴tan2α===-, 故选D. 答案: D 9.已知cosα=,cos(α+β)=-,且α、β∈,则cos(α-β)的值等于() A.-B.C.-D. 解析: ∵α∈(0,),∴2α∈(0,π). ∵cosα=,∴cos2α=2cos2α-1=-, ∴sin2α==, 而α,β∈,∴α+β∈(0,π), ∴sin(α+β)==, ∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)] ∴cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β) =(-)×(-)+×=. 答案: D 10.如图所示,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=1,连接EC,ED,则sin∠CED=() A.B.C.D. 解析: 因为四边形ABCD是正方形,且AE=AD=1,所以∠AED=, 在Rt△EBC中,EB=2,BC=1, 所以sin∠BEC=,cos∠BEC=. sin∠CED=sin(-∠BEC) =cos∠BEC-sin∠BEC=×(-)=. 答案: B 二、填空题 11.=________. 解析: = = ==2. 答案: 2 12.若α∈(0,),且sin2α+cos2α=,则tanα的值等于________. 解析: 由sin2α+cos2α=得sin2α+1-2sin2α=1-sin2α=cos2α=,∵α∈(0,),∴cosα=,∴α=,∴tanα=tan=. 答案: 13.已知tanα,tanβ是lg(6x2-5x+2)=0的两个实根,则tan(α+β)=________. 解析: 由lg(6x2-5x+2)=0,得6x2-5x+1=0, ∴由题意知tanα+tanβ=,tanα·tanβ=, ∴tan(α+β)===1. 答案: 1 14.已知α∈,且2sin2α-sinα·cosα-3cos2α=0,则=________. 解析: 由2sin2α-sinαcosα-3cos2α=0,得(2sinα-3cosα)·(sinα+cosα)=0,∵α∈,∴sinα+cosα>0, ∴2sinα=3cosα,又sin2α+cos2α=1, ∴cosα=,sinα=, ∴ ==. 答案: 三、解答题 15.已知sinα+cosα=,α∈(0,),sin(β-)=,β∈(,). (1)求sin2α和tan2α的值; (2)求cos(α+2β)的值. 解: (1)由题意得(sinα+cosα)2=, 即1+sin2α=,∴sin2α=, 又2α∈(0,),∴cos2α==, ∴tan2α==. (2)∵β∈,β-∈(0,),sin(β-)=, ∴cos(β-)=. 于是sin2=2sincos=. 又sin2=-cos2β,∴cos2β=-. 又2β∈,∴sin2β=, 又cos2α==,α∈, ∴cosα=,sinα=. ∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β =×(-)-×=-. 16.已知函数f(x)=sin+cos,x∈R. (1)求f(x)的最小正周期和最小值; (2)已知cos(β-α)=,cos(β+α)=-,0<α<β≤,求证: [f(β)]2-2=0. 解: (1)∵f(x)=sin+sin =sin+sin=2sin. ∴T=2π,f(x)的最小值为-2. (2)证明: ∵cos(β-α)=,cos(β+α)=-, ∴cosβcosα+sinβsinα=,cosβcosα-sinβsinα=-, 两式相加,得2cosβcosα=0, ∵0<α<β≤,∴β=. 由 (1)知f(x)=2sin, ∴[f(β)]2-2=4sin2-2=4×2-2=0.
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