届高考数学全国通用二轮复习基础小题精品讲义 第9讲 三角函数的概念三角恒等变换.docx
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届高考数学全国通用二轮复习基础小题精品讲义第9讲三角函数的概念三角恒等变换
第9讲 三角函数的概念、三角恒等变换
[明考情]
三角函数的概念和三角恒等变换是研究三角函数图象、性质的基础,常在交汇点处命题,个别年份单独命题,难度中档偏下.
[知考向]
1.任意角的三角函数.
2.三角函数的求值与化简.
3.三角恒等变换的应用.
考点一 任意角的三角函数
要点重组
(1)终边相同的角:
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.
(2)三角函数:
角α的终边与单位圆交于点P1(x,y),则sinα=y,cosα=x,tanα=(x≠0).
(3)各象限角的三角函数值的符号:
一全正,二正弦,三正切,四余弦.
1.已知圆O:
x2+y2=4与y轴正半轴的交点为M,点M沿圆O顺时针运动弧长到达点N,以ON为终边的角记为α,则tanα等于( )
A.-1B.1C.-2D.2
答案 B
解析 圆的周长为4π,弧长对应的圆心角为,故以ON为终边的角为
,故tanα=1.
2.已知角α的终边经过点(,),若α=,则m的值为( )
A.27B.C.9D.
答案 B
解析 角α的终边经过点(,),
若α=,则tan=tan===,则m=.
3.已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴.若P(4,y)是角θ终边上的一点,且sinθ=-,则y=________.
答案 -8
解析 因为r==,且sinθ=-,所以sinθ===-,
所以θ为第四象限角,解得y=-8.
4.(2017·北京)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sinα=,则sinβ=________.
答案
解析 由角α与角β的终边关于y轴对称,
可知α+β=π+2kπ(k∈Z),所以β=2kπ+π-α(k∈Z),
所以sinβ=sinα=.
5.函数y=的定义域是________.
答案 ,k∈Z
考点二 三角函数的求值与化简
要点重组
(1)同角三角函数基本关系式:
sin2α+cos2α=1,=tanα.
(2)诱导公式:
角π±α(k∈Z)的三角函数口诀:
奇变偶不变,符号看象限.
(3)和差公式.
方法技巧
(1)三角函数求值化简的基本思路“一角二名三结构”;注意角的变形,看函数名称之间的关系;观察式子的结构特点.
(2)公式的变形使用尤其是二倍角余弦的变形是高考的热点,sin2α=,cos2α=.
6.(2017·安徽淮北二模)已知α满足sinα=,则coscos等于( )
A.B.
C.-D.-
答案 A
解析 coscos=(cosα-sinα)·(cosα+sinα)
=(cos2α-sin2α)=(1-2sin2α)==,故选A.
7.(2017·全国Ⅲ)已知sinα-cosα=,则sin2α等于( )
A.-B.-C.D.
答案 A
解析 ∵sinα-cosα=,
∴(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1-sin2α=,
∴sin2α=-.
故选A.
8.若(4tanα+1)(1-4tanβ)=17,则tan(α-β)等于( )
A.B.C.4D.12
答案 C
解析 由已知得4tanα-16tanαtanβ+1-4tanβ=17,
∴tanα-tanβ=4(1+tanαtanβ),
∴tan(α-β)==4.
9.(2017·全国Ⅰ)已知α∈,tanα=2,则cos=________.
答案
解析 cos=cosαcos+sinαsin=(cosα+sinα).
又由α∈,tanα=2知,sinα=,cosα=,
∴cos=×=.
10.已知cos(2α-β)=-,sin(α-2β)=,0<β<<α<,则α+β=________.
答案
解析 因为cos(2α-β)=-且<2α-β<π,
所以sin(2α-β)=.
因为sin(α-2β)=且-<α-2β<,
所以cos(α-2β)=.
所以cos(α+β)=cos[(2α-β)-(α-2β)]
=cos(2α-β)cos(α-2β)+sin(2α-β)sin(α-2β)
=-×+×=.
因为<α+β<,
所以α+β=.
考点三 三角恒等变换的应用
要点重组 辅助角公式:
asinα+bcosα=·sin(α+φ),
其中cosφ=,sinφ=.
11.(2017·山东)函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为( )
A.B.C.πD.2π
答案 C
解析 ∵y=sin2x+cos2x=2sin,
∴T==π.
故选C.
12.(2017·全国Ⅲ)函数f(x)=sin+cos的最大值为( )
A.B.1C.D.
答案 A
解析 方法一 ∵f(x)=sin+cos
=+cosx+sinx
=sinx+cosx+cosx+sinx
=sinx+cosx=sin,
∴当x=+2kπ(k∈Z)时,f(x)取得最大值.
故选A.
方法二 ∵+=,
∴f(x)=sin+cos=sin+cos
=sin+sin=sin≤.
∴f(x)max=.
故选A.
13.已知函数f(x)=cos2x-sin2x,下列说法错误的是( )
A.f(x)的最小正周期为π
B.直线x=是f(x)图象的一条对称轴
C.f(x)在上单调递增
D.|f(x)|的值域是[0,1]
答案 C
解析 f(x)=cos2x,f(x)在上不单调,
∴选项C中的结论错误.
14.设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ=________.
答案 -
解析 f(x)=sinx-2cosx==sin(x-φ),
其中sinφ=,cosφ=.
当x-φ=2kπ+(k∈Z)时,函数f(x)取到最大值,
即当θ=2kπ++φ时,函数f(x)取到最大值,
所以cosθ=-sinφ=-.
15.函数f(x)=sinx-cos的值域为________.
答案 [-,]
解析 f(x)=sinx-cos
=sinx-
=sinx-cosx
=
=sin∈[-,].
1.设cos(-80°)=k,那么tan100°等于( )
A.B.-
C.D.-
答案 B
解析 sin80°===,
所以tan100°=-tan80°=-=-.
2.设α∈,β∈,且tanα=,则( )
A.3α-β=B.2α-β=
C.3α+β=D.2α+β=
答案 B
解析 ∵tanα==,
∴sinαcosβ=cosα+cosαsinβ,
∴sin(α-β)=cosα=sin.①
∵0<α<,0<β<,
∴-<α-β<,0<-α<,
∴由①得α-β=-α,即2α-β=.故选B.
3.已知sinθ+cosθ=,θ∈(0,π),则tanθ的值为________.
答案 -
解析 ∵sinθ+cosθ=,θ∈(0,π),
∴(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=,
∴sinθcosθ=-,
∴(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=.
又θ∈(0,π),∴sinθ>0,cosθ<0,
∴sinθ-cosθ=,
∴sinθ=,cosθ=-,
∴tanθ=-.
解题秘籍
(1)使用平方关系求函数值,要注意角的某象限和三角函数值的符号.
(2)利用三角函数值求角要解决两个要素:
①角的某一个三角函数值;②角的范围(尽量缩小).
1.点P从(1,0)出发,沿单位圆x2+y2=1逆时针方向运动弧长到达Q点,则点Q的坐标为( )
A.B.C.D.
答案 A
解析 设点Q的坐标为(x,y),
则x=cos=-,y=sin=.
∴点Q的坐标为.
2.若0≤sinα≤,且α∈[-2π,0],则α的取值范围是( )
A.∪
B.∪(k∈Z)
C.∪
D.∪(k∈Z)
答案 A
解析 根据题意并结合正弦线可知,
α满足∪(k∈Z),
∵α∈[-2π,0],∴α的取值范围是∪.
故选A.
3.(2017·贵州七校联考)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则sin的值为( )
A.-B.C.-D.
答案 D
解析 由题意得tanθ=2,
∴sin2θ=2sinθcosθ==,
cos2θ=cos2θ-sin2θ==-,
∴sin=(sin2θ+cos2θ)=.
4.若α是第四象限角,tan=-,则cos等于( )
A.B.-C.D.-
答案 D
解析 由题意知,sin=-,cos=cos=sin=-.
5.的值是( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 原式==
==.
6.已知sinα=,sin(α-β)=-,α,β均为锐角,则角β等于( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 因为α,β均为锐角,
所以-<α-β<.
又sin(α-β)=-,
所以cos(α-β)=.
又sinα=,所以cosα=.
所以sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)
=×-×=,
所以β=.
7.tan70°+tan50°-tan70°tan50°的值等于( )
A.B.C.-D.-
答案 D
解析 因为tan120°==-,
即tan70°+tan50°-tan70°tan50°=-.
8.记a=sin(cos2010°),b=sin(sin2010°),c=cos(sin2010°),d=cos(cos2010°),则a,b,c,d中最大的是( )
A.aB.bC.cD.d
答案 C
解析 注意到2010°=360°×5+180°+30°,因此sin2010°=-sin30°=-,cos2010°=-cos30°=-,因为-<-<0,-<-<0,0<<<,所以cos>cos>0,所以a=sin=-sin<0,b=sin=-sin<0,c=cos=cos>d=cos=cos>0,因此c最大.
9.已知角α终边上一点P(-4,3),则的值为________.
答案 -
解析 原式==tanα.
根据三角函数的定义,得tanα==-,
所以原式=-.
10.已知tanα=4,则的值为________.
答案
解析 ====.
11.若函数f(x)=cosωxcos(ω>0)的最小正周期为π,则ω的值为________.
答案 1
解析 由于f(x)=cosωxcos=sin2ωx,所以T==π⇒ω=1.
12.若α∈,则的最大值为________.
答案
解析 ∵α∈,
∴==,且tanα>0,
∴=≤=,
故的最大值为.
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