培优导学计划高中数学 必修3 苏教版 第三章 概率 31.docx
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培优导学计划高中数学必修3苏教版第三章概率31
§3.1 随机事件及其概率
学习目标 1.了解随机现象、随机事件、必然事件、不可能事件的概念.2.理解概率的含义以及频率与概率的区别与联系.3.能列举一些简单试验的所有可能结果.
知识点一 现象、试验、事件
1.现象
2.试验、事件:
对于某个现象,让其条件实现1次,那么就是进行了1次试验.而试验的每一种可能的结果都是一个事件.
知识点二 随机事件
思考 抛掷一粒骰子,下列事件,在发生与否上有什么特点?
(1)向上一面的点数小于7;
(2)向上一面的点数为7;
(3)向上一面的点数为6.
答案
(1)必然发生;
(2)必然不发生;(3)可能发生也可能不发生.
梳理 随机事件、确定事件的概念:
事件
知识点三 随机事件的概率
思考 抛掷一枚硬币10次,正面向上出现了3次,则在这10次试验中,正面向上的频数与频率分别是多少?
能说一枚硬币抛一次正面向上的概率为吗?
答案 频数为3,频率为.不能说概率为.
梳理 随机事件的概率与性质
(1)概率的定义:
一般地,对于给定的随机事件A,在相同条件下,随着试验次数的增加,事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定,我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性大小,并把这个常数称为随机事件A的概率,记作P(A).
(2)概率的性质:
①随机事件的概率范围为0≤P(A)≤1;
②必然事件和不可能事件分别用Ω和Ø表示,必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P(Ø)=0.
1.不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1.( √ )
2.小概率事件就是不可能发生的事件.( × )
3.某事件发生的概率随着试验次数的变化而变化.( × )
4.频率的大小会随着试验次数的变化而变化,而概率则是常数.( √ )
类型一 事件的分类与判断
例1 指出下列事件是必然事件、不可能事件,还是随机事件.
(1)从分别标有1,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得到4号签;
(2)一个三角形的大边对的角小,小边对的角大;
(3)函数y=logax(a>0且a≠1)在其定义域内是增函数;
(4)平行于同一直线的两条直线平行;
(5)某同学竞选学生会主席成功.
解
(2)为不可能事件,(4)为必然事件,
(1)(3)(5)为随机事件.
反思与感悟 事件的分类
事件类型
定义
举例
必然事件
在一定条件下,必然会发生的事件
在山顶上,抛一块石头,石头下落
不可能事件
在一定条件下,肯定不会发生的事件
在常温常压下,铁熔化
随机事件
在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件
掷一枚硬币,出现正面向上
跟踪训练1 指出下列事件是必然事件、不可能事件,还是随机事件.
(1)中国体操运动员将在下一届奥运会上获得全能冠军;
(2)出租车司机小李驾车通过4个十字路口都将遇到绿灯;
(3)若x∈R,则x2+1≥1;
(4)小红书包里只有数学书、语文书、地理书、政治书,她随意拿出一本,是漫画书.
解
(1)
(2)中的事件可能发生,也可能不发生,所以是随机事件.
(3)中的事件一定会发生,所以是必然事件.
(4)小红书包里没有漫画书,所以是不可能事件.
类型二 列举试验结果
例2 某人做试验,从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中,无放回地取两个小球,每次取一个,先取的小球的标号为x,后取的小球的标号为y,这样构成有序实数对(x,y).
(1)写出这个试验的所有结果;
(2)写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件.
解
(1)当x=1时,y=2,3,4;当x=2时,y=1,3,4;
当x=3时,y=1,2,4;当x=4时,y=1,2,3.因此,这个试验的所有结果是(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3).
(2)记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件A,
则A={(2,1),(2,3),(2,4)}.
反思与感悟 在写试验结果时,按一定次序列举,才能保证所列结果没有重复,也没有遗漏.
跟踪训练2 袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球,分别写出以下随机试验的条件和结果.
(1)从中任取1球;
(2)从中任取2球.
解
(1)条件为:
从袋中任取1球,结果为:
红、白、黄、黑4种.
(2)条件为:
从袋中任取2球.若记(红,白)表示一次试验中,取出的是红球与白球,结果为:
(红,白),(红,黄),(红,黑),(白,黄),(白,黑),(黄,黑)6种.
类型三 利用频率估计概率
例3 下表中列出了10次抛掷硬币的试验结果.n为抛掷硬币的次数,m为硬币正面朝上的次数,计算每次试验中“正面朝上”这一事件的频率,并估算它的概率.
试验序号
抛掷的次数n
正面朝上的次数m
“正面朝上”出现的频率
1
500
251
2
500
249
3
500
256
4
500
253
5
500
251
6
500
245
7
500
244
8
500
258
9
500
262
10
500
247
解 由fn(A)=可得出这10次试验中“正面朝上”这一事件出现的频率依次为0.502,0.498,0.512,0.506,0.502,0.49,0.488,0.516,0.524,0.494,这些数字在0.5左右摆动,由概率的统计定义可得,“正面朝上”的概率为0.5.
引申探究
1.在本例条件不变的情况下,抛掷硬币30次,则“正面朝上”的次数大约有多少次?
解 ∵“正面朝上”的概率为,
∴30×=15,即“正面朝上”的次数约为15.
2.在本例条件不变的情况下,连续抛掷硬币两次,有没有可能连续两次“正面朝上”?
有多大可能?
解 有可能连续两次“正面朝上”;连续两次“正面朝上”的可能性为×=.
反思与感悟
(1)频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值,利用此公式可求出它们的频率.频率本身是随机变量,当n很大时,频率总是在一个稳定值附近摆动,这个稳定值就是概率.
(2)解此类题目的步骤:
先利用频率的计算公式依次计算频率,然后用频率估计概率.
跟踪训练3 某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图所示),并规定:
顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会,当转盘停止时,指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品,下表是活动进行中的一组统计数据.
转动转盘的次数n
100
150
200
500
800
1000
落在“铅笔”区域的次数m
68
111
136
345
564
701
落在“铅笔”区域的频率
(1)计算并完成表格;
(2)请估计,当n很大时,落在“铅笔”区域的频率将会接近多少?
(3)假如你去转动该转盘一次,你获得铅笔的概率约是多少?
解
(1)
转动转盘的次数n
100
150
200
500
800
1000
落在“铅笔”区域的次数m
68
111
136
345
564
701
落在“铅笔”区域的频率
0.68
0.74
0.68
0.69
0.705
0.701
(2)当n很大时,落在“铅笔”区域的频率将会接近0.7.
(3)获得铅笔的概率约是0.7.
1.下面给出了三个事件:
①明天天晴;
②在常温常压下,水沸腾;
③自由下落的物体做匀速直线运动.
其中随机事件为________.
答案 ①
解析 由事件的定义可判断①是随机事件,②③是不可能事件.
2.下面五个事件:
①某地明年2月3日将下雪;
②函数y=ax(a>0且a≠1)在定义域上是增函数;
③实数的绝对值不小于0;
④在标准大气压下,水在1℃结冰;
⑤a,b∈R,则ab=ba.
其中必然事件是________.
答案 ③⑤
3.从6名男生、2名女生中任选3人,则下列事件中,必然事件是________.
①3人都是男生;②至少有1名男生;
③3人都是女生;④至少有1名女生.
答案 ②
解析 由于女生只有2人,而现在选择3人,故至少要有1名男生.
4.在一次掷硬币试验中,掷100次,其中有48次正面向上,设反面向上为事件A,则事件A出现的频数为________,事件A出现的频率为________.
答案 52 0.52
解析 100次试验中,48次正面向上,则52次反面向上.又频率===0.52.
5.对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下:
抽取台数
50
100
200
300
500
1000
优等品数
40
92
192
285
478
954
(1)计算表中优等品的各个频率;
(2)该厂生产的电视机优等品的概率约为多少?
解
(1)抽样50台中优等品40台,
优等品的频率为=0.8,
同理可求得其他的频率依次为:
0.92,0.96,0.95,0.956,0.954.
(2)频率稳定在0.95附近,所以该厂生产的电视机优等品的概率约为0.95.
1.辨析随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件,在给定的条件下判断是一定发生(必然事件),还是不一定发生(随机事件),还是一定不发生(不可能事件).
2.随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定,但是在大量重复试验的情况下,随机事件的发生呈现一定的规律性,因而,可以从统计的角度,通过计算事件发生的频率去估算概率.
3.写试验结果时,要按顺序写,特别要注意题目中的有关字眼,如“先后”“依次”“顺序”“放回”“不放回”等.
一、填空题
1.下列事件中,随机事件的个数为________.
①在标准大气压下,水在0℃结冰;
②方程x2+2x+5=0有两个不相等的实根;
③明年长江武汉段的最高水位是29.8m.
答案 1
解析 ①是必然事件;②中,方程x2+2x+5=0,Δ=4-20=-16<0,可知它不可能有两个不相等的实根,是不可能事件,仅③是随机事件.
2.下列事件中,随机事件的个数是________.
①在一条公路上,交警记录某一小时通过的汽车超过300辆;
②若a为整数,则a+1为整数;
③发射一颗炮弹,命中目标;
④检查流水线上一件产品是合格品还是次品.
答案 3
解析 当a为整数时,a+1一定为整数,是必然事件,其余3个均为随机事件.
3.下列说法中正确的是________.
①任一事件的概率总在(0,1)内;
②不可能事件的概率不一定为0;
③必然事件的概率一定为1.
答案 ③
解析 任一事件的概率总在[0,1]内,不可能事件的概率一定为0,必然事件的概率一定为1.
4.已知随机事件A发生的频率是0.02,事件A出现了10次,那么共进行了________次试验.
答案 500
解析 设进行了n次试验,则有=0.02,得n=500,故进行了500次试验.
5.设某厂产品的次品率为2%,则该厂8000件产品中合格品的件数约为________.
答案 7840
解析 合格品的件数约为8000-8000×2%=7840.
6.在掷一颗骰子观察点数的试验中,若令A={2,4,6},则用语言叙述事件A对应的含义为________.
答案 掷出的点数为偶数
7.某医院治疗一种疾病的治愈率为,那么,前4个病人都没有治愈,第5个病人被治愈的概率是________.
答案
解析 每一个病人治愈与否都是随机事件,故第5个病人被治愈的概率仍为.
8
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